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光学 · 干涉、衍射与傅里叶光学

对标：Hecht Optics 主干｜前置：em-02、数分 IV（Fourier）光是电磁波（em-02 已证），本页收割波动性的三大现象：干涉（叠加 + 相位差）、衍射（障碍即源——Huygens）、以及现代视角的总纲——远场衍射 = 傅里叶变换：透镜是一台光学 Fourier 变换器。

学习层：先预测，孔径怎样写出远场？

1. 先做两个预测

把一个一维孔径送入远场。先不要看下面的揭示，预测：

把缝宽变窄，单缝衍射包络的中央主瓣会变宽、变窄，还是不变？若图像按峰值归一化，透过的总功率是否也不变？
保持缝宽不变而增大双缝中心距，干涉条纹在无量纲频率坐标上的间距会变大、变小，还是不变？单缝包络会不会跟着移动？

实验台先要求提交这两个判断，提交前不会显示答案。然后切换单缝、双缝和光栅，分别看孔径透射与远场强度怎样对应。

2. 一个不藏量纲的标准模型

取参考长度 \(a\)，把孔径坐标和观察坐标写成

\[ \xi=\frac{x}{a},\qquad u=\frac{a}{\lambda}\sin\theta\simeq\frac{a\theta}{\lambda}. \]

\(\xi\) 与 \(u\) 都是无量纲的；实验中的横轴明确标成 \(\xi=x/a\) 和 \(u=(a/\lambda)\sin\theta\)。令单缝宽度为 \(wa\)、相邻缝中心距为 \(da\)，并以孔径中心为相位原点。采用归一化的复场振幅 \(A(0)=1\)：

\[ \begin{aligned} A_1(u)&=\operatorname{sinc}(\pi wu),\\ A_2(u)&=\operatorname{sinc}(\pi wu)\cos(\pi du),\\ A_N(u)&=\operatorname{sinc}(\pi wu)\,\frac{\sin(N\pi du)}{N\sin(\pi du)},\\ \operatorname{sinc}(z)&=\frac{\sin z}{z},\qquad \operatorname{sinc}(0)=1. \end{aligned} \]

这里的 \(A\) 是复振幅，不是亮度；探测器读到的是 \(I(u)/I(0)=|A(u)|^2\)。对称孔径让本实验的相位参考下 \(A\) 恰为实数，但这不等于“振幅和强度是同一个量”。光栅阵因子在 \(\sin(\pi du)=0\) 处取可去奇点的极限；阵因子主极大位于 \(u=m/d\)，但每个峰仍乘着有限缝宽的 sinc 包络。

3. 动手：从透射函数到强度

下面的实验台画出同一组参数的孔径透射 \(t(\xi)\) 与远场归一化强度 \(I(u)/I(0)\)。先提交预测，再缩窄 \(w\)、增大 \(d\)，最后提高光栅缝数 \(N\)。注意：归一化强度便于比较形状；真实的窄缝还会减少通光量。

无 JavaScript 时的静态读法：使用无量纲坐标 \(\xi=x/a\)、\(u=(a/\lambda)\sin\theta\)。矩形单缝给出 \(A_1=\operatorname{sinc}(\pi wu)\)；双缝在同一有限缝宽包络上乘 \(\cos(\pi du)\)；\(N\) 缝再乘 \(\sin(N\pi du)/(N\sin(\pi du))\)，在分母为零处使用连续极限。强度始终是 \(|A|^2\)，不是 \(A\) 本身。变窄缝会让包络变宽但降低未归一化通光量；增大中心距会让条纹间距 \(\Delta u=1/d\) 变小，而不会移动单缝包络。光栅的 \(u=m/d\) 是阵因子主极大，是否显眼还由 sinc 包络决定。

4. 假设与边界

这是单色、相干、同偏振、均匀照明下的一维标量夫琅禾费模型。自由传播的远场要求 \(L\gg B^2/\lambda\)，\(B\) 是包含所有缝的总孔径宽度。它忽略矢量边界条件、像差、噪声和有限探测器；缝宽接近或小于波长时不能仅靠此标量模型预测实际透射。
\(u\) 是数学频率坐标；实际传播角还需 \(|u|\le a/\lambda\)。把整段 \([-9,9]\) 都解释为传播角，至少要 \(a/\lambda\ge9\)；若进一步用屏上位置 \(y\simeq L\lambda u/a\)，需更强的近轴条件 \(|\lambda u/a|\ll1\)。实验没有指定 \(a/\lambda\)，不把全图自动当作某套装置的可观测角域。
在本模型的不重叠缝内 \(t=1\)，均匀入射时通光量正比于 \(\int|t(\xi)|^2d\xi=Nw\)。按轴上强度归一化只是去掉了幅度尺度，并没有保持总功率。
“分辨率”不能只由一条公式决定。圆孔的 \(1.22\lambda/D\) 是常用的 Rayleigh 判据约定，不是所有仪器、噪声和算法都必须服从的唯一边界；一维缝的零点宽度也不要直接冒充圆孔 Rayleigh 数。
4f 系统在频率面上做的是乘以传递函数 \(H(u)\)：滤波能改变对比度、平滑或增强边缘，但被挡掉的频率没有被恢复，因此滤波不等于超分辨。本实验不加入会暗示“恢复缺失频率”的透明滤镜。

1. 干涉：相位差记账

双缝干涉与衍射包络 — 图 1.1双缝：实线为归一化强度，虚线为单缝包络，\(w=0.5,d=1.5\)。在 \(u=\pm2\) 处，阵因子的三级主极大恰被包络零点消去。

两束相互完全相干、同频且同偏振的波叠加：\(I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}\cos\delta\)（【推导】复振幅相加取模方——交叉项即干涉项；\(\delta\) = 相位差 = \(\frac{2\pi}{\lambda}\times\)光程差）。

相位若随测量时间随机漂移，需要先取时间或系综平均；干涉项由互相干函数决定。同频本身不保证固定相位差。两束线偏振互相正交时，电场点积为零，即使同频相干也没有这里的强度交叉项。

下文用 \(b=wa\) 表示实际缝宽、\(D_s=da\) 表示实际中心距，避免把参考长度 \(a\) 误当成缝宽。

杨氏双缝：光程差 \(D_s\sin\theta\) ⇒ 亮纹 \(D_s\sin\theta = m\lambda\)——条纹间距 \(\Delta y = \frac{\lambda L}{D_s}\)：用尺子量出光的波长（1801 年波动说的定音锤；qm-01 将让电子重演此实验——那是量子力学的开幕式）。

薄膜干涉：上下表面反射光的传播光程差为 \(2nt\cos\theta_t\)，还需计入两界面的反射相位。在普通无吸收介质的正入射情形，低折射率向高折射率界面反射使电场相位跳 \(\pi\)；斜入射需分 s/p 偏振使用 Fresnel 系数，全反射更不能只套这条二选一规则。

四分之一波长增透膜给出一个可算例：正入射、设计真空波长 \(\lambda_0\)、介质折射率依次为 \(n_0,n_1,n_2\)，选 \(t=\lambda_0/(4n_1)\) 只解决传播相位条件。要让总反射振幅严格为零，还须 \(n_1^2=n_0n_2\)。用 \(r_{ij}=(n_i-n_j)/(n_i+n_j)\)，薄膜反射振幅为

\[ r=\frac{r_{01}+r_{12}e^{2i\delta}}{1+r_{01}r_{12}e^{2i\delta}},\qquad \delta=\frac{2\pi n_1t}{\lambda_0}. \]

四分之一波长令 \(e^{2i\delta}=-1\)，再令 \(r_{01}=r_{12}\) 才得到零反射。比如空气 \(n_0=1\)、玻璃 \(n_2=1.5\)，理想膜需 \(n_1=\sqrt{1.5}\)；其他波长、角度或折射率失配一般有剩余反射。薄膜相位与实例可作对照。

Michelson 干涉仪：分振幅双臂的光程差转成相位差，再用干涉强度读出微小位移；引力波探测使用其扩展结构，见引力波。

相干性一嘴：实际光源有限相干长度/时间（谱宽的 Fourier 对偶 \(\Delta\tau\,\Delta\nu \sim 1\)——数分 IV 不确定性关系的光学版）——白光条纹只有零级附近可见的原因；激光的长相干性使全息成为可能。

2. 衍射：Huygens–Fresnel 与两大标准像

原理：波前每点是次波源，后续波场 = 次波相干叠加（Kirchhoff 给出严格积分表述【引用】）。

单缝夫琅禾费衍射【推导】：缝内各点次波在角 \(\theta\) 方向的相位差连续分布，令 \(q=2\pi\sin\theta/\lambda\)，先积分振幅：

\[ U(q)\propto\int_{-b/2}^{b/2}e^{-iqx}dx =\frac{2\sin(qb/2)}q=b\,\operatorname{sinc}(qb/2). \]

再取模平方并用轴上强度 \(I_0\) 归一化：

\[ I(\theta) = I_0\,\mathrm{sinc}^2\Big(\frac{\pi b\sin\theta}{\lambda}\Big) \]

暗纹 \(b\sin\theta=m\lambda\)，其中 \(m=\pm1,\pm2,\ldots\)，\(m=0\) 是中央亮峰。首零点存在于传播角域还需 \(\lambda/b\le1\)；在 \(\lambda/b\ll1\) 时中央主瓣角宽 \(\simeq2\lambda/b\)——缝越窄、散得越开（Fourier 对偶的物理宣言，§3 点题）。

圆孔与分辨率约定：Airy 斑第一暗环 \(\theta \approx 1.22\frac{\lambda}{D}\)；把两点刚好可分辨取在“一个峰对准另一个的第一暗环”是常用的 Rayleigh 判据。它是可沟通的判据，不是脱离像差、噪声、采样和重建方法的唯一分辨率定律；超分辨方法也不能被这一个数字概括。

光栅：\(N\) 缝干涉 × 单缝衍射包络——阵因子主极大满足 \(D_s\sin\theta = m\lambda\)，峰会随 \(N\) 增多而变窄，但有限缝宽的包络仍决定哪些级次能看见：这才是光谱仪的理想化骨架（atom-01 的谱线测量靠它）。

3. 傅里叶光学（现代总纲）

定理（标量夫琅禾费衍射 = Fourier 变换）【骨架】 在上述远场条件下的复振幅

\[ U(\theta) \;\propto\; \int t(x)\,e^{-ikx\sin\theta}\,dx = \hat t(k\sin\theta), \qquad \hat t(q)=\int t(x)e^{-iqx}\,dx. \]

——孔径函数的 Fourier 变换（Huygens 积分在远场近似下的直接形态）。单缝 → sinc、双缝 → 余弦调制、光栅 → 梳状谱：§1–2 的理想结果都来自这一个积分，而不是把复振幅直接当作强度。

推论（透镜把频谱搬到焦面）：在相干标量、薄透镜和近轴近似下，透镜后焦面得到入射场乘有限瞳函数的 Fourier 变换，另有传播常数与约定相关的相位因子——焦面上可读出物的空间频谱；4f 系统在此用传递函数做空间滤波，低通可平滑、高通可强调边缘，但遮挡就是乘法意义上的信息丢失，不能凭空恢复被挡的频率，也不自动带来超分辨。阿贝成像理论把显微镜的可收集最高空间频率与分辨率联系起来，是 Rayleigh 约定的频域视角之一。

🔗 对账：图像的频域直觉（ai/comfy 课里潜空间、低频构图/高频细节的语言）在光学里是物理实体——"高频=细节"这句话最初是焦面上看得见摸得着的光斑位置。

4. 练习与要点

例 1（双缝手算） \(\lambda = 633\) nm（氦氖激光）、\(D_s = 0.1\) mm、屏距 2 m：条纹间距 \(\Delta y = \frac{\lambda L}{D_s} \approx 12.7\) mm——桌面可见；换白光则各色条纹错开成彩带（零级白色居中）。

例 2（分辨极限估算） 人眼瞳孔 3 mm、\(\lambda = 550\) nm：\(\theta \approx 1.22\lambda/D \approx 2.2\times10^{-4}\) rad——10 m 外分辨 ~2 mm：视力表的物理设定；同式算哈勃（\(D = 2.4\) m）角分辨 \(\sim 0.05''\)。

例 3（有限低通不等于只剩常数） 焦面上的有限小孔保留一段低频，输出通常是平滑而仍有空间变化的场。只有在离散周期模型中仅保留零频系数，才严格得到常数场；连续模型中孔径缩到零还会使通光量趋零。中心挡片可抑制缓变背景，但“暗背景亮边缘”取决于样品与滤波器；相衬成像还会改变相位关系，不能与简单遮挡等同。

5. 迁移练习：检查相位、尺度与遗漏级次

保持 \(a,\lambda,d,N\) 不变，将 \(w\) 减半。单缝包络首零点、阵因子级次间距、未归一化通光量分别如何变化？
光栅取 \(w=0.5,d=1.5\)。第几级阵因子主极大第一次落在单缝包络零点上？它还会成为明亮谱峰吗？
两束同频且稳定相位的光偏振正交，为何公式中的 \(2\sqrt{I_1I_2}\cos\delta\) 不能直接使用？
空气—膜—玻璃的折射率是 \(1,1.3,1.5\)。膜厚取 \(\lambda_0/(4\times1.3)\) 后，在设计波长能否严格零反射？

核对答案与判分要点

\(|u_1|=1/w\) 加倍；\(\Delta u=1/d\) 不变；\(Nw\) 减半。轴上归一化强度始终为 1，不能由此推断功率不变。
首包络零点 \(u=2\)，阵因子级次 \(m=du=3\)，所以正负三级缺级。两因子必须相乘；单独查阵因子极大不够。
正确交叉项含偏振矢量的内积，正交时为零。若加一片分析器把两束投影到同一偏振方向，才可能重新看到干涉，并同时改变各束强度。
不能，因为 \(1.3^2=1.69\ne1.5\)。此时 \(r=(1\times1.5-1.3^2)/(1\times1.5+1.3^2)\approx-0.05956\)，反射率 \(R=|r|^2\approx0.00355\)，约 \(0.355\%\)。相位合适与振幅匹配缺一不可。

先修回链：电磁波、Fourier 级数；后续：光谱与成像实验。

继续学习：热力学，从宏观能量与熵建立多粒子系统的描述。