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流体 III · 湍流与标度律

对标：Frisch《Turbulence》、Pope《Turbulent Flows》、Tong《Fluid Mechanics》第 6 章。先修：质量、动量与能量守恒、黏性与边界层、标度与重整化群。 搅拌器持续做功，水的平均动能却可以不再增长：输入的能量去了哪里？本页用尺度间的能量收支回答这个问题，并区分量纲假设、精确平衡式、有限尺度近似和经验指数模型。Navier–Stokes 方程可以有特殊解析解和可分辨的数值解；困难在于复杂湍流统计量的预测与闭合，不能概括成“没有解”。

湍流能谱的斜率和有限黏性能量平衡
图 fl-03.1左：由公式生成的负五分之三能谱基线。右：在给定二阶结构函数的构造中，三阶矩项与黏性项相加为 0.8。曲线展示的是演算关系，不是实测湍流；惯性区需要黏性与强迫变化都相对较小。

学习层：沿尺度追踪同一笔能量

1. 先预测：小涡拿到的是更多能量吗？

把水槽中的流动按尺度分组：大尺度 \(L\) 接受搅拌器的输入，较小尺度之间交换动能，黏性最终把动能变为内能。这个图景不要求每个大涡都像物体一样碎成小涡；实际能量传递来自速度场的非线性耦合。

设平均耗散率为 \(\varepsilon\)，单位是每千克每秒消耗的焦耳，即 \(\mathrm{m^2/s^3}\)。在统计定常状态，平均输入率等于 \(\varepsilon\)。回答三个问题后再打开实验：

  1. 在远离注入和耗散的尺度内，平均能量通量 \(\Pi(r)\) 随 \(r\) 怎样变化？
  2. 固定纵向增量的方向后，三维正向级串的有符号三阶矩是正还是负？
  3. She–Lévêque 模型的 \(p=6\) 指数比 K41 的 \(6/3\) 大还是小？

2. 量纲桥：为什么出现三分之一次方？

K41 假设：在足够分离的惯性尺度 \(\eta\ll r\ll L\)，小尺度统计近似各向同性，典型速度增量只由 \(\varepsilon,r\) 决定。若 \(\delta u\sim\varepsilon^a r^b\)，时间量纲要求 \(-3a=-1\)，长度量纲要求 \(2a+b=1\)，因此

\[ \delta u(r)\sim(\varepsilon r)^{1/3},\qquad \tau_r\sim\frac r{\delta u(r)}=\varepsilon^{-1/3}r^{2/3}. \]

小尺度的增量较小、周转时间也较短；\(\delta u^2/\tau_r\sim\varepsilon\) 说明“通量相近”不等于“每个涡拥有相同能量”。这些式子保留了未知的无量纲常数，实验为比较尺度把前两个常数设为 1。

局部 Reynolds 数 \(\delta u(r)r/\nu\sim1\) 给出耗散尺度

\[ \eta=\left(\frac{\nu^3}{\varepsilon}\right)^{1/4}. \]

本页的能谱是单位质量、三维各向同性壳层积分的谱：

\[ \int_0^\infty E(k)\,\mathrm dk=\frac12\langle|\mathbf u|^2\rangle, \qquad [E]=\mathrm{m^3/s^2}. \]

由这一定义对 \(E\sim\varepsilon^a k^b\) 做同样的量纲配平，得到 \(a=2/3,b=-5/3\)，即

\[E(k)\sim C_K\varepsilon^{2/3}k^{-5/3}.\]

\(C_K=1.5\) 是本实验在这一谱约定下选用的参考值。一维纵向谱与三维壳层谱的系数不能直接混用；\(k\approx1/r\) 也只是尺度代理，不是精确 Fourier 变换。改变 Fourier 归一化时须同时修改谱定义与系数。

3. 可操作实验：公式参考带与黏性修正

JavaScript 失效时：取 \(L=1\,\mathrm m\)、\(\nu=10^{-5}\,\mathrm{m^2/s}\)、\(\varepsilon=1\,\mathrm{m^2/s^3}\)。于是 \(\eta\approx1.778\times10^{-4}\,\mathrm m\)，\(U=(\varepsilon L)^{1/3}=1\,\mathrm{m/s}\)，\(\mathrm{Re}=UL/\nu=10^5\)。取 \(r=0.01\,\mathrm m\)，可复算下面的公式基线。

量 公式 本例数值
典型增量 \((\varepsilon r)^{1/3}\) \(0.21544\,\mathrm{m/s}\)
周转时间 \(r/\delta u\) \(0.04642\,\mathrm s\)
波数代理 \(1/r\) \(100\,\mathrm{m^{-1}}\)
能谱基线 \(1.5\varepsilon^{2/3}k^{-5/3}\) \(6.9624\times10^{-4}\,\mathrm{m^3/s^2}\)
有符号三阶矩的惯性极限 \(-4\varepsilon r/5\) \(-0.008\,\mathrm{m^3/s^3}\)
绝对值六阶指数 K41 / She–Lévêque \(2\) / \(16/9\approx1.7778\)

实验选取 \(10\eta\le r\le L/10\) 作为人为的候选带，只有宽度至少一个数量级并含至少两个采样点才展开实线和读数。它是显示规则，不是验证惯性区的判据。窄带时仍然能画出公式直线，不能据此宣称实际流动满足 K41。有限黏性图采用下文 §3 的给定 \(S_2\) 构造。

4. 怎样读图才不会被直线说服？

能谱和通量由公式直接生成，因此平直斜率不是独立证据。真实检验还需测量速度增量、输入/耗散收支、方向依赖、时间稳定性和统计误差。实际数据里的有限带宽斜率也不能单独证明某个普适理论。

实验中 \(L,\nu,\varepsilon\) 采用 SI 单位，\(U=(\varepsilon L)^{1/3}\) 是为估算定义的大尺度速度。改变它们会改变 \(\eta\) 与候选带；改变阶数 \(p\) 只改变指数比较。有限黏性图给定统计函数后反算平衡项，尚未证明这个函数组能由某个真实流场实现。

1. 为什么平均方程还没有闭合？

在常密度、常黏度、不可压流动中，取能与时空导数交换的集合平均，写 \(u_i=\bar u_i+u_i'\)，其中 \(\overline{u_i'}=0\)。不可压性使 \(u_j\partial_j u_i=\partial_j(u_i u_j)\)；展开并平均后

\[ \overline{u_i u_j}=\bar u_i\bar u_j+\overline{u_i'u_j'},\qquad \rho(\partial_t\bar u_i+\bar u_j\partial_j\bar u_i) =-\partial_i\bar p+\mu\Delta\bar u_i-\rho\partial_j\overline{u_i'u_j'}. \]

这里省略外部体力；若存在应保留其平均。\(R_{ij}=\overline{u_i'u_j'}\) 是速度协方差，单位为 \(\mathrm{m^2/s^2}\)；作为动量方程中的附加应力通常写 \(-\rho R_{ij}\)，不要把协方差本身与应力单位混淆。只有另设平均流定常才能删除 \(\partial_t\bar u_i\)。

均值方程需要未知的 \(R_{ij}\)；为它写演化方程又引入三阶矩等量。这种统计层级来自非线性，称为闭合问题。RANS 模型为这些量提供模型关系；LES 解析较大尺度并模化未解析应力；DNS 不引入湍流闭合模型，但仍有空间、时间离散误差以及有限采样误差。三者分别回答不同精度与成本的问题；没有一套适合所有几何、Reynolds 数和流动机制的通用闭合公式。

2. K41 的前提不能由量纲分析证明

量纲配平是在“只有 \(\varepsilon,r\) 重要”的假设下进行的，不会证明方向性、壁面距离、旋转频率或浮力真的可以忽略。定义上述 \(U\) 后，代数上有

\[\frac L\eta=\mathrm{Re}^{3/4},\qquad \mathrm{Re}=\frac{UL}{\nu}.\]

在实测流动中若 \(U\) 独立测得，通常写 \(\varepsilon=C_\varepsilon U^3/L\)，于是 \(L/\eta=C_\varepsilon^{1/4}\mathrm{Re}^{3/4}\)；实验相当于固定 \(C_\varepsilon=1\)。大 Re 有利于尺度分离，却不能保证流动已经湍化或小尺度各向同性。

惯性区中 \(\Pi\approx\varepsilon\) 是统计能量收支：注入和直接黏性损失相对较小。有限 Re 下它们并非严格为零。二维流动还受涡量平方守恒的约束，可能出现能量逆级串与涡量平方正向级串；不能只把三维公式翻转符号来得到二维定律。

3. 从精确能量平衡到 4/5 律

3.1 固定增量方向与强迫约定

取 \(\hat{\mathbf r}\) 从 \(\mathbf x\) 指向 \(\mathbf x+\mathbf r\)，定义

\[ \delta u_L=[\mathbf u(\mathbf x+\mathbf r)-\mathbf u(\mathbf x)]\cdot\hat{\mathbf r}, \quad S_2(r)=\langle(\delta u_L)^2\rangle, \quad S_3(r)=\langle(\delta u_L)^3\rangle. \]

\(S_3\) 保留符号，\(\langle|\delta u_L|^3\rangle\) 则不保留；两者不可互换。设 \(\mathbf f\) 是方程中的单位质量体力（加速度），令

\[ F_{LL}(r)=\langle f_L(\mathbf x)u_L(\mathbf x+\mathbf r) +u_L(\mathbf x)f_L(\mathbf x+\mathbf r)\rangle. \]

在三维、不可压、齐次、各向同性、统计定常且相关函数足够正则的条件下，Kármán–Howarth 方程给出

\[ \frac1{r^4}\frac{\mathrm d}{\mathrm dr} \left[r^4\left(2\nu S_2'(r)-\frac{S_3(r)}3\right)\right]=2F_{LL}(r). \]

这一步来自两点速度方程相乘、平均与各向同性张量化简，是相关函数的精确收支，不使用 \(p/3\) 标度假设。由原点的正则性排除 \(r^{-4}\) 积分常数，乘 \(r^4\) 从 \(0\) 积到 \(r\)：

\[ \boxed{S_3(r)=6\nu S_2'(r)-\frac6{r^4}\int_0^r s^4F_{LL}(s)\,\mathrm ds.} \]

统计定常能量平衡使 \(\langle\mathbf u\cdot\mathbf f\rangle=\varepsilon\)，各向同性给 \(F_{LL}(0)=2\varepsilon/3\)。故也可写成

\[ S_3(r)=-\frac45\varepsilon r+6\nu S_2'(r) -\frac6{r^4}\int_0^r s^4\left[F_{LL}(s)-\frac{2\varepsilon}3\right]\,\mathrm ds. \]

\(4/5\) 从哪里来？ 常数强迫相关项的积分是 \(\int_0^r s^4\,\mathrm ds=r^5/5\)，再乘 \(6\times2/3\)，正好给出 \(4r/5\)。当 \(r\ll L\) 时强迫相关变化可小；当 \(r\gg\eta\) 时黏性项可小。在这两个相对修正同时消失的惯性极限，得到精确系数 \(S_3=-4\varepsilon r/5\)。有限 Re 的一个图上区间通常只能近似满足它。非定常或非各向同性时，不能直接使用已删去那些项的方程。

3.2 可复算反例：靠近原点不能一直画负斜线

对黏性正则流场，\(\delta u_L=r\partial_Lu_L+O(r^2)\)，所以 \(S_2=O(r^2)\)、\(S_3=O(r^3)\)。各向同性耗散关系给

\[S_2(r)\sim\frac{\varepsilon}{15\nu}r^2, \qquad 6\nu S_2'(r)\sim\frac45\varepsilon r.\]

黏性项恰好抵消 \(-4\varepsilon r/5\) 的一阶项。因此把惯性区直线直接画到 \(r=0\) 会违反小尺度正则性。

为把抵消画出来，人为选取一个光滑二阶函数，令 \(b=30^{3/4}\)、\(q=(r/(b\eta))^2\)：

\[S_2^{\mathrm{toy}}(r)=\frac{\varepsilon r^2}{15\nu}(1+q)^{-2/3}.\]

它在 \(r\ll b\eta\) 保留上面的二次式，在 \(r\gg b\eta\) 给出 \(2(\varepsilon r)^{2/3}\)。把强迫相关近似为常数，并用同一个 \(S_2^{\mathrm{toy}}\) 计算导数，可得

\[ V(r)=\frac{6\nu(S_2^{\mathrm{toy}})'(r)}{\varepsilon r} =\frac45\frac{1+q/3}{(1+q)^{5/3}},\qquad B(r)=\frac{-S_3^{\mathrm{toy}}}{\varepsilon r}=\frac45-V(r). \]

实验的绿色是 \(V\)，蓝色是 \(B\)，金色是总和 \(B+V=0.8\)。这个恒等式来自构造，不是由测量验证的定律；\(r\) 接近 \(L\) 时，连强迫常数近似也需要改进。模型不是完整流场解，也不保证所选各阶矩能由真实湍流共同实现。它的用途是理解被略去的黏性项如何改变读图。

4. 间歇性：高阶矩为何更敏感？

定义无量纲绝对值结构函数 \(M_p(\ell)=\langle|\delta u_L/U|^p\rangle\)，其中 \(\ell=r/L\)。若在某个标度极限 \(M_p\sim C_p\ell^{\zeta_p}\)，K41 的基线是 \(\zeta_p=p/3\)。高阶矩把较大的增量加上更高次幂，因此对稀少的大事件更敏感；有限样本的高阶指数尤其需要误差与收敛检查。

凹性不是一个任意拟合要求。 当所需矩有限，Hölder 不等式给出

\[M_{\theta p+(1-\theta)q}\le M_p^\theta M_q^{1-\theta},\qquad0<\theta<1.\]

取对数，除以 \(\log\ell<0\) 后不等号反向，再在标度极限略去有限常数项，得到

\[\zeta_{\theta p+(1-\theta)q}\ge\theta\zeta_p+(1-\theta)\zeta_q.\]

所以指数关于阶数是凹的；K41 的直线也满足凹性。非线性偏离才体现这里讨论的反常标度，不能把“凹”本身当成发现间歇性的证明。

本实验用 She–Lévêque 的现象学模型作对照：

\[\zeta_p^{\mathrm{SL}}=\frac p9+2\left[1-\left(\frac23\right)^{p/3}\right].\]

\(p=6\) 时为 \(16/9\)，比 \(2\) 小；\(p=1,2\) 时反而略高于 \(p/3\)。两套模型在 \(p=3\) 都给 \(1\)，也不能推出绝对值三阶矩必然等于 signed \(S_3\) 的精确关系。重整化群、多重分形等提供了研究工具，但本模型不是从一般三维 Navier–Stokes 方程无附加统计假设推导出的普适闭合。

5. 把尺度估算用到计算和测量

DNS 成本。 对近似均匀三维域，按 \(\Delta x\sim\eta\) 估算，格点数 \(N\sim(L/\eta)^3\sim\mathrm{Re}^{9/4}\)。若使用由大尺度平流速度 \(U\) 限制的显式 CFL 步长 \(\Delta t\sim\eta/U\)，模拟一个大涡时间 \(L/U\) 需要 \(L/\eta\sim\mathrm{Re}^{3/4}\) 步，故格点更新次数约为 \(\mathrm{Re}^3\)。这不是所有算法和壁湍流的统一成本定律，还没计谱算法对数因子、并行通信、壁面各向异性网格及多个统计独立周转时间。

大气估算。 \(\varepsilon=10^{-3}\,\mathrm{m^2/s^3}\)、\(\nu=1.5\times10^{-5}\,\mathrm{m^2/s}\) 给 \(\eta\approx1.36\,\mathrm{mm}\)。即使将 \(L\) 取为千米得到很大尺度比，也不能把整个区间都称作三维各向同性惯性区：旋转与稳定分层会引入新的长度和时间尺度。

标量混合。 对糖浓度等被动标量，分子扩散时间估算为 \(L^2/D\)，应与标量分子扩散率 \(D\) 比较，而非把 \(D\) 自动换成运动黏度 \(\nu\)。湍动拉伸、折叠产生细梯度后仍由分子扩散完成局部均匀化；大尺度有效扩散 \(D_t\sim u'\ell_c\) 也是依赖流动与相关长度 \(\ell_c\) 的模型估算。

6. 迁移题：不靠记忆斜率回答

  1. 固定 \(L,\varepsilon\)，把 \(\nu\) 减为原来的 \(1/16\)。\(\eta\)、尺度比、上述 DNS 格点数和每个大涡时间的更新次数各变几倍？
  2. 给定小尺度 \(S_2=\varepsilon r^2/(15\nu)+O(r^4)\)，为什么 \(S_3=-4\varepsilon r/5\) 不能在原点附近单独成立？这是否否定惯性极限的 \(4/5\) 系数？
  3. 在单位相同的归一化六阶矩上，固定两模型在 \(\ell=1\) 的振幅。取 \(\ell=10^{-3}\)，SL 与 K41 的预测之比是多少？这一个比值能证明某次实验存在间歇性吗？
展开推导与答案

  1. \(\eta\propto\nu^{3/4}\)，所以减为 \(1/8\)；\(L/\eta\) 增为 \(8\) 倍，格点数增为 \(8^3=512\) 倍，CFL 步数增为 \(8\) 倍，更新次数增为 \(4096\) 倍。也可用 \(\mathrm{Re}\) 增为 \(16\) 倍复核 \(16^{9/4}=512\)、\(16^3=4096\)；这些估计沿用 §5 的域与时间步假设。

  2. \(6\nu S_2'=4\varepsilon r/5+O(r^3)\)，正好抵消惯性直线的一阶项，留下 \(S_3=O(r^3)\)。极小尺度的黏性主导与惯性区的黏性可忽略是不同极限，二者不矛盾。

  3. 指数差为 \(16/9-2=-2/9\)，故比值为 \((10^{-3})^{-2/9}=10^{2/3}\approx4.64\)。这是固定振幅后的模型对比；真实推断还需实际速度样本、足够的统计量与尺度区间，并排查有限 Re 和强迫影响，不能用输入公式自证。

来源与后续

下一页：流动失稳、对流与分岔。线性失稳解释部分扰动的初始增长；有限振幅转捩和充分发展的湍流统计还需要后续分析。