基础衔接 15 · 全链方差与初态：很小的残差，为什么仍会找错态？

1. 先问：局部之外还有哪些方向？

设左右块基已经正交，W把中心坐标嵌入完整物理空间，\(W^\dagger W=I\)，\(P_W=WW^\dagger\) 是当前可见子空间的正交投影。对归一化中心向量v，\(|\psi\rangle=Wv\)，局部算符为

这里的W是块基嵌入矩阵，与上一讲MPO局部张量的W符号用途不同。只在本节用这个矩阵写清投影；程序不需要构造它。

完整残差按正交方向分解：

两项分别在当前子空间及其正交补中，故

局部求解器只能检查第一项。即使第一项为零，H仍可能把态送到当前左右块支撑看不见的方向。等价地，

因此把小矩阵H_eff平方，不能代替真正的全链H²。测量时必须使用最终截断后的MPS；SVD前的向量属于另一个检查阶段。

一行局部矩阵，可能漏掉一个完整物理方向

令完整空间为二维，\(H=X\)，当前块基只有 \(W=(1,0)^T\)，归一化态为 \(\psi=W\)。则

局部残差是零，但 \(H\psi=(0,1)^T\) 完全落在当前支撑外；真正的全局残差为1、方差为1。具体比较二阶矩：

遗漏的差正是前面那项正半定贡献。在这个例子里，先把 H 投影到只剩一个方向的空间再平方，会把它先离开、再返回的作用路径删掉。

2. 从能量分布推导方差

全讲取有限维、Hermitian Hamiltonian和非零态。先除以范数：

因为E是实数，展开平方得到

单位也有区别：E以J计，V以J²计，残差范数\(\sqrt V\)以J计；网页固定J=1。

在正交本征基中，写归一化态为\(\sum_n c_n|n\rangle\)，\(p_n=|c_n|^2\)，则

V=0当且仅当态全部位于同一个能量本征子空间中；允许简并，不要求只有一个基向量。这个本征值未必最低。若V很小，则至少存在一个本征值距E不超过\(\sqrt V\)，否则上面的加权平均会大于V。

还可以给出可核验的谱概率界：对任意\(\delta>0\)，

证明只有一步：左侧每个方向都在V中贡献至少\(\delta^2p_n\)。它控制的是“落在E附近以外的权重”，没有把E指定为基态能量。

若另知非简并基态E₀及所有激发态\(E_n\ge E_1>E\)，则

这个基态保真度界用到了独立的谱位置信息与\(E<E_1\)，不能只凭V小就使用。若基态简并，p₀应改成整个基态子空间的权重。

3. 一个两站点反例，比一段“已收敛”提示更有用

仍取开放Ising链

奇偶算符为\(P=\prod_jZ_j\)。每个XX项反转两个自旋，与P交换；横场Z也与P交换，所以\([H,P]=0\)。

L=2时，偶扇区基\((|00\rangle,|11\rangle)\)与奇扇区基\((|01\rangle,|10\rangle)\)分别给出

能谱为\(\pm\sqrt{1+4g^2}\)与\(\pm1\)。取

它满足\(P\psi_-=-\psi_-\)、\(H\psi_-=-\psi_-\)，所以E=−1、V=0。但g=1时基态能量是\(-\sqrt5\)。从只含该奇扇区的向量出发，H的任意幂仍看不到偶扇区基态。增加Krylov步数并不能补上缺失的初始方向。

这不是说每个MPS扫描都严格困在初始奇偶扇区：若采用精确对称张量，扇区约束是实现的一部分；本页用普通实张量，浮点误差和截断可能混合扇区，所以另测\(\langle P\rangle\)。若归一化态满足\(\langle P\rangle=\pm1\)，由于P的本征值只有±1，才能判定它位于单一扇区；接近±1表示大部分权重在那里。

奇偶期望值还能直接读成扇区权重

投影到两种奇偶的算符为 \(\Pi_\pm=(I\pm P)/2\)，因为 \(P^2=I\)，它们满足 \(\Pi_\pm^2=\Pi_\pm\)、\(\Pi_+\Pi_-=0\)。归一化态的权重因而是

例如 \(\langle P\rangle=-0.98\) 表示奇扇区占99%、偶扇区占1%；不是“98% 的态处于奇扇区”。这个读数只定位扇区，仍不告诉我们该扇区中的能量是否最低。

4. 真正把MPO乘起来

下面用A、B表示两个算符的局部MPO张量。乘积AB在一个站点的张量是

先作用B，再作用A；u是B的输出与A的输入。左右算符键各取张量积，边界也变成\(\ell_A\otimes\ell_B\)与\(r_A\otimes r_B\)。物理指标u在本地求和，不能与算符键混为一谈，也不能调换非对易算符的顺序。

对上一讲算符键维3的Ising MPO，直接令A=B得到键维9的H²。它保留所有跨站点交叉项，包括两个不同横场或不同相邻项的乘积；并非只把每个单项平方后求和。这里没有再做MPO压缩，9只是该直接构造的键维，不声称最小。

用上一讲的全链环境递推分别收缩I、H、H²，以及P的键维1乘积表示。最后除以同一范数N，再相减得到V。这个步骤只测已有MPS的全链矩，不重新优化，也不在两次H之间插入块基投影。它比只算H需要更多算符键存储与运算；网页未声称最优复杂度。

5. 做四个初态，保持计算预算相同

实验比较四个归一化乘积态：

• 60°态：每站\(\cos(\pi/6)|0\rangle+\sin(\pi/6)|1\rangle\)。
• Z全上：\(|0\cdots0\rangle\)，初始P=+1。
• Z单翻转：\(|10\cdots0\rangle\)，初始P=−1。
• X全正：每站\((|0\rangle+|1\rangle)/\sqrt2\)。

局部Krylov上限固定32，所有SVD候选直接接受，扫描规则相同。控制L、g、χ与往返轮数时，四个初态都从头重跑。K=32不保证在全部设置下局部搜索充分，结果仍列出最大局部残差。

默认L=6、g=1、χ=2、两轮，精确E₀≈−7.296229811：

按三个步骤检查：先看默认四条轨迹；再把χ降到1，此时Z全上最终E=−6、V=5，局部残差仍约10⁻¹⁵，清楚暴露局部之外的误差；最后取L=4、χ=4，Z单翻转得到E≈−4.064177772，而另外三种得到基态E≈−4.758770483，所有方差均降到本实验浮点分辨标度以下。对照第3节的解析反例，理解低方差激发态为何不矛盾。

6. 大数相减时，不要把浮点零当成证明

本页直接算\(V=\langle H^2\rangle-E^2\)。当两项约为几十，真实差值远小于它们时，末位舍入可能产生很小负数。程序同时展示原始差值及标度

这只是保守显示用的启发式分辨标度，不是逐项传播得出的严格浮点误差上界。若差值在此标度以下，界面不把其平方根显示成已证实的物理残差；若出现超出标度的负方差，程序报错，要求检查收缩或数值误差。需要严格证书时还须稳定残差算法、高精度或带误差界的运算。

数值验收对小链另外展开完整波函数，用自旋比特直接作用H，再算\(\|(H-E)\psi\|^2/N\)，不复用被测H²的MPO构造。独立NumPy本征态和非归一化随机MPS也用于核对H²与范数。网页运算本身仍完全沿张量收缩；有限验算不代替所有输入的正确性证明。

7. 两道迁移题

题一。 已知非简并E₀=0，所有激发能量≥2，归一化试探态测得E=0.2、V=0.36。用正文方差界估计基态以外的权重。若不知道激发谱下界，只知道V=0.36，还能保留这个结论吗？

题二。 某次两站点更新中，求解器报告局部残差零。有人把H_eff平方当作全链H²，算出方差零。指出漏掉的项，并说明改用四个初态是否足以补成基态证明。