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凝聚态 II · 超导 BCS 理论

对标：Tinkham《Introduction to Superconductivity》/ Altland & Simons §6 / de Gennes ｜前置：cm-01、sm-03、asm-01（对称破缺/GL）凝聚态最辉煌的定理级故事：电子居然结对（声子做媒的弱吸引 + Fermi 海托底 = 任意弱吸引都不稳定）→ 配对凝聚开能隙 → 零电阻与 Meissner 效应。BCS（1957）是"涌现"的旗舰案例，也是规范对称破缺（pp-02 Higgs）思想的凝聚态原产地。

BCS 能隙随温度的变化与准粒子态密度。 — 图 cm-02.1左：能隙 \(\Delta(T)\) 由自洽能隙方程解出，在 \(T_c\) 处连续趋零（二阶相变），零温值满足普适比 \(2\Delta_0/k_BT_c\approx3.53\)。右：准粒子态密度 \(N(E)=N(0)E/\sqrt{E^2-\Delta^2}\)，在 \(E=\Delta\) 处发散——**隧道谱直接测量的就是这条曲线**。

1. 现象清单（理论要交的作业）

零电阻（\(T<T_c\)，超导环中电流年计无衰减）；Meissner 效应（完全抗磁，磁通被逐出——不是"理想导体"的推论而是独立现象，它才是"超导是新热力学相"的判据）；比热在 \(T_c\) 跳变且低温呈 \(e^{-\Delta/k_BT}\)（能隙存在的指纹）；同位素效应 \(T_c\propto M^{-1/2}\)（媒人是晶格——声子质量的指纹，破案的关键线索）。

2. Cooper 配对：Fermi 海上的不稳定性

吸引从哪来【机理】：电子极化晶格、留下正电尾迹，吸引后来者——延迟的间接吸引。能标为声子频率 \(\omega_D\)（solid-01），在 Fermi 面附近的窄壳层内胜过屏蔽后的库仑斥力。

Cooper 问题【完整推导】：在填满的 Fermi 海之上放两个电子（动量 \(\mathbf k,-\mathbf k\)，自旋单态），壳层 \(\omega_D\) 内有常吸引 \(-V\)。设波函数 \(\psi=\sum_k a_k|\mathbf k,-\mathbf k\rangle\)，薛定谔方程给

\[(2\xi_k - E)a_k = V\sum_{k'}a_{k'}\]

两边除以 \((2\xi_k-E)\) 并对 \(k\) 求和，消去公因子得自洽条件

\[1 = V\sum_k\frac{1}{2\xi_k-E}\approx N(0)V\int_0^{\omega_D}\frac{d\xi}{2\xi-E}\]

积分并解出束缚能：

\[E_b = 2\hbar\omega_D\,e^{-2/N(0)V}\]

结论惊人：任意弱的吸引都产生束缚态。三维自由空间做不到这一点——是 Fermi 海的态密度托底改变了问题的维数性质（Pauli 阻塞把二体问题变成"有底座的"二维型问题）。

\(e^{-1/x}\) 的非微扰性：它对 \(V\) 的一切阶泰勒展开皆为零——微扰论永远看不见超导（🔗 qft-02 §4 失效清单的凝聚态名例）。

3. BCS 基态与能隙方程

变分波函数：

\[|\mathrm{BCS}\rangle = \prod_{\mathbf k}\left(u_{\mathbf k}+v_{\mathbf k}c^\dagger_{\mathbf k\uparrow}c^\dagger_{-\mathbf k\downarrow}\right)|0\rangle,\qquad |u_k|^2+|v_k|^2=1\]

所有动量对"要么空、要么成对"的相干叠加。粒子数不确定而相位确定——数与相的共轭在此显形。

平均场解耦 + Bogoliubov 变换【推导骨架】：定义 \(\Delta = V\sum_k\langle c_{-k\downarrow}c_{k\uparrow}\rangle\)，哈密顿量被对角化为准粒子形式，准粒子能谱

\[E_k = \sqrt{\xi_k^2+\Delta^2}\]

准粒子 = 电子与空穴的相干叠加（cm-01 准粒子概念的极致）。自洽条件即能隙方程：

\[\Delta = \frac{V}{2}\sum_{\mathbf k}\frac{\Delta}{E_k}\tanh\frac{E_k}{2k_BT}\]

三条产出：

零温隙：\(\Delta_0 = 2\hbar\omega_D e^{-1/N(0)V}\)（Cooper 指数再现）；
临界温度：\(k_BT_c = 1.14\,\hbar\omega_D e^{-1/N(0)V}\)，两式相除给普适比

\[\frac{2\Delta_0}{k_BT_c}\approx3.53\]

这个比值与材料无关——BCS 最漂亮的"指纹预言"，被实验一一验证；

Fermi 面全面开隙 → 比热的指数律 ✓、隧道谱直接测出 \(\Delta\) ✓、同位素效应 ✓（\(\Delta\propto\omega_D\propto M^{-1/2}\)）。

4. 对称破缺读法：与 pp-02 的会师

BCS 态破缺 \(U(1)\) 相位对称，序参量 \(\Delta=|\Delta|e^{i\varphi}\)——这是 asm-01 的 Ginzburg–Landau 理论的微观兑现（GL 可由 BCS 在 \(T\to T_c\) 附近导出，Gor'kov）。

Meissner 效应 = 光子在超导体内变重：规范场吃掉相位模而获得质量，磁场被指数屏蔽，穿透深度 \(\lambda_L=\sqrt{m/\mu_0ne^2}\)。

这就是 Anderson–Higgs 机制的凝聚态原型——粒子物理的 Higgs（pp-02）是同一机制的真空版本。

宏观量子效应：

磁通量子化 \(\Phi_0 = h/2e\)——那个 2 就是配对的直接实验签名；
Josephson 效应：\(I = I_c\sin\Delta\varphi\)，两超导体间的相位差直接驱动电流。SQUID 磁强计与超导量子比特（🔗 qi 线的主流硬件）都建立在它之上——量子计算机建在 BCS 之上。

类型 I / II：由 GL 参数 \(\kappa=\lambda/\xi\) 区分。\(\kappa>1/\sqrt2\) 的第二类超导体允许磁通线（涡旋）穿入，这才使高场超导磁体成为可能（MRI、加速器、托卡马克，🔗 fl-06）。

5. 练习与要点

例 1（非微扰指数的手感） \(N(0)V=0.3\)：\(\Delta_0\sim2\hbar\omega_D e^{-3.3}\)。取 \(\omega_D\sim300\) K 得 \(\Delta\sim\) meV、\(T_c\sim10\) K ✓。这就是常规超导体的天花板逻辑：\(e^{-1/N(0)V}\) 把 \(T_c\) 压在声子能标的百分之几——高温超导为何必须另有机制的第一直觉【未解，第三档边界】。

例 2（普适比当体检） 实测 \(2\Delta_0/k_BT_c\)：Al 约 3.4、Pb 约 4.4。前者是教科书弱耦合 BCS，后者的偏离指向强耦合修正（Eliashberg）——一个比值就能区分两类超导体。

例 3（磁通量子的日常） \(\Phi_0=h/2e\approx2.07\times10^{-15}\) Wb。SQUID 以它为刻度测量脑磁场（fT 量级）——"配对电荷 \(2e\)"每天在医院被数出来。\(\blacksquare\)

下一门：粒子物理两页——把"对称性决定相互作用"推到极致：规范原理、标准模型的粒子谱与 Higgs 机制。