本页目录

统计物理 III · 量子统计

对标：Schroeder §7 / Pathria §7–8 ｜ 前置：sm-02、qm-01（可后补） 量子世界给统计加两条新规：全同粒子不可分辨 + 交换对称性限制占据方式（完整费米态只能占0或1粒，玻色态允许任意非负整数粒）。由此长出两套分布，解释了经典物理的三大悬案：黑体辐射（量子论的出生地）、金属比热、以及低温下的凝聚现象。

学习层：同一个能级不是同一个单粒子态，有限谱扎堆也不是 BEC 证明

1. 先预测：分母里的正负号到底约束什么？

实验固定五层能谱 \(\varepsilon_j=0,0.5,1,1.5,2\)，每层简并度为 \(g_j=1,2,3,4,5\)。先判断：

  1. Fermi–Dirac 的“每态占据不超过 \(1\)”是否意味着一个有 \(g=5\) 个不同单粒子态的能量层总共也只能放一粒？
  2. 对粒子数守恒的理想玻色气体，化学势能否越过最低单粒子能量？
  3. 在这五个能级里观察到很大的基态平均占据，是否已经证明了热力学极限的 Bose–Einstein 凝聚？

揭示后可切换 FD/BE，移动 \(T\) 与 \(\mu\)，同时读取每态占据、整层粒子数与有限谱总能量。这样 Pauli 约束、能级简并和宏观凝聚不会被“低能很多粒子”一句话混掉。

2. 静态后备：每态先算，再乘简并度

取非相互作用模型、\(T>0\)，以固定能量单位表示 \(k_BT\)（记成 \(T\)）。单粒子态的平均占据为

\[ \bar n_{FD}(\varepsilon)=\frac1{e^{(\varepsilon-\mu)/T}+1}, \qquad \bar n_{BE}(\varepsilon)=\frac1{e^{(\varepsilon-\mu)/T}-1}. \]
账本 Fermi–Dirac Bose–Einstein
每态允许占据 \(0\le\bar n\le1\) \(\bar n\ge0\)，无 Pauli 上限
化学势边界 可穿过离散能级 必须有 \(\mu<\varepsilon_0\)；极限中可逼近
一层的粒子数 \(N_j=g_j\bar n_j\)，可大于 \(1\) \(N_j=g_j\bar n_j\)
稀薄高能极限 \(e^{-(\varepsilon-\mu)/T}\) \(e^{-(\varepsilon-\mu)/T}\)

例如 \(\varepsilon=\mu\) 时 FD 每态占据恰为 \(1/2\)；若这一能层有四个不同态，整层平均粒子数是 \(2\)，并不违反 Pauli。BE 在 \(\mu\uparrow\varepsilon_0\) 时基态分母趋零，但有限能级账本只展示增强，不能替代固定密度、体积极限与激发态积分的凝聚判据。

3. 四条回到物理的边界

  • 本实验采用有限离散谱和巨正则平均。它不会显示有限系统与热力学极限之间的非解析性差别，也不处理相互作用导致的谱重整化。
  • 理想玻色气体的 \(\mu<\varepsilon_0\) 来自巨配分函数收敛；光子数不守恒时则由平衡条件固定 \(\mu=0\)，要另外选择零点能量。
  • FD 的“一态一粒”指完整的单粒子量子态，包括自旋标签。一个空间轨道可因自旋简并容纳多粒，但每个自旋轨道仍只有 \(0/1\)。
  • BE/FD 都在 \((\varepsilon-\mu)/T\gg1\) 时趋近 Maxwell–Boltzmann；这是一项可计算的稀薄极限，不是把量子粒子重新变成可分辨粒子。

4. 迁移：换零点、换坐标、换系统大小

  1. 将全部单粒子能量加常数 \(a\)，应怎样改变 \(\mu\) 才保持所有占据不变？这说明“费米化学势必为正”错在哪里？
  2. \(u_\omega\) 与 \(u_\lambda\) 的峰分别满足什么无量纲方程？为什么不是简单倒数关系？
  3. 固定密度的上述理想三维气体取 \(T=T_c/2\)，基态占据比例是多少？若体积与粒子数同时加倍，\(N_{\rm ex}\) 是否保持不变？
核对迁移推导
  1. 取 \(\mu\mapsto\mu+a\)，则 \(\varepsilon-\mu\) 不变。正负号依赖零点；即使零点固定在自由基态，高温费米气体也可有负化学势。
  2. 角频率谱形是 \(x^3/(e^x-1)\)，正根满足 \(x=3(1-e^{-x})\)，约2.82144；波长谱的变换含 Jacobian，以 \(y=hc/(\lambda k_BT)\) 表示的形状为 \(y^5/(e^y-1)\)，峰满足 \(y=5(1-e^{-y})\)，约4.96511。区间宽度的变化改变了谱密度的峰。
  3. \(N_0/N=1-2^{-3/2}\approx0.6464\)。温度与密度不变时 \(n_{\rm ex}\) 不变，\(N_{\rm ex}=Vn_{\rm ex}\) 加倍；“激发容量饱和”指固定温度下的密度上限。

1. 全同性与两种统计

三种统计的占据数

图 3.1三种统计的占据数：费米-狄拉克（\(\le 1\)，泡利不相容）、玻色-爱因斯坦（低能可聚集）、经典极限下都趋于玻尔兹曼。

在三维普通局域量子理论的标准粒子统计中，全同粒子交换不产生新物理态，熟悉的两类是：玻色子（整数自旋，波函数对称，可同态堆叠）与费米子（半整数自旋，反对称，Pauli 不相容——每个完整单粒子态至多一粒）。二维任意子与更一般交换统计需要另立拓扑和场论条件，不能由本页有限能级账本排除。

两大分布【推导】（非相互作用、\(T>0\) 的巨正则系综下对单模求和，sm-02 §3）：单粒子态 \(\varepsilon\) 的平均占据数——玻色：\(\Xi = \sum_{n=0}^\infty e^{-n(\varepsilon-\mu)\beta}\) 几何级数；费米：\(n \in \{0, 1\}\) 两项：

\[ \langle n\rangle_{BE} = \frac{1}{e^{(\varepsilon - \mu)/k_BT} - 1}, \qquad \langle n\rangle_{FD} = \frac{1}{e^{(\varepsilon - \mu)/k_BT} + 1} \]

（高能/稀薄极限两者同趋 Boltzmann \(e^{-(\varepsilon-\mu)/k_BT}\)——经典统计是量子统计的退化极限，适用判据：热波长 \(\ll\) 粒子间距。）令 \(x=\beta(\varepsilon-\mu)\)，单模平均数为 \(-\partial_x\ln\Xi\)：几何级数 \(\Xi_{BE}=(1-e^{-x})^{-1}\) 要求 \(x>0\)，费米两项 \(\Xi_{FD}=1+e^{-x}\) 则对所有实数 \(x\) 有限。求导正好给出上式；这一步把允许占据的计数接到了平均占据。

2. 玻色世界：黑体辐射与 BEC

黑体辐射（量子论出生地）【推导】：腔内光子气（\(\mu = 0\)——光子数不守恒），模式密度 \(g(\omega) \propto \omega^2\)（驻波计数——三维 k 空间球壳）× BE 占据 × \(\hbar\omega\)：

\[ u_\omega(\omega) = \frac{\hbar\omega^3}{\pi^2c^3}\,\frac{1}{e^{\hbar\omega/k_BT} - 1} \quad (\text{Planck 公式}) \]

低频退化为 Rayleigh–Jeans（\(\propto \omega^2T\)——经典均分），高频被指数压灭——紫外灾难的解除：能量量子化 \(E = \hbar\omega\) 让高频模式"买不起入场券"（1900 年 Planck 由此打开量子世界）。积分得 Stefan–Boltzmann \(u \propto T^4\)、按波长计的谱密度峰值满足 Wien 位移 \(\lambda_{\max}T = b\)（\(b\) 为 Wien 常数）——太阳表面 5800 K 峰在可见光、人体 310 K 峰在红外（热成像）、宇宙 2.725 K 峰在微波（CMB——cosmo-02 的主角就是接近理想黑体的观测谱）。

这里 \(u_\omega d\omega\) 是单位体积在角频率区间内的能量。改成波长 \(\lambda=2\pi c/\omega\) 时必须用 \(u_\lambda=u_\omega(2\pi c/\lambda)\,2\pi c/\lambda^2\)，不能直接把角频率峰取倒数当成波长谱峰。

声子比热：Debye 模型把晶格振动当"声子气"同法处理——三维体材料的线性色散声学支在低温给 \(C_V \propto T^3\)（实验吻合，Dulong–Petit 低温失效的解答；solid-01 详展）。

Bose–Einstein 凝聚（BEC）【骨架】：对三维均匀、非相互作用、二次色散 \(\varepsilon=p^2/2m\) 的玻色气，态密度满足 \(g(\varepsilon)\propto\varepsilon^{1/2}\)。\(T\) 降低时 \(\mu\uparrow0\)，激发态容纳能力

\[ N_{\rm ex}^{\max}(T)=\int_0^\infty\frac{g(\varepsilon)\,d\varepsilon}{e^{\varepsilon/k_BT}-1} \]

此处态密度 \(g\) 含体积因子，有限饱和的是激发粒子数密度而非热力学极限中的总粒子数：

\[ n_{\rm ex}^{\max}(T)=\frac{N_{\rm ex}^{\max}}V=\frac{\zeta(3/2)}{\lambda_T^3},\qquad T_c=\frac{2\pi\hbar^2}{mk_B}\left[\frac{n}{\zeta(3/2)}\right]^{2/3}. \]

这里 \(n=N/V\) 固定，\(\lambda_T=h/\sqrt{2\pi mk_BT}\)，\(\zeta(3/2)\approx2.612\)，单粒子内部简并取1。\(T<T_c\) 时剩余粒子进入基态，\(N_0/N=1-(T/T_c)^{3/2}\)。总激发粒子数仍随 \(V\) 增长；有限谱实验不直接实现这个极限。这不是任意维数与边界条件下的自动结论：一维、二维均匀理想气体在有限温度的热力学极限中没有同样的常规 BEC，谐振俘获又会因不同态密度得到不同判据。（1995 年冷原子实现；超流氦还需相互作用理论。）

3. 费米世界：简并电子气

金属自由电子（\(T \ll T_F\) 时"简并"）：Fermi 能 \(\varepsilon_F\) = \(T = 0\) 时填到的最高能级——

\[ \varepsilon_F = \frac{\hbar^2}{2m}(3\pi^2 n)^{2/3} \]

【推导：k 空间填球到 \(k_F\)，计数 \(n = \frac{k_F^3}{3\pi^2}\)（含自旋 2）】。金属 \(\varepsilon_F \sim\) 几 eV ⇒ \(T_F \sim 5\times10^4\) K——室温金属电子是"冷"的（\(T \ll T_F\)）：即使 \(T=0\)，占据约束也留下 eV 级 Fermi 能；有限温度仍会修正化学势与能量。

三大悬案的解答：金属比热为何只有均分预言的 ~1%——只有 Fermi 面附近 \(\sim\frac{T}{T_F}\) 比例的电子能被热激发（\(C_e \propto T\)，线性项——低温实验的金属指纹）；Pauli 顺磁、电子简并压（白矮星靠它抗引力——冷、非旋转白矮星的 Chandrasekhar 质量尺度约 \(1.4M_\odot\)，具体值依赖组成。超过电子简并支撑范围并不唯一决定结局，热核爆炸或进一步坍缩需核反应和演化模型——gr-03 接力）。

化学势要和能量零点一起读：取自由粒子基态能量0，费米气体只在 \(T\ll T_F\) 时有 \(\mu\approx\varepsilon_F>0\)；高温稀薄时也可为负。守恒理想玻色气体满足 \(\mu<0\)，凝聚的热力学极限中趋于0。整体移动能量零点时 \(\mu\) 同步移动，真正进入占据公式的是 \(\varepsilon-\mu\)。

4. 练习与要点

例 1（Planck 峰手算） 太阳 5800 K：Wien \(\lambda_{\max} = \frac{2.9\times10^{-3}}{5800} \approx 500\) nm（这是波长谱密度的峰；宽谱太阳光并不是单色绿光）；人体 310 K → 9.4 μm（红外热像仪的工作波段）。

例 2（简并判据） 金属电子 \(n \sim 10^{29}/\mathrm{m}^3\)：\(T_F \sim 10^5\) K ⇒ 高度简并 ✓；常温气体 \(n \sim 10^{25}\)、质量大 ⇒ 热波长远小于间距——经典 ✓；稀薄冷原子实验的凝聚温度常在 nK 至 μK 量级，具体由密度、质量和俘获条件决定——两个极限的定量分界（热 de Broglie 波长 \(\lambda_T = \frac{h}{\sqrt{2\pi mk_BT}}\) 与间距比较）。

例 3（白矮星量级） 简并压 \(P \propto n^{5/3}\)（\(T=0\) 非相对论电子气；\(n\) 为电子数密度，固定组成下与质量密度成正比）对抗引力 \(\propto \frac{M^2}{R^4}\)：平衡给 \(R \propto M^{-1/3}\)——越重越小的反常星体；相对论修正（\(E = pc\) 使 \(P \propto n^{4/3}\)）使支撑质量出现与组成有关的上限，典型尺度约 \(1.4M_\odot\)；这项平衡估算本身不预测爆炸或坍缩的最终产物——Chandrasekhar 极限的三行版。\(\blacksquare\)

继续到动力学与输运，把平衡占据与到达平衡的过程区分开；相变、Ising 与重整化群在后续进阶路线展开。

核对来源：Tong量子气体讲义§3.2/3.5；白矮星合并研究（2019）。