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近代物理 · 原子、光谱与核

对标：任意近代物理教材（Krane 级） ｜ 前置：qm-03/04、sm-03 一页拼图课：把量子力学的成果落到三块实地——原子与光谱（谱线是量子数的条形码）、激光（受激辐射的工程化）、原子核与放射性（结合能曲线一张图讲清裂变聚变）。定位是"物理世界观的完整性"，推导密度低于前四页、以机制与数量级为主。

学习层：一条谱线里哪些是定理，哪些只是模型的刻度？

1. 具体谜题：从波长反推能级，但不要把反推当成完整原子学

光谱仪给出的是光子波长 \(\lambda\)；在一个确定的量子模型内，能量守恒把它接到能级差：\(E_\gamma=hc/\lambda=E_{n_i}-E_{n_f}\)。对单电子、球对称 Coulomb 势，Schrödinger 方程的束缚态给出

\[ E_n=-\frac{\mu}{m_e}\frac{13.605693\ \mathrm{eV}\,Z^2}{n^2}, \qquad \frac1\lambda=R_\infty\frac{\mu}{m_e}Z^2\left(\frac1{n_f^2}-\frac1{n_i^2}\right), \]

其中 \(\mu=m_eM/(m_e+M)\) 是电子与核的约化质量，\(\lambda\) 一律指真空波长。这个公式在它的氢样模型里很强；它不是对多电子屏蔽、核自旋、辐射修正和实验线宽的全包办。

2. 先预测：三道观察题先锁住

  1. 氢原子中 \(3\to2\) 与 \(2\to1\) 哪一条线波长更长？
  2. 把同一跃迁的质子核换成更重的氘核，约化质量增大后，模型波长会略变长还是略变短？
  3. 电偶极（E1）跃迁若 \(\Delta\ell=0\) 或 \(|\Delta m|=2\)，仅仅因为上下能级不同，是否就足以成为同一近似下的允许线？

下面实验揭示前只保留这三项预测。揭示后的能级图、有限精度和修正条形是当前公式与当前参数的诊断读数；它们不是对完整原子 Hamiltonian 或一次实验测量的证明。

3. Rydberg 账本：谱系由能级差而不是绝对能级决定

在 \(Z=1\)、无限重核近似下，\(2\to1\) 的 Lyman-\(\alpha\) 真空波长约 \(121.50\ \mathrm{nm}\)，\(3\to2\) 的 Balmer-\(\alpha\) 约 \(656.11\ \mathrm{nm}\)；纳入质子有限质量后，分别为 \(121.568\) 和 \(656.470\ \mathrm{nm}\)。后者更长，是因为高激发层之间的能级差更小。有限核质量只把 \(R_\infty\) 乘上 \(\mu/m_e\)；氢与氘的差异很小，但可被高分辨率光谱读出，正是“同一个模型参数如何留下可测指纹”的例子。

常见的氢红线“656.3 nm”通常采用空气波长约定，不能拿来直接替代上述真空模型值。空气中 \(\lambda_{\rm air}=\lambda_{\rm vac}/n_{\rm air}\)，频率不变；折射率还依赖温度、压力、湿度。查表时先确认介质、同位素以及是否区分精细分裂；参见 NIST 光谱数据库波长约定。

选择定则来自跃迁矩阵元而非能级差本身。球对称基底和电偶极近似下

\[ \Delta\ell=\pm1,\qquad \Delta m=0,\pm1,\qquad \Delta s=0. \]

满足规则只表示 E1 矩阵元可能非零；还要有合法量子数、上下能级顺序和非零径向积分。违反规则的通道在 E1 近似下禁戒，但磁偶极、电四极、多电子组态混合或外场可以打开更弱的通道。

4. 修正的尺度：有用的数量级不等于完整分裂

对氢样离子，精细结构相对于约化静能 \(\mu c^2\) 的典型尺度为 \((Z\alpha)^4\)；相对于同一 \(n\) 的 Coulomb 结合能，尺度则是 \((Z\alpha)^2/n\)。固定低 \(n\) 时常简称相对 \(O((Z\alpha)^2)\)。一个便于量级比较的写法是

\[ \Delta E_{\mathrm{fs,scale}}\sim\frac12\,\mu c^2\frac{(Z\alpha)^4}{n^3}. \]

它把相对论动能、自旋–轨道和 Darwin 项的共同尺度说清楚，却没有给出依赖 \(j,\ell\) 的完整系数，更没有包含 Lamb shift 或超精细结构。弱外磁场下，Zeeman 一阶项可写成

\[ \Delta E_Z=\mu_Bg_Jm_JB. \]

这是一条能级的位移，谱线的能量位移须取上下两级之差：\(\delta E_\gamma=\mu_B(g_um_u-g_lm_l)B\)。实验只取参考 \(g_J=2,m_J=1/2\) 比较量级，没有给当前轨道配置求实际 \(g_J\)。当场引起的耦合可与相关精细分裂相比时，需考虑 Paschen–Back 混合；图中“Zeeman / 精细尺度”只作预警，不是精确的弱场分界。默认弱场示例取 \(0.01\) T；滑到强场时，红条仍是线性公式的外推，不是准确强场谱线。

无 JavaScript 时的静态读法：默认取氢、\(Z=1\)、Balmer-\(\alpha\)（\(3p\to2s\)）、\(B=0\)。氢样约化质量公式给 \(\lambda\approx656.47\ \mathrm{nm}\)；改为氘后同一模型的波长略短。Lyman-\(\alpha\) 的波长约 \(121.57\ \mathrm{nm}\)，明显短于 Balmer-\(\alpha\)。选择定则账本中 \(\Delta\ell=-1,\Delta m=0\)（末态减初态）记为满足 E1 角向规则；\(\Delta\ell=0\) 或 \(|\Delta m|=2\) 记为 E1 禁戒。还须先检查 \(0\le\ell<n\)：例如 \(1p\)、\(2d\) 不存在，不能归类为一条“很弱的禁戒线”。精细结构与 Zeeman 数值只作为数量级和弱场线性诊断，不能当作完整原子计算。

账本 模型内读法 有限实验给出的证据 明确边界
Rydberg 线 \(1/\lambda=R_MZ^2(1/n_f^2-1/n_i^2)\) 当前跃迁的波长与光子能量 单电子、Coulomb、束缚态模型
约化质量 \(R_M=R_\infty\mu/m_e\) H/D 同线的微小相对位移 核质量输入为近似，未拟合全部同位素效应
E1 选择定则 \(\Delta\ell=\pm1,\Delta m=0,\pm1\) 当前通道标为允许/禁戒 禁戒 E1 不等于所有多极过程绝对无谱线
精细结构 \((Z\alpha)^4\) 数量级 当前 \(Z,n\) 的尺度条 不是精确 \(j\) 分裂、Lamb 或超精细计算
Zeeman \(\mu_Bg_Jm_JB\) 弱场线性项 参考单能级的位移尺度 谱线要取上下级之差；强场混合需重解 Hamiltonian

5. 定理、模型和测量的边界

  • 模型内精确：在单电子、静态 Coulomb、非相对论 Schrödinger 模型中，能级差与 Rydberg 公式是该模型的解析结果；约化质量是把有限核质量纳入二体相对坐标后的模型修正。
  • 近似尺度：精细结构和弱场 Zeeman 项只展示首阶/数量级结构；完整原子计算还要指定相对论 Hamiltonian、核自旋、辐射场、外场强度与耦合基底。
  • 选择定则：它们是给定对称性、偏振和多极近似下的矩阵元规则；“允许”不等于强度相同，“禁戒”不等于在所有机制下绝对不可见。
  • 测量边界：真实谱线还受到 Lamb/超精细位移、同位素核结构、碰撞与 Doppler 展宽、仪器响应和多电子屏蔽影响。有限 SVG、舍入波长和一组 \(B\) 值只能诊断公式，不能冒充实验拟合。

6. 迁移检查：先判断是哪一本账，再算数

  1. 在同一 Coulomb 模型中计算 H 与 D 的 \(3\to2\) 真空波长差；若把 \(Z\) 从 1 改成 2 而保持核质量不变，波长和精细结构尺度各缩放多少？这能直接称作真实氦离子吗？
  2. 分别判断 \(3p,m=0\to2s,m=0\)、\(3p\to2p\)、\(2d\to1p\)：哪些满足角向 E1 规则，哪些是真正的禁戒候选，哪些根本没有这些态？
  3. 参考态 \(g_J=2,m_J=1/2\) 在 \(0.01\) T 和 \(3\) T 的线性移位是多少？能否把它直接加到 \(H_\alpha\) 光子能量上？
  4. 某介质的上下级简并度为 \(g_u=3,g_l=1\)，粒子数为 \(N_u=150,N_l=100\)。上级人数更多就一定放大吗？
展开独立计算与判断

1. 用 \(\lambda(M)=\lambda_\infty(1+m_e/M)\)，得到 H 为 \(656.469606\) nm、D 为 \(656.291030\) nm，差 \(0.178576\) nm。这里两者都是真空模型值，D 的数值碰巧接近 H 的空气红线，不能据此把两者混为一谈。固定质量改 \(Z\)，\(\lambda\propto Z^{-2}\)，所以变成 \(1/4\)；精细尺度 \(\propto Z^4\)，变成 16 倍。真实 He 核质量不同，实验中的这种组合只是控制变量的假想 Coulomb 模型。

2. 第一项量子数合法且 \(\Delta\ell=-1,\Delta m=0\)，满足角向规则；还需径向矩阵元等决定强度。第二项量子数合法但 \(\Delta\ell=0\)，在此 E1 近似下禁戒。第三项的 \(2d\) 有 \(\ell=2\not<2\)，\(1p\) 有 \(\ell=1\not<1\)，都不是氢样束缚态。不能先画一根物理跃迁箭头，再用“禁戒”掩盖不存在的态。

3. \(\mu_B B\) 分别为 \(0.578838\) 与 \(173.651454\ \mu\)eV。本页 \(Z=1,n=3\) 精细尺度约 \(26.819527\ \mu\)eV，两个比值约为 \(0.0216\) 与 \(6.47\)。后者已不适合称为弱场示例；实际判据要用耦合到的能级差。谱线修正需 \(g_um_u-g_lm_l\)，仅有一个参考态的移位不够。

4. 不是。每个子能级的平均占据是 \(N_u/g_u=50\)、\(N_l/g_l=100\)。在下文使用的 Einstein 速率模型中仍为净吸收；正增益要 \(N_u>300\)，开始自激振荡还须克服腔损耗。

需要回补时：氢原子态与量子数 → 微扰与跃迁矩阵元 → 本页光谱账本。核部分的计数与阈值推导见 核结构与衰变、核反应与探测。

含质子约化质量的 Coulomb 能级；2p→1s 与 3p→2s 两条真空模型谱线。

图 atom-01.1含质子约化质量的 Coulomb 能级；2p→1s 与 3p→2s 两条真空模型谱线。

1. 原子光谱：量子数的条形码

谱线 = 能级差（qm-01 例 3 的 Bohr 频率）；选择定则 \(\Delta\ell = \pm1, \Delta m = 0,\pm1\)（qm-04 矩阵元对称性）筛掉大部分组合——光谱既是元素指纹也是量子数的直接读数（天体成分全靠它：恒星光谱分类、宇宙红移测量的底层）。多电子原子：屏蔽 + 自旋轨道给复杂谱系（碱金属像"带修正的氢"——最外层单电子）；X 射线特征谱（内层空穴跃迁，同一特征线族的 Moseley 近似 \(\sqrt\nu \approx a(Z-\sigma)\)，其中 \(\sigma\) 是屏蔽常数——它提供核电荷数的实验依据）。

磁场中的谱线：Zeeman 分裂（qm-03 的 \(m\) 简并解除）\(\Delta E = \mu_Bg_JmB\)——测天体磁场的手段；Stern–Gerlach、NMR（qm-03 例 2）同族。

2. 激光：受激辐射的工程

对普通的离散能级增益介质，用 Einstein 系数分清三条路径：自发辐射 \(A_{ul}\)，受激辐射 \(B_{ul}\rho(\nu)\)，吸收 \(B_{lu}\rho(\nu)\)。受激过程向已有电磁模式增加光子；在经典相干场的描述中，表现为同频、同偏振且保持相位关系的放大。不要把“相位”当成每个独立光子携带的标签。

若各能级内部子态等占据，且使用相同谱线轮廓，简并度关系 \(g_lB_{lu}=g_uB_{ul}\) 给出净受激增量

\[ \rho(\nu)(N_uB_{ul}-N_lB_{lu}) =\rho(\nu)B_{ul}g_u\left(\frac{N_u}{g_u}-\frac{N_l}{g_l}\right). \]

因此反转比较的是每个子态的占据；等简并度时才简化为 \(N_u>N_l\)。正温度热平衡下 \((N_u/g_u)/(N_l/g_l)=e^{-h\nu/k_BT}<1\)，需要非平衡泵浦。常见三/四能级方案把泵浦跃迁与激光跃迁分开；四能级方案的下激光能级快速排空，通常更容易维持反转。

常规腔式激光把增益介质放在有反馈的光学谐振腔里。反转只给正增益，起振还要一次往返的增益超过总损耗（含输出耦合）；稳态时饱和增益与损耗平衡。腔提供模式选择，激光仍可能多模，线宽和发散角也不为零。进一步的速率方程与阈值推导见 MIT 激光课程第7章。

3. 原子核：结合能曲线一图流

核 = 质子 + 中子（费米子，壳层结构与幻数——qm-03 周期表逻辑在核内重演【引用】）；核力：短程强吸引（~fm）+ 库仑长程排斥的竞争。

结合能曲线与模型实验（每核子结合能 vs 质量数 \(A\)，峰值在 \(^{62}\)Ni 附近，\(^{56}\)Fe 与铁族核也处于约 \(8.8\) MeV 的宽峰）——一张图三件大事：

放射性三兄弟：α（隧穿逃逸，qm-02 Gamow——寿命指数律）、β（弱相互作用：\(n \to p + e + \bar\nu\)——中微子的出生地，pp-01 收线）、γ（核能级跃迁——核的"光谱"）。指数衰变律 \(\mathbb E[K(t)] = N_0e^{-\lambda t}\)：在独立、固定衰变率且无母核补给的模型里，单核寿命无记忆（概率 II 指数分布的物理原型）——碳-14 测年（半衰期 5730 年）、医学示踪的数学。

4. 练习与要点

例 1（谱线反推） 在静止氢源中，空气波长约 486.1 nm 的线与 Balmer \(H_\beta\)（\(4\to2\)）相符：粗算能量 \(13.6(1/4-1/16)=2.55\) eV；本页有限质子质量模型的真空值是 \(486.274\) nm。一个峰不能唯一鉴定元素或红移；实际用多条线的共同位移、强度和仪器标定交叉识别，再讨论宇宙学红移（cosmo-01）。

例 2（质量亏损账本） 使用核质量一致记账，\(^4\)He 结合能满足 \(\Delta m = 2m_p + 2m_n - m_{\mathrm{He\,nucleus}} \approx 0.0304\,u\)，故 \(E = 28.3\) MeV。太阳每秒约有 \(6\times10^{11}\) kg 氢参与净聚变，其中约 \(4\times10^9\) kg 的质量亏损转成辐射与中微子能量；不能把后者写成“每秒烧掉的燃料质量”。

例 3（衰变链算术） 碳-14：初始比活度已知、封闭且无污染的理想样本剩 25% ⇒ 两个半衰期 ≈ 11460 年——这是理想衰变年龄；实际年代还需大气碳-14变化与库效应等校准。\(\blacksquare\)

下一页：把量子力学装进 \(10^{23}\) 个原子的晶格——固体物理：声子与能带，现代电子文明的物理地基。