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学习路线 02 · 从关联函数到振幅：四份账本能否互相核对？
路线：外腿与 LSZ → 圈积分与减法 → 改变减法点的阶数检查 → 内部极点与接触项。本页要求提交四份可复算记录，训练“算的是什么、删掉了什么、还缺什么”。不是完整单圈散射计算，也不把欧氏泡图直接当成物理截面。
1. 入口诊断：一个漂亮公式还缺哪张说明书？
先不展开答案。每题写结果和一句依据，按第一处无法解释的步骤回课，不用总分掩盖缺口。
| 入口题 | 要交的证据 | 卡住时回哪里 |
|---|---|---|
| A：四点时序函数不为零，就有相互作用散射吗？ | 连通部分与自由场反例 | 外腿与 LSZ |
| B：两个对数发散积分相减，一定没有有限歧义吗？ | 两项的截断、质量和减法点记录 | 圈积分与减法 |
| C：只改参考动量而固定重整化耦合，是否还是同一预测？ | 同一阶的参数变换式 | 本页第三站 |
| D：外腿和内部交换线都含极点，能一起截掉吗？ | 哪些极点是外态重叠，哪些保留动力学 | 散射振幅 |
入口题核对：先辨对象，再辨数值
A：不能。自由场四点函数有三种两点函数配对，但连通四点函数为零。B：不能。同一处方的公共紫外对数可相消，换截断比例却会留下有限常数。C：一般不能；减法点变了，重整化参数也要按同一微扰阶数改变。D：不能。LSZ 去掉外腿传播并归一化外态，内部极点与相互作用的因子化有关，应保留。
若 A 不会，先做第一站；B 不会，第二站从径向积分开始；C 不会，第三站逐项展开；D 不会，第四站必须同时交留数与有限角度值。只认得名词不算通过。
2. 第一站：截肢与外态归一化分别做一次
固定四维、单种稳定标量，采用 \(\hbar=c=1\)、度规 \((+---)\)，并定义
公共 delta 已提出。四条完整传播子在单粒子极点附近为 \(iZ/(p_i^2-m^2+i0)\)；用它们截肢后的核记作 \(\Gamma_{\rm amp}\)。交卷要求：取 \(Z=1/2\)、\(\Gamma_{\rm amp}=-0.4i\)，算 \(i\mathcal M\)、\(\mathcal M\) 与模平方，并说明是否已得到截面。
第一站题解：留数不等于新的顶点
完整传播子截肢去掉每条 \(Z\)，而 LSZ 对每条外腿还保留场与渐近态重叠 \(\sqrt Z\)。四腿合起来
所以 \(\mathcal M=-0.1\)，\(|\mathcal M|^2=0.01\)。若所给核已经包含外态归一化，就不能再乘 \(Z^2\)；必须先定义核再做乘法。模平方还须结合运动学、流强、相空间和相同末态计数，才有截面。
将公共单位幂提出，在 \(Z=1\) 的形式外腿模型中，截 k 条后的模为 \(A_k(\delta)=0.4\delta^{k-4}\)。这是另一项极点阶数核验，不是上面 \(Z=1/2\) 情况的模拟：δ=0.2 时，未截肢为 250，截三腿为 2，截四腿为 0.4；δ=0.1 时分别为 4000、4、0.4。残留极点决定发散阶数，而相位决定如何从 \(i\mathcal M\) 读出符号，两者不可相互代替。
实验输入。 默认 λ=0.2、δ=0.1、k=3，输出模分别为 2000、2、0.2。先改 λ=0.4、δ=0.2，再分别检查 k=0、3、4，最后将 δ 减半。这个实验固定 Z=1，不能用来数值验证外态留数题。δ 只是代数离壳量，未实现完整散射运动学；无脚本时用上方两组静态数值核验。
无脚本参照见第一站题解；实验不覆盖 Z 的变动。
改变场的单位后，散射答案应保持不变
给第一站再做一次独立的约定检查：将插入关联函数的场改写为 \(\phi'=\kappa\phi\)，其中 \(\kappa>0\)，保持同一个物理系统、同一个渐近粒子态。两点函数乘 \(\kappa^2\)，四点连通函数乘 \(\kappa^4\)。于是极点留数变为 \(Z'=\kappa^2Z\)，而用四条完整传播子截肢后的核变为
外态归一化恰好补回这一因子：\((Z')^2\Gamma'_{\rm amp}=Z^2\Gamma_{\rm amp}\)。取原来的 \(Z=1/2,\Gamma_{\rm amp}=-0.4i\) 与 \(\kappa=2\)，新记号中 \(Z'=2,\Gamma'_{\rm amp}=-0.025i\)，仍得到 \(i\mathcal M=-0.1i\)。
这里的 \(Z'=2\) 不是大于一的粒子概率，而是改变场归一化后的极点系数。把 \(Z\) 单独当作不依赖场约定的概率，或只改变外腿而忘记截肢核，会让同一散射答案无故改变。本检查只重标记同一物理场的单位，不是把第一站参数任意换成另一套理论。
3. 第二站：同一个截断，才是同一份减法
接下来计算欧氏单泡图的标量积分，不是延续第一站得到一个完整单圈振幅。取质量单位 m=1。Feynman 参数化和平移后，按每个参数 x 的 \(|k|<\Lambda\) 定义正规化区域：
交卷要求：由这个式子推出 \(B_R(Q;Q_0)\)，证明交换两动量会反号；取 Q=2、Q₀=0，比较 Λ=10、20、40。再判断故意用 \(B_{2\Lambda}(Q)-B_\Lambda(Q_0)\) 会不会给同一个极限。
第二站题解：有限常数不会因为发散消失而自动正确
固定 Q、Q₀ 后，\(I=\log(\Lambda/M)-1/2+O(M^2/\Lambda^2)\)。x 在紧区间内且两动量固定，M 有统一上下界，故余项可统一控制并取积分极限：
交换分子分母，结果反号；Q=Q₀ 时严格为零。对 Q=2、Q₀=0，静态参照为
| Λ | BΛ(2)−BΛ(0) | 与极限之差 |
|---|---|---|
| 10 | −0.003038636971 | 0.000082694826 |
| 20 | −0.003100333504 | 0.000020998293 |
| 40 | −0.003116061569 | 0.000005270227 |
共同极限约为 −0.003121331796。有限截断误差逐渐减小，不等于有限截断已经严格达到极限。
若两项使用不同截断比例，则
额外项约为 0.008778811597。发散虽仍相消，却留下错误匹配产生的有限偏移。若有意把它当另一正规化／减法选择，必须相应改变参数匹配条件；不能直接宣称与原减法相同。这里所有 Q 都保持固定，不能暗中令 Q 随 Λ 增大。
实验输入。 本题沿用默认 Q=2、Q₀=0、Λ=10，依次改 Λ=20、40。默认计算用 256 段 Simpson 参数积分，径向积分用解析式；误差还包括数值求积。上表用独立 128 点 Gauss–Legendre 求积，末几位可能与网页读数不同（本题约 4×10⁻¹²），不应把它混入有限截断误差的解释。实验只让两项共用同一个截断，故“不等截断”的反例需按上式手算，不能把某一滑块误认为第二个截断。无脚本参照在上表。
无脚本时使用第二站的三行数值与极限式。
4. 第三站：换减法点，为什么耦合也要跟着变？
这里只讨论明确规定的无量纲教学量
c 是固定组合系数，不能从本式读取完整 φ⁴ 理论的 beta 函数。取 c=3，原减法点 Q₀=0，新减法点 Q₁=1，测试点 Q=2。交卷要求：按 \(F(Q_1)=g_1\) 推出参数变换，证明两种写法到二阶相同；再解释直接把二阶表达式当完整函数代入，为什么会有很小的差。
第三站题解：比较预测时要同时对齐微扰阶数
记 \(a=B_R(1;0)\)、\(b=B_R(2;1)\)。对数比的相乘给出精确加法关系
而匹配条件给出
在新减法点写 \(F(Q)=g_1+cg_1^2B_R(Q;1)+O(g_1^3)\)，代入并重新截到二阶，就得到 \(g_R+cg_R^2[a+B_R(Q;1)]+O(g_R^3)\)，与原式一致。只改变 Q₀ 而不改变 g，预测会在已保留的二阶就变掉。
为看见阶数差异，暂将每个二阶多项式直接当数值函数，定义 \(\widetilde g_1=g+cg^2a\)、\(F_0=g+cg^2(a+b)\)、\(\widetilde F_1=\widetilde g_1+c\widetilde g_1^2b\)。代数展开给
这是这两个截断表达式之间的差，不是完整理论已知的三圈或三阶物理修正。独立积分参照 \(a\approx-0.000962834341\)、\(b\approx-0.002158497452\) 给出：
| g | g̃₁ | F₀ | F̃₁−F₀ |
|---|---|---|---|
| 0.2 | 0.199884459879 | 0.199625440184 | 2.991852237×10⁻⁷ |
| 0.1 | 0.099971114970 | 0.099906360046 | 3.740355576×10⁻⁸ |
| 0.05 | 0.049992778742 | 0.049976590012 | 4.675782145×10⁻⁹ |
减半 g，差约缩小八倍，符合首项为三阶；微小差并不意味着需要“修掉”二阶一致性。未知高阶项的实际大小并未由本表确定。
这一步复用上面的泡图实验求 a、b：分别输入 (Q,Q₀)=(1,0)、(2,1)，读取“减法极限 BR”，再自己计算参数变换。滑块中没有 g 或 c；不要把有限截断差拿来代替这里定义的 BR。网页表格会简化小数位，用它核对符号与量级即可；复算本节的高精度差值请使用上面的 a、b 参照或自行提高求积精度，不能从已经舍入的读数恢复丢失的有效位。
5. 第四站：去掉外腿以后，内部极点还必须留下
现在换到研究振幅课的形式无质量树级模型，与第二、三站的有质量欧氏积分不是同一物理过程。以入射／出射动量定义 s、t、u，满足 s+t+u=0。固定符号 \(\mathcal A=-\mathcal M\)：
\(g_3\) 的质量维数为 1，λ₄ 无量纲，均不同于第三站的教学耦合 g。该 φ³ 模型只演示极点代数，不提供稳定非微扰真空。
交卷要求：固定参考 s=1、\(g_3/\sqrt s=1\)、cosθ=1/2，分别取 λ₄=0 和 2，算三个通道及总振幅；再在解析运动学中固定非零 t、令 s→0，算留数。为什么有限角度差与留数相同不矛盾？
第四站题解：留数约束不到所有有限项
\(t=-s(1-\cos\theta)/2=-1/4\)，\(u=-3/4\)，三个交换项为 \(1,-4,-4/3\)，和为 −13/3。加 λ₄=2 后总振幅为 −7/3；在 \(\mathcal A=-\mathcal M\) 的约定下，两个 M 分别为 13/3、7/3，仍不是概率。
求 s 道留数时保持维数耦合 \(g_3\) 和非零 t 固定，令 \(u=-s-t\)，则
t、u 通道与接触常数此时都有限，乘 s 后消失。不要沿“固定角度、s→0”的路径求这个单通道留数；那样 t、u 也同时趋零，混入其他极点。实验固定 s=1，滑动角度不能实现这个解析极限。
相同留数只说明简单交换极点的系数相同，不能确定接触项。外腿已经截肢也不意味着内部传播子要删掉；删掉它就破坏了这份因子化信息。
实验输入。 默认缩放耦合 1、接触项 0、cosθ=0，总振幅 −3。请改 cosθ=0.5，比较接触项 0 与 2，应得到 −4.333333333 与 −2.333333333，归一化 s 道留数均为 1。实验避开 cosθ=±1，未显示极点不等于它不存在。无脚本时按上方分数核对。
无脚本时使用第四站的三个分数与两种接触项结果。
6. 退出题：换了输入，还能指出结论的边界吗？
合上前文，交一页四行记录：
- 完整传播子截肢核为 −0.5i、Z=0.8，算 M 与模平方。
- 把不匹配截断改成 \(B_{3\Lambda}(Q)-B_\Lambda(Q_0)\)，写出多出的常数；若 Q=Q₀，极限是否为零？
- 新减法点记为 Q₂，写 g₂ 与原 g 的二阶关系，说明为何不能固定 g 只换标签。
- 在第四站振幅中加入 \(d(s^2+t^2+u^2)\)，写 d 的质量维数，判断是否改变简单极点留数，以及改变了哪种信息。
退出题答案与验收条件
- \(\mathcal M=-(0.8)^2(0.5)=-0.32\)，模平方 0.1024；仍需相空间等才能得到截面。
- 多出 \(\log3/(8\pi^2)\)，即便 Q=Q₀ 也不为零。必须对齐处方或重新匹配有限参数。
- \(g_2=g+cg^2B_R(Q_2;Q_0)+O(g^3)\)；重整化参数的定义来自该点的匹配条件，改变定义会改变其数值。
- \([d]=\mathrm{mass}^{-4}\)；多项式在简单交换极点处有限，故不改留数，却改变有限角度值和高能增长。能满足所有极点检查不等于答案已唯一。
每行既要有公式也要有解释。把模平方叫截面、不同截断直接相减、把未保留的高阶差当二阶错误、沿三个通道同时奇异的路径求单通道留数，任一出现都应回到对应站。
隔两三天闭卷复测：改 Z=0.6、截肢核 −0.5i；两截断比例改为 1/2；角度取 cosθ=−1/2，检查 t、u 对换后结果是否相同。自行保存初答、纠错理由和复测日期。本页不记录作答，也没有据此收集学习效果数据。
速查与继续阅读
| 已能交出的证据 | 接下来可以做 | 本页还未完成 |
|---|---|---|
| 外腿留数、符号和归一化记录 | 散射振幅与因子化 | 自旋／规范场、红外安全散射与实际截面 |
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原始教学参照：Tong：Interacting Fields的连通图、截肢及 LSZ；Tong：The Renormalisation Group的圈积分与参数组织；Elvang、Huang：Scattering Amplitudes的解析结构与壳上方法。具体正规化处方、二阶匹配和四站数值在本页独立给出。核查：2026-09-08。
继续共形块、正性与排除证书，从后裔范数算真正的共形块，并用解析不等式覆盖一维允许谱的整个半轴。
进一步把二点反项、s/t/u三泡图、离壳减法点和物理截面接通，可做同一φ⁴模型的单圈散射训练，并用阈值虚部与换点匹配独立核验。