实验 II · 噪声、功率谱与锁相检测

学习层：噪声变小了，信号真的变清楚了吗？

1. 具体谜题：一个 1 mV 信号为什么值得做频率选择？

设传感器输出

其中 \(A=1.000\ \mathrm{mV}\) 是峰值振幅，\(f_0=137\ \mathrm{Hz}\)，噪声在相关频段用平稳白噪声近似。直接测量假定信号频率处增益为 1，噪声等效带宽为 \(B=1000\ \mathrm{Hz}\)，因此会积分这一带宽内的噪声。本实验的 \(B\) 是包含信号的理想带通的单边带宽，不自动表示从 DC 到 \(B\) 的低通截止；否则把 \(B\) 调到 \(f_0\) 以下时，信号本身也会被滤掉。锁相放大器则用同频参考作乘法，再用低通保留慢变化的 \(I,Q\) 输出。

看起来“锁相后噪声变小”很诱人，但有三个容易互相打架的问题：

1. PSD 是每 Hz 的功率，还是已经积分过的 RMS？把两者混用会差很多；
2. 单极点滤波器的截止频率 \(f_c\) 是不是它真正的噪声带宽？
3. 参考相位错 \(90^\circ\) 时，信号是消失了，还是只从 \(I\) 通道转移到了 \(Q\) 通道？

2. 先预测：先写答案，再打开频谱账本

本实验默认 \(S_n=1.0\times10^{-8}\ \mathrm{V^2/Hz}\)、直接带宽 \(B=1000\ \mathrm{Hz}\)、锁相时间常数 \(\tau=0.010\ \mathrm s\)、参考相位 \(\phi=0^\circ\)。这里 \(S_n\) 明确采用单边电压 PSD，单位为 \(\mathrm{V^2/Hz}\)。先预测：

1. 白噪声带宽扩大 4 倍时，RMS 噪声会变为原来的 2 倍、4 倍，还是不变？
2. \(\tau\) 加倍时，单极点的等效噪声带宽 \(B_{\rm ENBW}\) 会加倍还是减半？
3. 默认参数下，直接 SNR 更接近 \(0.224\)，还是锁相 SNR 更接近 \(0.224\)？
4. \(\phi=90^\circ\) 时，锁相的 \(I\) 会为零；这是否意味着 \(Q\) 也为零？

先选择预测再揭示图。实验分别画出低通功率响应、I/Q 直流分量、噪声 RMS 与两种 SNR；各图独立标注单位和刻度。拖动相位时，\(I\) 与 \(Q\) 的分工会直接可见。

3. PSD 到 RMS：带宽是噪声积分的上下限

本页使用单边 PSD 定义：对实值噪声，只在 \(f\ge0\) 记谱密度 \(S_n(f)\)，并令

白噪声在测量带宽 \(B\) 内近似为常数 \(S_n\)，所以

默认值给出

信号的 \(A\) 是峰值振幅，而正弦的 RMS 是 \(A/\sqrt2=0.707107\ \mathrm{mV}\)，所以直接 SNR 为

这一步的关键不是记住 \(\sqrt B\)，而是知道 这里的 RMS 平方是电压均方值（固定阻抗下与功率成比例），PSD 乘带宽才是这个均方值。若把 \(S_n\) 当成 \(\mathrm{V/\sqrt{Hz}}\) 的幅度谱密度，公式和单位都会错一层。

4. 单极点滤波器：截止频率不是 ENBW

锁相低通的一个教学模型是

幅度下降到 \(1/\sqrt2\) 的 \(-3\ \mathrm{dB}\) 截止频率为

但白噪声通过滤波器后的功率要积分 \(|H|^2\)，所以等效噪声带宽是

默认 \(\tau=0.010\ \mathrm s\) 时，\(f_c=15.9155\ \mathrm{Hz}\)，而 \(B_{\rm ENBW}=25.00\ \mathrm{Hz}\)。把 \(f_c\) 直接当 ENBW 会低估经过滤波器的白噪声功率；把两者都叫“带宽”却不说明定义，是实验记录中很常见的隐患。

5. 混频与相位：锁相改变的是坐标和带宽

用参考 \(\cos(2\pi f_0t)\) 与信号相乘，三角恒等式给出

本实验同相参考实际取 \(2\cos(2\pi f_0t)\)，正交参考取 \(-2\sin(2\pi f_0t)\)。把乘法增益明确写出来后，低通输出的直流分量为

因此 \(I^2+Q^2=A^2\)，这是无噪声直流分量的相位旋转不变量；只看 \(I\) 时，\(\phi=90^\circ\) 会让信号暂时看起来消失，但 \(Q\) 仍为 \(A\)。参考频率偏离 \(f_0\) 时，低通输出会出现随时间旋转的拍频，不能再把它当成稳定的 DC 读数。

对 PSD 的因子也要跟校准一起声明。本实验把输入 \(S_n\) 定义为单边 PSD，并把混频后 \(I/Q\) 通道的增益校准为上式，于是白噪声的周期平均输出方差为

混频后的周期平均双边谱为 \(S_n^{(2)}(f-f_0)+S_n^{(2)}(f+f_0)=S_n\)，故单边基带谱为 \(2S_n\)。这说明因子 \(2\) 来自两边带相加与当前增益，不是任意的校正。若改用双边 PSD \(S_n^{(2)}=S_n/2\)，或者把混频器增益归一化到另一种定义，公式中的因子会随之重写；不能只换一个因子而保留其余数字。

默认锁相噪声为

相位对齐时 \(I=A\)，所以

和直接 SNR 的比值是

默认 \(\phi=0^\circ\)，故这里两个已定义读数的比值为 \(\sqrt{1000/25}=6.32456\)。这个比值包含噪声带宽和读出方式的改变；它不能直接当作相同观测时间下的检测概率改善倍数。

有限低通：为什么“直流分量”不等于整个输出？

单极点滤波器不会把 \(2f_0\) 项彻底切掉。由 \(H(2f_0)\) 可知，稳态同相输出仍含纹波：

因此纹波峰值占输入振幅的比例为 \(\eta=1/\sqrt{1+(4\pi f_0\tau)^2}\)。默认约 5.80%；若 \(f_0=20\ \mathrm{Hz},\tau=0.001\ \mathrm s\)，比例约 97.0%，这时将整个输出说成稳定的 \(I=A\cos\phi\) 就会误导。图中相量只表示直流部分，旁边单列纹波；需要更长时间常数、更高阶滤波或专门的同步滤波才能进一步抑制它。

白噪声乘周期参考后也不严格平稳。以 \(h(s)=e^{-s/\tau}/\tau\)（\(s\ge0\)）为低通冲激响应，用双边白噪声协方差 \(\langle n(t)n(t')\rangle=(S_n/2)\delta(t-t')\)，得

周期平均正是 \(S_n/(2\tau)=2S_nB_{\rm ENBW}\)；瞬时方差的相对起伏幅度为 \(1/\sqrt{1+(2\pi f_0\tau)^2}\)。实验报告这个量，避免把周期平均 RMS 当成任意时刻都相同的高斯噪声标准差。只有载频与低通尺度充分分离时，才适合近似使用相同、互不相关的 I/Q 通道噪声。

6. 误区与失败边界：窄带检测不是万能滤镜

• 混用单边与双边 PSD。实值信号的单边 PSD 把正负频率功率合并到 \(f\ge0\)；双边 PSD 则在整个频轴积分。换约定时，数值密度和混频增益必须一起换，不能把 \(2\) 当成可随意调的校正因子。
• 把 \(\mathrm{V^2/Hz}\) 与 \(\mathrm{V/\sqrt{Hz}}\) 混写。前者乘带宽后得到方差，后者乘 \(\sqrt{\text{带宽}}\) 才得到 RMS。单位检查通常比肉眼看波形更快发现错误。
• 把截止频率当 ENBW。\(-3\ \mathrm{dB}\) 是幅度/功率响应的一个点，ENBW 是整个 \(|H|^2\) 曲线的面积。不同滤波器阶数、形状因子和数字窗会给不同 ENBW。
• 认为锁相能救回频率漂移。参考与信号不相干、频率漂移超过低通带宽、相位随时间转动时，\(I\) 会衰减或振荡。应先测参考稳定性和时间常数，再解释低读数。
• 不区分漂移产生的位置。输入端的低频加性漂移会被混频搬到载频附近；载频附近的边带噪声、信号振幅慢漂移，以及混频后的电子学漂移则可能留在基带。须说明是哪一种，才能讨论缩窄 ENBW 的效果。
• 把同步检测当作“只看信号”。谐波、参考串扰、地环路、调制副产物和与参考同频的背景也会进入 \(I/Q\)。锁相选择的是相干性，不是“真实信号”的标签。
• 忽略滤波器瞬态。时间常数越长，稳态噪声越小但建立时间越长；在刚改变频率或相位时立即读数，会把瞬态当作物理响应。

7. 迁移任务：写出能够被检验的实验决定

题 1：设 \(A=0.2\ \mathrm{mV}\)，其余保持默认、相位对齐。两种 SNR 各为多少？

题 2：输入端出现 1 Hz 加性漂移，参考仍为 137 Hz；另一种情况下是信号振幅以 1 Hz 缓慢变化。这两种变化在混频后都会停在 1 Hz 吗？

题 3：把时间常数加倍，白噪声的周期平均 RMS 与建立到阶跃终值 99% 的时间各怎样变化？若取 \(f_0=20\ \mathrm{Hz},\tau=1\ \mathrm{ms}\)，能否只根据直流 SNR 就认为读数稳定？

实测时可扫描 \(\tau\)，记录 I/Q 均值、输出 PSD、等待时间与参考漂移；用信号关闭的独立噪声数据检查 \(\sqrt{B_{\rm ENBW}}\) 标度。若偏离，先辨认漂移在信号链的位置，再修改模型。没有实际采集数据前，这只是一份实验方案。