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天体 I · 辐射转移与恒星大气

对标：Rybicki & Lightman《Radiative Processes》/ Mihalas《Stellar Atmospheres》/ Carroll & Ostlie ch.9 ｜前置：em-03（辐射）、sm-02、atom-01（谱线） 天文学是一门几乎只能通过光来做的实验科学——除极少数例外（中微子、引力波、陨石），我们对天体的一切认识都编码在到达地球的光子里。本页讲清光如何携带信息、又如何在传播中被改造。

辐射转移方程的解：光学厚度对出射强度的影响与谱线形成。 — 图 ap-01.1左：强度随光学厚度趋于源函数 \(I\to S\)。右：**谱线形成**——线心不透明度高，形成于温度较低的高层，故呈吸收线；温度反转时同一机制给出发射线。

1. 比强度与辐射转移方程

比强度 \(I_\nu\)：单位面积、单位立体角、单位频率的能流。它在真空中沿光线守恒（这是"照片亮度与距离无关"的原因，而流量 \(F_\nu\propto1/d^2\) 才随距离下降）。

沿光线的演化：

\[\frac{dI_\nu}{ds} = -\alpha_\nu I_\nu + j_\nu\]

定义光学厚度 \(d\tau_\nu = \alpha_\nu ds\) 与源函数 \(S_\nu = j_\nu/\alpha_\nu\)：

\[\boxed{\ \frac{dI_\nu}{d\tau_\nu} = -I_\nu + S_\nu\ }\quad\Longrightarrow\quad I_\nu(\tau) = I_\nu(0)e^{-\tau}+\int_0^\tau S_\nu e^{-(\tau-\tau')}d\tau'\]

两个极限：

光学薄 \(\tau\ll1\)：\(I_\nu\approx I_\nu(0)+\int S_\nu d\tau\)——看穿整个介质，信息来自全体积（星云、星际气体）；
光学厚 \(\tau\gg1\)：\(I_\nu\to S_\nu\)——只能看到 \(\tau\sim1\) 的那一层，且强度趋于当地源函数。

热平衡下 \(S_\nu = B_\nu(T)\)（Planck 函数） → 光学厚天体发出黑体谱。这就是恒星近似为黑体的原因，也解释了"恒星表面"的含义：所谓光球，就是 \(\tau\approx2/3\) 的那一层——它不是物理界面，而是一个光学定义。

2. 有效温度与观测量

\[L = 4\pi R^2\sigma T_{\rm eff}^4\]

\(T_{\rm eff}\) 是定义式，不是实测温度——它是"若为黑体则应有的温度"。

天文的观测语言：

星等：\(m = -2.5\log_{10}F + \text{const}\)（对数标度，源自肉眼的响应）；
绝对星等 \(M\)：置于 10 pc 处的视星等；距离模数 \(m-M = 5\log_{10}(d/10\,\mathrm{pc})\)；
色指数 \(B-V\)：两波段星等差，是温度的代理（越蓝越热）。

HR 图的横轴正是色指数或 \(T_{\rm eff}\)（ap-02）。

3. 不透明度：光子如何被阻挡

\(\alpha_\nu\) 的主要来源：

电子散射（Thomson）：\(\sigma_T=6.65\times10^{-29}\ \mathrm{m^2}\)，与频率无关，主导高温电离区（也定义 Eddington 光度，ap-05）；
自由-自由（轫致）吸收：\(\propto\rho T^{-7/2}\)（Kramers 律，ap-02 会用）；
束缚-自由（光电离）：产生吸收边；
束缚-束缚：谱线；
负氢离子 H⁻：太阳型恒星光球的主要不透明度来源。

光子的随机行走：光学厚介质中光子走 \(N\sim\tau^2\) 步才逃出。太阳中心产生的光子扩散到表面需要约十万年量级——我们看到的阳光，其能量早已在路上待了很久。

4. 谱线：天体物理的信息主干

谱线携带的信息量惊人：

波长 → 元素种类（atom-01）；
强度 → 丰度与激发/电离态，由 Boltzmann 分布 + Saha 方程联系温度密度：

\[\frac{n_{i+1}n_e}{n_i} = \frac{2g_{i+1}}{g_i}\left(\frac{2\pi m_ek_BT}{h^2}\right)^{3/2}e^{-\chi_i/k_BT}\]

多普勒移动 → 视向速度（发现系外行星、测星系红移、判定双星）；
展宽 → 温度（热致）、湍动、压强（碰撞）、自转（谱线致宽）；
塞曼分裂 → 磁场（太阳黑子磁场的测量方式）。

Saha 方程的一个漂亮后果：氢的巴尔末线在 A 型星（约 10000 K）最强——不是因为 A 型星氢最多，而是因为该温度下处于 \(n=2\) 能级的氢原子比例最高。恒星光谱分类（OBAFGKM）曾被误以为是成分序列，实为温度序列——这是天文学史上一次重要的概念澄清。

5. 练习与要点

例 1（\(\tau=2/3\) 的来历） Eddington 近似下求解转移方程给 \(T(\tau)^4=\tfrac{3}{4}T_{\rm eff}^4(\tau+\tfrac23)\)——在 \(\tau=2/3\) 处 \(T=T_{\rm eff}\)，故光球定义于此。

例 2（临边昏暗） 太阳边缘偏暗：视线斜穿大气，\(\tau=2/3\) 对应更高（更冷）的层。这是"只能看到 \(\tau\sim1\) 层"的直接可视化证据，且可用来反推大气温度梯度。

例 3（多普勒的量级） 木星使太阳产生约 12 m/s 的视向速度摆动。现代高精度光谱仪的稳定度已达 m/s 量级，这正是径向速度法探测系外行星的物理基础。\(\blacksquare\)

下一页：把辐射转移与流体静力平衡放在一起，就能算出一颗恒星的内部结构——以及它为什么必然会死。