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天体 I · 辐射转移与恒星大气
对标：Rybicki & Lightman《Radiative Processes》/ Mihalas《Stellar Atmospheres》/ Carroll & Ostlie ch.9 ｜ 前置：电磁能量与辐射、统计系综、原子与谱线 天文学是一门几乎只能通过光来做的实验科学——除极少数例外（中微子、引力波、陨石），我们对天体的一切认识都编码在到达地球的光子里。本页讲清光如何携带信息、又如何在传播中被改造。
学习层：先做一块均匀滤镜，再问光从哪里来
1. 具身开场：一束手电穿过有雾的玻璃盒
把一束强度为 \(I_{\rm in}\) 的光送进一只均匀雾盒。雾会吸收/散射掉一部分光，也会沿视线发光；探测器只看到盒子出口。你调节“看起来有多厚”的光学厚度 \(\tau\)：薄时，入口信息仍清楚；厚时，出口越来越像介质自己的源函数。这个小盒子能把“传播中的信息”和“介质的发射”分开记账，但它不会凭一条出射亮度反推出整颗恒星的大气。
2. 形式桥：衰减项、源函数项与光学深度贡献
均匀、恒定源函数的标量转移方程是
出口账本只有两项：入口光的透射贡献 \(T=I_{\rm in}e^{-\tau}\)，以及每个光学深度小层发出的光在到达出口前的加权贡献。对 \(0\le t\le\tau\)，
（本实验取 \(S(t)=S\)）。因此 \(I_{\rm out}-S=(I_{\rm in}-S)e^{-\tau}\)：有限 \(\tau\) 下只有在 \(I_{\rm in}=S\) 的特殊边界时才有 \(I_{\rm out}=S\)；否则只能在 \(\tau\to\infty\) 的极限中趋近源函数。
薄极限要保留入口光的一阶衰减：\(e^{-\tau}=1-\tau+O(\tau^2)\)，所以
3. 预测门：先判主导项和边界
实验先隐藏曲线、分层贡献和源函数闭合。对当前预设预测：
- 当前参数下，出口的主要项是透射入口光、源函数发光，还是两者可比？这里约定：一项超过另一项两倍才算主导，否则称可比；两项均零也选可比。
- 当 \(\tau\) 有限且 \(I_{\rm in}\ne S\) 时，能否精确写 \(I_{\rm out}=S\)？
- 若介质有散射，是否自动有 \(S=B\)？LTE、纯散射和部分热化的边界分别是什么？
4. 动手：沿光学深度读两本账
揭示后可切换薄/厚纯吸收 LTE、入口与源函数相等、以及散射源函数预设，并调节 \(\tau\) 与 \(I_{\rm in}\)。响应式图显示光线从入口到出口的强度轨迹和 \(S\) 水平线；分层柱图比较各层真正抵达出口的贡献，表格按光学深度区间列出每层对出口的源函数贡献、透射入口项、总和与 LTE/散射边界。
无 JavaScript 时的静态读法：默认取薄纯吸收 LTE slab：\(I_{\rm in}=0.25\)、\(S=B=1.40\)、\(\tau=0.25\)。
| 账本层 | 数值 / 公式 | 解释 |
|---|---|---|
| 入口透射 | \(0.25e^{-0.25}=0.19470\) | 入口信息乘逃逸因子 |
| slab 源函数总贡献 | \(1.40(1-e^{-0.25})=0.30968\) | \(\int_0^{0.25}S e^{-(0.25-t)}dt\) |
| 出口强度 | \(I_{\rm out}=0.50438\) | 两项相加，有限厚度下不等于 \(S\) |
| 源函数边界 | 纯吸收 LTE：\(S=B\) | 这是源函数闭合，不是由观测亮度自动推出的温度 |
| 厚度极限 | \(\tau\gg1\Rightarrow I_{\rm out}\to S\) | 这是恒定源函数的厚度极限；薄层不可直接套用 |
对各向同性、相干散射与 LTE 真吸收的混合，\(S=(1-\epsilon)J+\epsilon B\)；实验把 \(J\) 当作给定输入，并未求解自洽散射场。只有完全热化（\(\epsilon=1\)）或额外满足 \(J=B\) 等条件才退化为 \(S=B\)。这个均匀 slab 是正演玩具，不是恒星大气的唯一反演器。
5. 误区 / 模型边界
- 光学厚并不等于“看见真实表面”：出射强度是深度积分。下文会区分核的平均深度、贡献函数峰值与灰大气的 \(2/3\)；三者不能混用。
- 纯吸收且物质 LTE 时，热发射源函数为 \(B_\nu(T)\)；加入散射后，总源函数还包含平均辐射场 \(J_\nu\)。物质 LTE 不保证 \(J_\nu=B_\nu\)。
- \(I_{\rm out}\approx S\) 可能只是大 \(\tau\) 的数值近似；亮度/源函数相等必须写出 \(I_{\rm in}=S\) 或 \(\tau\to\infty\) 等条件。
- 本实验只做恒定 \(S\)、单频、单方向、均匀 slab 的正演；恒星大气反演还需要结构、频率依赖、不透明度、几何、边界条件和观测噪声模型。
1. 一束光究竟在记什么量？
把探测器面积 \(dA\) 与光线夹角的余弦记为 \(\cos\theta\)。频率区间 \(d\nu\)、方向区间 \(d\Omega\)、时间 \(dt\) 内收到的能量定义比强度：
\(I_\nu\) 的 SI 单位是 \(\mathrm{W\,m^{-2}\,sr^{-1}\,Hz^{-1}}\)，面积必须投影。沿同一惯性系中不发生频移的真空光线，\(I_\nu\) 不因距离而衰减；远处恒星的总接收流量变小，是因为它占据的立体角变小。宇宙膨胀、相对运动或引力红移需要另处理：无碰撞传播的相空间不变量是 \(I_\nu/\nu^3\)，不能跨频移直接说 \(I_\nu\) 不变。RAPTOR I，§2.2
令 \(s\) 沿光线增加。消光系数 \(\alpha_\nu\) 的单位为 \(\mathrm{m^{-1}}\)，发射系数 \(j_\nu\) 的单位是“比强度每米”。一小段路的账本为
若采用质量不透明度 \(\kappa_\nu\)（\(\mathrm{m^2\,kg^{-1}}\)），则 \(\alpha_\nu=\rho\kappa_\nu\)。对正消光介质，定义无量纲光学深度 \(dt=\alpha_\nu ds\)、源函数 \(S_\nu=j_\nu/\alpha_\nu\)，于是 \(dI_\nu/dt+I_\nu=S_\nu\)。乘积分因子 \(e^t\)，再从入口积分到出口：
这一步解释了实验柱图：第 \(k\) 层的柱高是 \(C_k=\int_{t_k}^{t_{k+1}}S e^{-(\tau-t)}dt\)，并非该层刚发出的 \(S\Delta t\)。均匀层内发射量相同，越靠近出口，被后续消光削弱得越少。实验强度共用一个任意固定单位，\(t,\tau\) 无量纲；它没有指定真实恒星的温度或长度。
厚度不是万能结论。 恒定 \(S\) 时，入口项消失便有 \(I_{\rm out}\to S\)；若 \(S(t)\) 随深度变化，出口留下的是加权积分，不能任意替换成某一点的局部值。薄层也不是没有吸收：\(I_{\rm out}=I_{\rm in}+(S-I_{\rm in})\tau+O(\tau^2)\) 同时保留入口衰减和介质发射。
2. 散射为何不能直接当成黑体发光？
把消光拆为真吸收与散射：\(\alpha_\nu=\alpha_{\nu,a}+\alpha_{\nu,s}\)。真吸收后能量与物质交换；相干散射则把同一频率的辐射从其他方向转入当前方向。假定真吸收的物质处于 LTE、散射各向同性且相干：
\(\epsilon=1\) 是纯真吸收，\(\epsilon=0\) 是纯散射；\(J=B\) 也会让混合源函数恰为 \(B\)，但这不是物质 LTE 自带的条件。真实散射问题中，\(J\) 又来自所有方向的转移解，因此各方向必须联立。实验的散射预设只给定 \(B=1,J=0.25,\epsilon=0.15\)，得到 \(S=0.3625\)；它展示闭合关系，不模拟自洽热化深度。频率重分布、偏振或非各向同性散射还要扩大方程组。
3. “看见 τ≈1”与“光球 τ=2/3”是同一句话吗？
现在改用恒星大气常见坐标：竖直光学深度 \(\tau_v\) 从表面向内部增加，外向光线与外法线夹角的余弦为 \(\mu=\cos\theta>0\)。沿外向光线有 \(d\tau_v=-\mu\alpha ds\)，所以
符号改变来自坐标方向，并非物理规律改变。对于静态、平面平行、半无限大气，取外向解在深处无指数增长，且源函数各向同性，表面出射为
归一化核 \(e^{-t/\mu}/\mu\) 的平均深度为 \(\mu\)。若 \(S(t)=a+bt\)，直接用 \(\int_0^\infty e^{-u}du=1\)、\(\int_0^\infty ue^{-u}du=1\)：
这就是 Eddington–Barbier 关系在线性源函数下的精确情形。源函数有曲率时只是近似；例如 \(S=a+bt+ct^2\) 给 \(I=a+b\mu+2c\mu^2\)，比 \(S(\mu)\) 多 \(c\mu^2\)。此外，“平均深度为 \(\mu\)”不是说每单位 \(dt\) 的贡献在 \(t=\mu\) 最大：常 \(S\) 的贡献在表面最大，按 \(d\ln t\) 记账才在 \(t=\mu\) 达峰。
对于表面无外来辐射，向外流量要再作角积分：
因此 \(\mu\) 对应某一视线，而 \(2/3\) 出现在角度加权后的流量里，不能将每条斜视线都指派到竖直深度 \(2/3\)。
灰大气的温度律从哪里来？
以下换成全频率积分量，并假定灰不透明度、纯吸收 LTE、辐射平衡、表面无外照射。定义角矩
对转移方程取前两个矩，得到 \(dH/d\tau_v=J-B\)、\(dK/d\tau_v=H\)。辐射平衡令 \(H\) 为常数、\(J=B\)。再采用 Eddington 闭合 \(K=J/3\) 与近似表面条件 \(J(0)=2H\)，逐步得到
这里 \(T(2/3)=T_{\rm eff}\) 是这组近似的结果；真实大气的非灰谱线、对流、外照射和更精确角分布会改变它。将线性 \(B(\tau_v)\) 代入出射积分得到图中全频率积分的临边昏暗律 \(I(\mu)/I(1)=(3\mu+2)/5\)。它描述中心 \(\mu=1\) 到临边 \(\mu\to0^+\) 的理想趋势，不是所有波段的太阳数据拟合。Rutten 2003，§2.2.2、§7.3.3
4. 同一种谱线不透明度，为什么能产生三种光谱？
先只考虑一条窄频带里的均匀前景层，背景 \(I_{\rm in}=1\)，源函数在频带内近似常数。令 \(x=(\nu-\nu_0)/\Delta\nu_*\)，自设轮廓为
远离线心的连续谱为 \(I_c=S+(1-S)e^{-0.1}\)，图画 \(I_\nu/I_c\)。对光学厚度求导：
于是 \(S=0.3\) 时高不透明度线心更暗，\(S=1\) 时完全无谱线，\(S=1.7\) 时线心更亮。不透明度增大决定采样权重，源函数与背景的对比决定此模型的吸收或发射。 更完整的恒星模型要让 \(S_\nu\) 随深度改变：在纯吸收 LTE、温度向外下降等条件下，线心较大的不透明度可让其采样到较冷层；不能只凭“线心形成得高”推断任何大气都吸收。
不透明度来自不同过程，必须保留量纲和条件：
| 过程 | 适用说明 |
|---|---|
| Thomson 电子散射 | 电子静止系中 \(h\nu\ll m_ec^2\) 的低能近似，截面约 \(6.65\times10^{-29}\,\mathrm{m^2}\)；高能时需要 Compton/Klein–Nishina 处理 |
| 自由—自由吸收 | 固定组成下 \(\alpha_{\nu,\rm ff}\propto\rho^2T^{-1/2}\nu^{-3}(1-e^{-h\nu/(k_BT)})g_{\rm ff}\)；\(g_{\rm ff}\) 是 Gaunt 修正因子 |
| 频率平均的 Kramers 标度 | 在相应近似下 \(\kappa_{\rm ff}\propto\rho T^{-7/2}\)；乘 \(\rho\) 才成为每长度消光系数，不等同于逐频率公式 |
| 束缚—自由、束缚—束缚 | 分别产生电离边与谱线；须知道占据数、截面和线型 |
| 负氢离子 H⁻ | 太阳型光球可见光连续不透明度的重要来源，不能推广为所有温度下都主导 |
均匀、各向同性随机行走中，平均自由程 \(\ell=1/\alpha\)，跨越尺度 \(L\) 的步数标度 \(N\sim(L/\ell)^2=\tau^2\)，时间标度 \(t\sim N\ell/c=L^2/(c\ell)\)。连续扩散系数为 \(D=c\ell/3\)；准确逃逸时间还含几何和边界因子。真实恒星的密度、不透明度和能量输运方式随半径变化，不能把这一个常系数估计直接当成太阳的精确扩散年龄。
5. 怎样从观测走回物质状态？
有效温度由表面全频率流量定义：\(L=4\pi R^2\sigma_{\rm SB}T_{\rm eff}^4\)。它可以由校准观测结合半径等信息推断，但不是某一个物质层的温度读数，也不要求恒星每个波长都严格为黑体。
在同一校准波段内，星等差 \(m_1-m_2=-2.5\log_{10}(f_1/f_2)\)；绝对星等定义为置于 \(10\,\mathrm{pc}\) 的视星等。在低红移欧氏距离近似下，含该波段消光 \(A\) 的距离模数为 \(m-M=5\log_{10}(d/10\,\mathrm{pc})+A\)。宇宙学红移还需相应距离与波段修正。色指数 \(B-V\) 可约束温度，但尘埃红化、金属丰度和表面重力也会改变颜色。
谱线的位置、强度、宽度和偏振分别提供能级、占据数、速度分布及磁场信息。强度与丰度并不一一对应：线的饱和、消光和背景也参与转移。LTE 理想非简并气体的 Saha 方程是
其中 \(n_i\) 是电离级 \(i\) 的总数密度，\(U_i=\sum_r g_r e^{-(E_r-E_{i,0})/(k_BT)}\) 是内部配分函数，\(\chi_i\) 为电离能，因子 2 计入自由电子自旋。只在基态主导时才能用基态简并度代替 \(U_i\)。配合级内 Boltzmann 分布，才能估计氢的 \(n=2\) 占据。温度过低难以激发、过高又容易电离，解释了巴尔末线在 A 型星附近较强的趋势；峰值还依赖密度和大气结构，不能说所有气体都在同一个温度达到相同最大比例。
6. 迁移练习：能否分清模型与反演？
- 恒定源函数层中 \(I_{\rm in}=2,S=0.5,\tau=\ln2\)。分别算入口透射、源项和出口。若只测到这个出口值，能唯一确定 \(S\) 与 \(\tau\) 吗？
- 半无限大气取 \(S(t)=1+2t+0.4t^2\)、\(\mu=0.5\)。求精确出射强度及 \(S(\mu)\)，解释误差来自哪里。若源函数改为 \(1+2t\)，求表面流量。
- 上图前景层取 \(S=0.3\) 与 \(S=1.7\)，估计线心的连续谱归一化强度。另有低速多普勒测量：\(\lambda_0=500\,\mathrm{nm}\)、径向速度 \(12\,\mathrm{m/s}\)，波长位移多大？这个数字能否单独证明仪器足够精确？
展开核对推导与边界
1. \(e^{-\tau}=1/2\)，透射为 \(1\)，源项为 \(0.25\)，出口为 \(1.25\)。另一组 \(S=1,\tau=\ln4\) 也给 \(I_{\rm out}=1.25\)，所以一次亮度观测存在退化；还需多频率、几何或其他独立约束。
2. 精确积分为 \(1+2\mu+0.8\mu^2=2.2\)，而 \(S(\mu)=2.1\)；差值 \(0.4\mu^2=0.1\) 是源函数曲率项。线性情形 \(F=\pi(1+4/3)=7\pi/3\)，不可用某条光线的 \(I\) 直接充作 \(F\)。
3. 线心 \(\tau=3.1\)，代入形式解与连续谱归一化，分别约 \(0.355\) 和 \(1.564\)。低速纵向多普勒近似给 \(\Delta\lambda/\lambda_0\simeq v_r/c\)，故位移约 \(2.00\times10^{-5}\,\mathrm{nm}\)；正负号由远离或接近决定。它只是信号量级，不能取代对校准、光子噪声、恒星活动和多条谱线联合估计的检验。
离页检查：能从积分因子得到形式解；能说清 LTE 与散射的闭合条件；能区分视线深度 \(\mu\)、角积分中的 \(2/3\) 与真实光球；能举出相同出射强度对应不同介质的例子。随后进入恒星结构与演化，把表面流量与内部能量输运连接起来。