本页目录

宇宙学 I · FRW 与 Friedmann 方程

对标：Ryden §4–6 ｜前置：gr-03（FRW 度规）、sm 线把整个宇宙当一个物理系统：均匀各向同性 + Einstein 方程 = 一个标度因子 \(a(t)\) 的 ODE。本页推 Friedmann 方程、建"宇宙学的会计制度"（各组分如何稀释）、给出 ΛCDM 的账本——宇宙 95% 由未知项构成的现代处境。

1. Friedmann 方程

FRW 度规（gr-03）+ 理想流体 \(T_{\mu\nu}\) 代入场方程【骨架，一个牛顿式替代推导给直觉】：

\[ \Big(\frac{\dot a}{a}\Big)^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{kc^2}{a^2}, \qquad \frac{\ddot a}{a} = -\frac{4\pi G}{3}\Big(\rho + \frac{3p}{c^2}\Big) \]

牛顿直觉版：均匀球中取试验壳，能量守恒 \(\frac12\dot r^2 - \frac{GM(r)}{r} = E\) 除以 \(r^2\) 即第一式（\(k \propto -E\)：空间曲率 = 总能量符号——束缚/临界/逃逸的宇宙版）。\(\blacksquare\) 加速方程的读法：\(\rho + \frac{3p}{c^2}\) 是引力的真实源——压强也产生引力（广相特色）；负压足够（\(p < -\frac{\rho c^2}{3}\)）则 \(\ddot a > 0\)——加速膨胀的许可条款（§3 暗能量的席位）。

Hubble 定律：\(v = H_0d\)（\(H \equiv \frac{\dot a}{a}\)）——不是天体在飞而是空间在长（gr-03 红移的本地化表述）；\(H_0 \approx 70\) km/s/Mpc ⇒ Hubble 时间 \(\frac{1}{H_0} \approx 14\) Gyr（年龄的量级锚）。

2. 宇宙的会计制度：组分与稀释律

宇宙标度因子演化 — 图 1.1宇宙标度因子 \(a(t)\) 的演化取决于主导组分：辐射 \(\propto t^{1/2}\)、物质 \(\propto t^{2/3}\)、暗能量指数暴涨。

连续性方程（\(T\) 守恒）：\(\dot\rho = -3H(\rho + \frac{p}{c^2})\)——配状态方程 \(p = w\rho c^2\) 积分【推导一行】：\(\rho \propto a^{-3(1+w)}\)：

组分	\(w\)	稀释律	主导期的 \(a(t)\)
物质（尘埃）	0	\(a^{-3}\)（数密度稀释）	\(a \propto t^{2/3}\)
辐射	1/3	\(a^{-4}\)（多一份红移）	\(a \propto t^{1/2}\)
宇宙学常数 Λ	\(-1\)	常数（空间自带）	\(a \propto e^{Ht}\)（de Sitter）

【推导】 \(a(t)\) 幂律：单组分 Friedmann \(\dot a \propto a^{-\frac{1+3w}{2}}\) 分离变量。\(\blacksquare\) 接力剧本：辐射主导（早期，\(a^{-4}\) 衰减最快）→ 物质主导（结构形成期）→ Λ 主导（近 50 亿年——当下）：宇宙史 = 三种稀释律的接力赛，每次交接改变 \(a(t)\) 的形状。

3. ΛCDM 账本（观测宇宙学的现状）

密度参数 \(\Omega_i = \frac{\rho_i}{\rho_c}\)（\(\rho_c = \frac{3H_0^2}{8\pi G} \approx\) 每立方米 6 个氢原子——宇宙平坦的临界密度）。现代账本（Planck 卫星级【引用】）：

\[ \Omega_\Lambda \approx 0.69, \quad \Omega_{\text{暗物质}} \approx 0.26, \quad \Omega_{\text{普通物质}} \approx 0.05, \quad \Omega_k \approx 0 \]

三行注脚：暗物质——星系旋转曲线平坦、引力透镜（gr-02）、CMB 声学峰三路证据合指"有引力不发光的组分"（粒子身份未知——pp 线的头号悬案之一）；暗能量——1998 超新星测距发现加速膨胀（诺奖 2011），与 Λ（\(w = -1\)）一致（"是否恰为常数"是当前观测焦点【引用 DESI 类】）；平坦性 \(\Omega_k \approx 0\)——CMB 声学标尺量出的空间几何（cosmo-02）。"95% 未知"不是失败而是坐标：定量宇宙学把无知精确到了小数点。

年龄积分：\(t_0 = \int_0^1\frac{da}{aH(a)} \approx 13.8\) Gyr（ΛCDM 参数代入数值积分——与最老球状星团自洽 ✓：曾经的"年龄危机"被 Λ 化解【引用】）。

4. 练习与要点

例 1（稀释律推导练手） 辐射为何 \(a^{-4}\)：数密度 \(a^{-3}\) × 每光子能量红移 \(a^{-1}\)——两行；由此定"物质-辐射平权"时刻 \(1 + z_{eq} = \frac{\Omega_m}{\Omega_r} \approx 3400\)（cosmo-02 热历史的第一块路标）。

例 2（de Sitter 未来） Λ 主导后 \(a \propto e^{Ht}\)：星系将逐个越出视界——远期宇宙学家将看到空荡的天（"观测窗口在关闭"的物理实感）；反推：我们恰在"账本还可读"的时代做宇宙学。

例 3（Friedmann 量纲核算） 用 \(H_0 = 70\) km/s/Mpc 算 \(\rho_c\)：\(\approx 9\times10^{-27}\ \mathrm{kg/m^3}\)——银河系内密度高它百万倍："宇宙平均"与"我们附近"差得远，均匀性只在 >100 Mpc 尺度成立（宇宙学原理的适用边界）。\(\blacksquare\)

下一页：倒带回热汤——大爆炸热历史：核合成、复合与 CMB——一张 2.725 K 的完美黑体照片如何成为宇宙学的罗塞塔石碑。