高量 III · 路径积分与密度矩阵

对标：Sakurai §2.6 / Feynman–Hibbs ｜ 前置：mech-02（作用量）、qm-01、sc 线（数学站） 高量收官的两件现代武器：路径积分——量子力学的第三种表述（对一切历史求和），场论与统计物理的通用语言；密度矩阵——混合态与开放系统的语言，量子信息（qi 线）的记号地基，顺手回答"经典世界从哪来"（退相干）。

1. 路径积分：对一切历史求和

命题（Feynman） 传播子（\(t_a \to t_b\) 的跃迁幅）：

——对连接两端的一切路径求和，每条路径贡献相位 \(e^{iS/\hbar}\)（\(S\) = 经典作用量，mech-02 的主角）。

【推导骨架（时间切片）】 把 \(e^{-i\hat Ht/\hbar}\) 切成 \(N\) 段、每段插入位置完备基 \(\int|x\rangle\langle x|dx\)；单段幅用 \(\langle x'|e^{-i(\hat p^2/2m + V)\epsilon/\hbar}|x\rangle\)（Trotter 分解 + 动量高斯积分）= \(e^{\frac{i\epsilon}{\hbar}[\frac{m}{2}(\frac{x'-x}{\epsilon})^2 - V]}\)——指数上恰是 \(L\,\epsilon\)；连乘取极限即 \(e^{iS/\hbar}\) 的路径积分。\(\blacksquare\)

经典极限的一行解释：\(\hbar \to 0\) 时相位剧烈振荡、路径互相抵消，唯有 \(\delta S = 0\) 的驻相路径幸存（mp-01 驻相法）——最小作用量原理（mech-02）是量子干涉的宏观残影：为什么自然界"走极值路径"的两百年之谜在此闭合。双缝干涉 = 两条路径的最小求和；AB 效应【引用】：矢势通过相位 \(\frac{q}{\hbar}\oint\mathbf A\cdot d\boldsymbol\ell\) 影响干涉——规范势的物理实在性（pp-01 伏笔）。

Wick 转动（跨界之桥）：\(t \to -i\tau\) 后 \(e^{iS/\hbar} \to e^{-S_E/\hbar}\)——量子力学变成统计力学（虚时传播子 = 配分函数：\(Z = \mathrm{Tr}\,e^{-\beta\hat H}\) 是周期虚时的路径积分,温度 = 虚时周期的倒数）。这座桥的交通流量：量子蒙卡（comp-01）、场论的欧几里得方法（qft-03）、以及数学站 sc 线的 Feynman–Kac（同一公式的概率语言——三个学科在此共用一条隧道）。

2. 密度矩阵：混合态的语言

纯态不够用的两个场景：系综的统计混合（以概率 \(p_i\) 制备 \(|\psi_i\rangle\)）、纠缠系统的子系统。

定义：\(\hat\rho = \sum_i p_i|\psi_i\rangle\langle\psi_i|\)；期望 \(\langle A\rangle = \mathrm{Tr}(\hat\rho\hat A)\)；性质：自伴、\(\mathrm{Tr}\rho = 1\)、半正定（矩阵分析 II 的 PSD 语言）。纯度判据：\(\mathrm{Tr}\rho^2 = 1 \iff\) 纯态（\(\rho^2 = \rho\) 即秩一投影）。演化：von Neumann 方程 \(i\hbar\dot\rho = [\hat H, \rho]\)（经典 Liouville 的量子版——mech-03 再对账）。热平衡态：\(\rho = \frac{e^{-\beta\hat H}}{Z}\)（sm-02 Boltzmann 的算符形态）。

约化密度矩阵（纠缠的接口）：复合系统 \(|\Psi\rangle_{AB}\) 只看 A：\(\rho_A = \mathrm{Tr}_B|\Psi\rangle\langle\Psi|\)——纠缠纯态的子系统是混合态（信息在关联里而不在局部——qi-01 的中心事实）；纠缠熵 \(S = -\mathrm{Tr}\rho_A\ln\rho_A\)（von Neumann 熵——Shannon 熵（信息论线）的量子版：三条熵线在此三会）。

退相干（"经典世界从哪来"的半个答案）【机制级】：系统与环境纠缠 → 对环境取迹 → \(\rho_A\) 的非对角元（相干项）指数衰减（环境"记录"了哪条路径 = 相位信息泄漏）；口袋里的猫态在 \(\sim10^{-23}\) s 内退净【引用量级】——宏观叠加不是被禁止而是被极速泄密。测量问题的现代表述由此改写（残余的"选择基"问题仍开放——诚实边界）；量子计算的头号敌人（qi-03 纠错的对手）在此定性。

3. 练习与要点

例 1（自由粒子传播子亲算） 切片高斯积分逐层合成：\(K \propto e^{\frac{im(x_b - x_a)^2}{2\hbar t}}\)——指数恰是自由粒子经典作用量 \(\frac{iS_{cl}}{\hbar}\)（二次型拉氏量的普遍事实：路径积分 = 经典项 × 涨落行列式【引用】）。

例 2（Bell 态的约化） \(|\Psi\rangle = \frac{1}{\sqrt2}(|\!\uparrow\downarrow\rangle - |\!\downarrow\uparrow\rangle)\)：\(\rho_A = \frac12 I\)——最大混合（单看一边毫无信息）而全局是纯态：纠缠熵 \(\ln 2\)（一个 ebit）——qi-01 的第一笔账在此预付。

例 3（Wick 桥体感） 谐振子配分函数：虚时路径积分 = 周期边界的高斯积分 ⇒ \(Z = \frac{1}{2\sinh(\beta\hbar\omega/2)}\)——展开即 \(\sum e^{-\beta\hbar\omega(n+1/2)}\) ✓（sm-02 的求和被一条积分再生产：桥是通车的）。\(\blacksquare\)

下一门：经典电动力学（Jackson 主干）——把 em 三页升到研究生规格：边值问题的兵器谱与辐射的完整理论。