场论 II · 相互作用与 Feynman 图

1. 一张图究竟代表什么

我们选一个实标量场：\(\mathcal L=\frac12(\partial\phi)^2-\frac12m^2\phi^2-\lambda\phi^4/4!\)。四个场因子在同一点相乘，是局域相互作用。这里没有时间导数相互作用，所以正则动量仍为 \(\pi=\dot\phi\)，相互作用哈密顿量才可以写成 \(H_I(t)=\lambda\int d^3x\,\phi_I^4(t,\mathbf x)/4!\)。若相互作用含时间导数，须重新做 Legendre 变换，不能照抄这个符号规则。

先把三个层次分开。缩并是把两个自由场因子替换成传播子；拓扑图把仅差内部场槽排列的缩并归到一起；散射振幅还要把传播子和顶点相乘、对未确定的内部动量积分。图上两条线交叉而没有标出的顶点，不发生额外相互作用。虚内线也不服从外部粒子的上壳条件，但每个顶点始终满足四动量守恒；不需要诉诸“短时间借用能量”。

在四维，\([\phi]=1\)、\([\lambda]=0\)。本页的组合实验保留自缩并，等价于没有预先把 \(\phi^4\) 正规序；它数出了蝌蚪图，却没有把蝌蚪积分变成有限数。发散积分的处理将在重整化课程中继续。

2. 先预测，再展开全部记录

可以先点“24次连接生成一个树顶点”，再点“一圈s通道的1/2”。注意外部标签保持固定，两个相互作用顶点各有四个临时槽标签。下载里保留每一次完整配对、图的连通分量和分类依据。零维积分与四维散射是两个独立教学模型，共用耦合滑块仅为了对照数量级，不是把零维积分当成四维截面的答案。

3. Dyson 分母为什么是顶点数的阶乘

把 \(H=H_0+H_{\mathrm{int}}\) 分开后，相互作用绘景满足 \(i\partial_tU_I(t,t_0)=H_I(t)U_I(t,t_0)\)。先积分一次得到 \(U_I=1-i\int_{t_0}^{t}H_I(t_1)U_I(t_1,t_0)dt_1\)，再迭代。二阶积分只覆盖 \(t_0<t_2<t_1<t\)；一般 \(V\) 阶覆盖一个有序时间单纯形。

把这个区域扩成完整时间立方体，必须同时用 \(T\) 排序。除去等时的零测集，每一种时间排列占一份相同体积，因此出现 \(1/V!\)。这不是假设不同时刻的哈密顿量可交换，而是先排序再对排列求和：

这一式是带有真空与渐近时间处方的形式微扰展开。按固定阶使用它，不等于已经证明右边的无穷级数收敛。符号 \(4!\) 负责每个顶点的四个相同场槽，\(V!\) 负责相互作用插入的排列，后面还会遇到末态计数的 \(2!\)；三者来源不同。

4. Wick 算符恒等式与真空期望不要混写

把自由场写成湮灭部分加产生部分。将湮灭算符移到右侧，每跨过一个产生算符就产生一个数值交换子。对两个场，这给出 \(T\{\phi_1\phi_2\}=: \phi_1\phi_2 :+D_{12}\)，其中 \(D_{12}=\langle0|T\phi_1\phi_2|0\rangle\)。

对四个场，完整算符公式是

中间有六个单次缩并项。自由真空期望会消掉仍含场的正规序项，才只剩末尾三项。对一般偶数个场，取最小未配对标签，它可以选择其余任一个作为伙伴，剩下的标签继续配对。因此完整配对数满足 \(N_{2n}=(2n-1)N_{2n-2}\)，且 \(N_0=1\)，即 \(N_{2n}=(2n-1)!!\)。空配对有一种，不是零种。

这个递归不遗漏也不重复：任何完整配对都有唯一的“最小标签的伙伴”，删除这一对后又有唯一的较小配对。实验对最多十二个场槽执行这条递归，所有配对都可逐行检查。算符 Wick 恒等式则还包括部分配对和未配对场；实验明确只枚举自由真空期望中的完整缩并。

5. 从 105 个缩并里找出树级顶点的 24 个

四个外部场加一个四价插入，总共有八个编号场槽，所以完整配对数是 \(7!!=105\)。其中有些外部场直接彼此缩并，另外一些有内部自环；它们不都是四外腿接触树图。

若要求四个外部场各自接到唯一顶点，第一条外腿可选四个槽，第二条三个，第三条两个，第四条一个，合计 \(4!=24\)。于是这一拓扑的系数是 \(24/4!=1\)，顶点规则为 \(-i\lambda\)。这一步只消掉局部场槽重数，不能保证所有高阶图的对称因子都为一。

以 \(\langle f|S-1|i\rangle=i(2\pi)^4\delta^{(4)}(P_f-P_i)\mathcal M\) 定义约化振幅，则树级接触图满足 \(i\mathcal M=-i\lambda\)，所以 \(\mathcal M=-\lambda\)。顶点位置积分产生整体守恒分布；省去它是定义约化振幅，不是允许动量不守恒。

6. 两个顶点：三种鱼图通道为什么各有一半

现在有十二个槽，完整配对数变成 \(11!!=10395\)，Dyson 分母为 \(2!(4!)^2=1152\)。外部标签取 \(0,1,2,3\)。要得到鱼图，将两个外腿接到一个顶点，另两个接到另一个顶点，再用两条内线连接剩余场槽。

固定一个无序分区，比如 \(01|23\)。将分区分配给两个有标号的顶点有两种；每个顶点的两条有标号外腿选槽有 \(4\times3=12\) 种；余下两个槽在顶点之间配对有 \(2!\) 种。于是这个通道有 \(2\times12^2\times2=576\) 个缩并，权重 \(576/1152=1/2\)。三个分区 \(01|23\)、\(02|13\)、\(03|12\) 对应 \(s,t,u\) 通道，共 \(1728\) 个鱼图缩并。

但无外外边的缩并总计 \(5040\) 个。另有 \(2304\) 个连通的外腿蝌蚪修正、\(864\) 个两个分开的二点块，以及 \(144\) 个接触树图乘一个真空泡。它们相加才是 \(5040\)；另外 \(5355\) 个至少含一条外外边。这些数来自完整枚举，也可用逐顶点选槽的阶乘公式重算。

1PI 的意思是一个连通图切掉任一内部传播线后仍然连通。鱼图的两条跨顶点内线切一条仍连接两个顶点；外腿蝌蚪修正只有一条跨顶点线，切掉就断开，属于 1PR。树级接触图没有内线，按这个定义也是 1PI。判据针对图的连通性，不能用“看起来有一个圈”代替。

7. 真空归一化与取连通函数是两步

在适当真空选择处方下，相互作用真空的关联函数可按形式级数写为 \(G_E=\langle0|T\phi_1\cdots\phi_E S|0\rangle/\langle0|S|0\rangle\)。分子中每个图的真空分量没有任何外部场，它独立相乘；将相互作用插入分配给这些分量的二项式重数与 Dyson 阶乘配合，给出同一个真空级数因子。除掉分母后，每个分量都连着至少一个外部场，但不要求所有外部场在同一分量。

可以用一个没有积分发散的零维模型直接检验区别。令 \(X\sim N(0,1)\)，\(Z(\lambda)=\mathbb E e^{-\lambda X^4/24}\)，\(G_E(\lambda)=\mathbb E[X^E e^{-\lambda X^4/24}]/Z(\lambda)\)。这里所有自由协方差都为一，每种完整配对的权重相同。Gaussian 偶数矩由分部积分满足 \(\mathbb E X^{2n}=(2n-1)\mathbb E X^{2n-2}\)，正好复现配对数。

分母前三个系数为 \(1,-1/8,35/384\)；二点分子系数为 \(1,-5/8,105/128\)；四点分子系数为 \(3,-35/8,1155/128\)。按 \(A_n=\sum_{j=0}^{n}Z_jG_{n-j}\) 逐阶解商，得到

实验把商的系数与“没有真空分量”的枚举比较，再把 \(\kappa_4\) 与“只有一个连通块”的枚举比较。零阶 \(G_4(0)=3\) 已经说明：除真空因子并不会让四点函数只保留一个连通块。这里的连通函数采用通常的累积量含义；有些讲义把“没有真空分量”也称 connected，阅读时需检查定义。

8. 从连通图到上壳振幅，还要截肢与处理极点

位置空间四点函数含有从每个外部位置到相互作用区的传播子。Fourier 变换后，这些外腿传播子也在结果里，而散射态已经单独归一化，所以不能再保留一份相同外腿因子。

若完整二点函数在一个稳定单粒子极点附近为 \(\widetilde G_2(p)\sim iZ_\phi/(p^2-m_{\mathrm{phys}}^2+i0)\)，LSZ 过程是先识别并除去每条外腿的极点因子、带上相应的场强归一化，再取上壳极限。树级自由归一化时 \(Z_\phi=1\)，所以外腿截肢表现为乘上传播子的逆。这里没有给出 LSZ 的完整证明；有稳定渐近单粒子态和合适极点结构是它的前提，不能把任意关联函数直接当作 S 矩阵。

一个连通图有 \(I\) 条内线、\(V\) 个顶点时，顶点守恒约束中有一个给整体动量守恒，其余 \(V-1\) 个可消去内部积分，因此独立圈动量数为 \(L=I-V+1\)。断开的图需要逐个连通分量计数。本实验也只给连通内图记录这个圈数。

对四点 1PI 鱼图，形式振幅为 \(\frac{(-i\lambda)^2}{2}\int\frac{d^4\ell}{(2\pi)^4}\frac{i}{\ell^2-m^2+i0}\frac{i}{(\ell+P)^2-m^2+i0}\)，再对三个通道求和。大动量时表现为对数紫外发散；只写这个积分没有定义一个有限预测。外腿修正、物理质量、场强和反项如何组合，应放在同一重整化约定下处理，不能把“三种鱼图”叫作未加限定的全部一圈四点关联函数。

9. 四动量先算清，角度与通道才有含义

在质心系，入射四动量取 \(p_1=(E,0,0,p)\)、\(p_2=(E,0,0,-p)\)，出射取 \(p_3=(E,p\sin\theta,0,p\cos\theta)\)、\(p_4=(E,-p\sin\theta,0,-p\cos\theta)\)，其中 \(E^2=p^2+m^2\)。每条外腿都上壳，总四动量逐分量守恒。

由定义 \(s=(p_1+p_2)^2\)、\(t=(p_1-p_3)^2\)、\(u=(p_1-p_4)^2\)，直接相乘得到 \(s=4E^2\)、\(t=-2p^2(1-\cos\theta)\)、\(u=-2p^2(1+\cos\theta)\)，所以 \(s+t+u=4m^2\)。交换两末态标签使 \(t\) 和 \(u\) 对换。树级接触振幅没有角度依赖；鱼图则可通过通道动量产生不同的函数。

实验的 \(E/m=1\) 是精确阈值，四动量和 Mandelstam 变量仍有意义，但入射相对速度为零。下一步的截面定义要除以通量，因此这个点的普通截面读数留空，而不是把消去后的公式直接代进去。

10. 从振幅到截面：把两个不同的对称因子分开

相对论归一化下，二体相空间是 \(d\Phi_2=(2\pi)^4\delta^{(4)}(P-p_3-p_4)\frac{d^3p_3}{(2\pi)^3 2E_3}\frac{d^3p_4}{(2\pi)^3 2E_4}\)。先用空间 delta 积掉 \(\mathbf p_4\)，再用能量 delta 积掉径向动量。质心系结果为 \(d\Phi_2/d\Omega=p_f/(16\pi^2\sqrt s)\)。

入射通量因子为 \(\mathcal F=4\sqrt{(p_1\cdot p_2)^2-m^4}=4p_i\sqrt s=8Ep_i\)。对有标记的两个末态，\(d\sigma/d\Omega=|\mathcal M|^2p_f/(64\pi^2s p_i)\)。本模型同质量弹性散射在阈值以上有 \(p_f/p_i=1\)；同种末态若积分覆盖完整 \(4\pi\)，还需一个 \(1/2!\)，故

同样也可以只积分不重复的末态区域，例如一个半球，此时不再额外除以二。这里 \([\sigma]=-2\)，与面积的自然单位相符。先前鱼图的 \(1/2\) 是缩并重数；这里的 \(1/2!\) 是不重复计数物理末态；树顶点的 \(4!\) 抵消两者都没有预先完成。

当 \(s\downarrow4m^2\)，树级总截面趋向 \(\lambda^2/(128\pi m^2)\)，但精确阈值同时有 \(p_i=0\) 和通量为零，只能将这个数解释为上阈值极限。若耦合很大，树级结果仍是一个可计算公式，却未必是可靠的完整理论近似。

11. 积分存在，并不意味着它的微扰级数收敛

回到零维 \(Z(\lambda)\)。对 \(\lambda\ge0\)，被积函数被 Gaussian 密度控制，所以积分有限。形式 Taylor 项为 \(a_n=(-\lambda)^n(4n-1)!!/(24^n n!)\)。相邻项的绝对值比是 \(|a_{n+1}/a_n|=\lambda(4n+3)(4n+1)/(24(n+1))\sim2\lambda n/3\)。任何固定 \(\lambda>0\) 都使这个比值最终大于一，项不趋零，因此级数不收敛。

有限阶为什么仍有用？对 \(u\ge0\)，Taylor 积分余项为 \(e^{-u}-\sum_{n=0}^{N}(-u)^n/n!=(-1)^{N+1}\int_0^u e^{-v}(u-v)^N dv/N!\)。由于 \(0<e^{-v}\le1\)，余项符号固定，绝对值不超过 \(u^{N+1}/(N+1)!\)。取 \(u=\lambda X^4/24\) 再取期望即可严格得到 \(0\le(-1)^{N+1}(Z-S_N)\le|a_{N+1}|\)。这是固定 \(N\)、\(\lambda\to0^+\) 的渐近控制，而不是允许把 \(N\) 推到无穷。

实验还用自适应 Simpson 方法计算一个独立的数值积分参考：利用偶对称积分 \(x\in[0,12]\)，保存每个接受子区间的五个函数值、粗细积分、修正量和误差估计。剩余尾部小于 \(\sqrt{2/\pi}e^{-72}/12\)。Simpson 的误差估计不是严格区间证书，所以曲线标注“对数值积分的误差”，并将理论下一项界另列；\(\lambda=0\) 则直接使用精确 \(Z=1\)。这个例子证明的是一个零维模型的渐近性质，不是四维相互作用量子场论的非微扰构造。

12. 八道练习：把图的每一步算回来

后续路线。 下一课把这里明确留下的紫外发散积分、物理参数与反项连接起来。若练习2、4、5仍容易混淆，先用相同配对编号反复比较“没有真空分量”“单个连通块”“切任一内线仍连通”三个条件。

来源与复算范围。 David Tong 的相互作用场讲义提供 Dyson、Wick、图规则及散射到关联函数的课程背景。本页的有限场槽枚举、零维形式级数比较、Gaussian余项界与具体散射点均给出独立推导和数值记录；不以讲义里的简化连通术语替代本页明确的图论定义。