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电动力学 I · 边值问题与多极展开

对标：Jackson §1–4 ｜前置：em-01、mp-01（Legendre/Green 函数）、pde2-03（唯一性） Jackson 前半的主体是一门手艺：在给定边界下解 Laplace/Poisson 方程。本页把兵器谱配齐（唯一性定理、镜像法的进阶、分离变量的球谐版、Green 函数的正式化）并立起多极展开——"远看一切电荷分布"的标准语言。

1. 唯一性定理（一切技巧的执照）

定理【推导】 给定区域内 \(\rho\) 与边界上的 \(V\)（Dirichlet）或 \(\frac{\partial V}{\partial n}\)（Neumann），Poisson 方程解唯一（Neumann 差常数）。证：两解之差 \(u\) 调和且边界项为零；Green 第一恒等式 \(\int|\nabla u|^2 = \oint u\frac{\partial u}{\partial n} = 0\) ⇒ \(\nabla u \equiv 0\)。\(\blacksquare\) 读法："猜出来的解就是唯一的解"——镜像法的合法性来源（猜一组像电荷、验证边界条件、唯一性收工）；也是 pde2-03 能量法的物理版。

镜像法进阶（Jackson 名题）：接地导体球外点电荷 \(q\)（距 \(d\)）：像电荷 \(q' = -\frac{a}{d}q\) 于 \(\frac{a^2}{d}\) 处【验证：球面上两电荷势恰抵消——反演点的几何】；不接地/带电球 = 再叠加中心像电荷——一套反演几何吃遍球类边值题。

2. 分离变量：球谐版全流程

轴对称 Laplace 通解（mp-01 的 Legendre 在主场）：

\[ V(r, \theta) = \sum_\ell\Big(A_\ell r^\ell + \frac{B_\ell}{r^{\ell+1}}\Big)P_\ell(\cos\theta) \]

样板（Jackson 必做题）：均匀外场中的导体球——边界条件（球面等势 + 远场 \(-E_0r\cos\theta\)）只激活 \(\ell = 1\)：\(V = -E_0\big(r - \frac{a^3}{r^2}\big)\cos\theta\)——感应偶极矩 \(p = 4\pi\varepsilon_0a^3E_0\)（极化率 \(\propto\) 体积：介电响应的原型；瑞利散射 \(\propto\omega^4\)（em-03）里的那个偶极子就这么来的）。介质球同法（内外解拼接 + 界面条件）——静电屏蔽/退极化因子全家。

3. Green 函数的正式化

Dirichlet Green 函数：\(\nabla'^2G_D = -\delta\)、边界上 \(G_D = 0\)，则

\[ V(\mathbf r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\rho\,G_D\,dV' - \frac{1}{4\pi}\oint V_{\text{边界}}\,\frac{\partial G_D}{\partial n'}\,dA' \]

【骨架】 Green 第二恒等式（数分 VI 分部积分的对称形式）对 \(V\) 与 \(G_D\) 使用。\(\blacksquare\) 读法：一次求 \(G_D\)、终身解该几何的一切边值题（源与边界值都变成"查表积分"）；镜像法 = 构造 \(G_D\) 的几何技巧（球的 \(G_D\) 就是 §1 的像电荷公式——两板斧原是一把）；mp-01 的"逆算子"语言在此获得带边界的完整形态。

4. 多极展开（远场的标准语言）

对 \(\frac{1}{|\mathbf r - \mathbf r'|}\) 用母函数展开（mp-01 例 1）：

\[ V(\mathbf r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\Big[\frac{Q}{r} + \frac{\mathbf p\cdot\hat{\mathbf r}}{r^2} + \frac{1}{2}\sum_{ij}\frac{Q_{ij}\hat r_i\hat r_j}{r^3} + \cdots\Big] \]

单极（总电荷）→ 偶极 \(\mathbf p = \int\mathbf r'\rho\,dV'\) → 四极 \(Q_{ij}\)——逐阶衰减快一个 \(\frac1r\)：远场由第一个非零矩统治（中性分子看偶极、对称分子看四极——分子间力/介电常数微观论的记账单位）。偶极场的标准形态、偶极在外场中的能量 \(-\mathbf p\cdot\mathbf E\) 与力矩——介质物理（em-01 §3）的微观地基。

磁多极一嘴：无磁单极（em-01）⇒ 磁展开从偶极起步 \(\mathbf m = \frac12\int\mathbf r\times\mathbf J\,dV\)——电流环、分子电流、地磁场的第一项都是它；下一页辐射场的主角（偶极辐射）已在后台候场。

5. 练习与要点

例 1（镜像球亲算） \(q = 1\ \mu\)C、\(d = 2a\)：\(q' = -0.5\ \mu\)C 于 \(a/2\) 处；吸引力 \(F = \frac{qq'}{4\pi\varepsilon_0(d - a^2/d)^2}\)——代数三行；由此顺手得导体表面感应密度分布（法向导数）。

例 2（展开阶数判断） 水分子（偶极 ~6.2×10⁻³⁰ C·m）与 CO₂（对称、偶极为零、四极非零）：远场势分别 \(\propto r^{-2}\) 与 \(r^{-3}\)——分子对称性直接决定相互作用的衰减律（范德华力谱系的第一分岔；CO₂ 是温室气体却"非极性"的电动力学注脚——红外吸收靠振动诱导偶极）。

例 3（Green 函数复用演示） 用 §1 球的 \(G_D\) 解"球外任意电荷分布 + 球面给定电位"的组合题：两项积分各就各位——"一次投资、终身收租"的体验题。\(\blacksquare\)

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