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场论 III · 路径积分与重整化

对标：Peskin & Schroeder §9–12 / Srednicki / Weinberg I §12 ｜ 前置：qft-01/02、aqm-03（路径积分）、asm-03（RG——本页是它的动量空间孪生） 场论收官：路径积分（现代场论的官方语言）与重整化（圈图发散的系统驯服）。核心思想一句话——发散不是理论的病，是"假装理论适用到无穷高能"的病。重整化 = 承认自己是有效理论。

QED 与 QCD 的跑动耦合：屏蔽与渐近自由。

图 qft-03.1跑动耦合常数。QED（\(\beta>0\)）随能标升高而变强——真空极化的屏蔽效应；QCD（\(\beta<0\)）随能标升高而变弱——渐近自由，并在 \(\Lambda_{\rm QCD}\sim200\) MeV 附近发散，微扰论失效（夸克禁闭区）。

1. 场的路径积分

aqm-03 的公式升维（对场的一切历史求和）：

\[\langle\Omega|T\phi(x_1)\cdots\phi(x_n)|\Omega\rangle = \frac{\int\mathcal D\phi\ \phi(x_1)\cdots\phi(x_n)\,e^{iS[\phi]}}{\int\mathcal D\phi\ e^{iS[\phi]}}\]

生成泛函 \(Z[J]=\int\mathcal D\phi\,e^{iS+i\int J\phi}\)，对源求泛函导数产出一切关联函数。

自由场的高斯积分【完整推导】：\(S_0=\int d^4x\,\tfrac12\left[(\partial\phi)^2-m^2\phi^2\right] = -\tfrac12\int\phi(\partial^2+m^2)\phi\)。无限维高斯配方（把 \(\phi\to\phi+\Delta_F J\)）给

\[Z_0[J]=Z_0[0]\exp\left[-\tfrac{i}{2}\int d^4x\,d^4y\,J(x)\Delta_F(x-y)J(y)\right]\]

\(\Delta_F\) 即 Feynman 传播子。两次求导即得两点函数，四次求导自动产生三项配对——Wick 定理由此一行证出（配对即高斯积分的矩公式）。

\(\ln Z\) 生成连通图：这与概率论中"矩母函数的对数生成累积量"逐字同构（🔗 sm-02）。\(Z[J]\) 就是场论的 MGF。

Wick 转动：\(t\to-i\tau\) 使 \(e^{iS}\to e^{-S_E}\)——得到统计力学的配分函数。\(S_E\) 就是 asm-01 的 Ginzburg–Landau 自由能泛函。qft 与临界现象是同一数学的两个读法，这也是本页与 asm-03 互为镜像的根源；格点 QCD 正是这条欧氏积分的蒙卡实现（🔗 comp-01）。

规范场的量子化：规范冗余使 \(\mathcal D A\) 重复计数，需 Faddeev–Popov 手续，代价是引入鬼场【引用】。

2. 发散从哪来：单圈的解剖

以 \(\phi^4\) 的四点函数单圈修正（"鱼"图）为例：

\[i\mathcal M_{1\text{-loop}} \sim \frac{(-i\lambda)^2}{2}\int\frac{d^4\ell}{(2\pi)^4}\frac{i}{\ell^2-m^2}\cdot\frac{i}{(\ell+p)^2-m^2}\]

大 \(\ell\) 时被积函数 \(\sim1/\ell^4\)，而测度 \(d^4\ell\sim\ell^3d\ell\) → \(\int d\ell/\ell\)：对数紫外发散。

病灶的物理定位：\(\ell\to\infty\) 即短距离。发散意味着"我们假装这个理论一直适用到零距离"——这个假设本身才是错的。

正规化（先给积分立规矩，发散被参数化而非消失）：

3. 重整化：三步操作

① 承认裸参数不可观测。 拉氏量中的 \(m_0,\lambda_0\) 是形式记号，实验测不到它们。

② 用实验定义物理参数：例如在某个动量点 \(s_0\) 定义 \(\lambda_R \equiv -\mathcal M(s_0)\)。

③ 消去裸参数。 把 \(\lambda_0\) 用 \(\lambda_R\) 表达后代回，得到

\[\mathcal M(s) = -\lambda_R - \frac{3\lambda_R^2}{32\pi^2}\ln\frac{s}{s_0}+O(\lambda_R^3)\]

\(\Lambda\)（或 \(1/\epsilon\)）完全消失——用物理量表达物理量，发散逐阶相消。这就是重整化的全部内容：不是"减去无穷大"，而是"承认参数必须由实验定"。

可重整性判据：耦合的质量量纲 \(\ge0\)。四维中 \([\lambda_{\phi^4}]=0\) ✓，\([\lambda_{\phi^6}]=-2\) ✗，\([G_N]=-2\) ✗。只需有限个参数即可吸收全部无穷 → \(\phi^4\)、QED、标准模型全体可重整。

4. 跑动耦合与重整化群

物理耦合依赖定义能标 \(\mu\)，其变化率即 \(\beta\) 函数：

\[\mu\frac{d\lambda}{d\mu} = \beta(\lambda)\]

这是 asm-03 的 RG 流在动量空间的孪生：粗粒化 ⟺ 降能标；不动点、相关/无关方向逐字对应。

两大剧本：

5. Wilson 的和解：有效理论

现代读法：一切场论都是有效理论。高能自由度被积掉后，其影响以两种形式留存——跑动的参数，以及被 \((E/\Lambda)^n\) 压低的无关算符。

这与 asm-03"低能不必知道高能细节"是同一句话的两种说法。

后果："不可重整"不再是死刑，而是"有效范围有限"的标签。广义相对论作为有效场论在低能完全可用，只在接近 Planck 能标时失效——这正是量子引力问题的精确表述（本站第三档边界，如实标注）。

6. 练习与要点

例 1（量纲判可重整） 四维中由 \([\mathcal L]=4\) 反推：\(\phi^4\) 可重整、\(\phi^6\) 与引力不可重整。一分钟的量纲体操，给出二十世纪两大结论的入口。

例 2（跑动的数值体感） 单圈 QED：\(\alpha(\mu)=\dfrac{\alpha_0}{1-\frac{2\alpha_0}{3\pi}\ln(\mu/m_e)}\)。代入 \(\mu=M_Z\approx91\) GeV 验证 \(1/137\to1/128\) 的量级 ✓。"常数不常"的亲手确认。

例 3（Landau 极点是诚实而非缺陷） 上式分母归零处 \(\alpha\to\infty\)，对 QED 约在 \(10^{286}\) eV——远超一切物理能标，甚至远超 Planck 能标。这说明 QED 在其适用域内完好无损，且理论自带失效路标。重整化群给出的是一份体检报告。\(\blacksquare\)

下一门：凝聚态理论两页——二次量子化把"多电子"变成"场"，BCS 让电子结对超导：qft 的语法在固体里的第二人生。