统计进阶 II · Ising 模型

对标：Goldenfeld §3 / Baxter 入门 ｜ 前置：asm-01、sm-02、ma-03（转移矩阵 = Perron 的舞台） 统计物理的果蝇：\(H = -J\sum_{\langle ij\rangle}s_is_j - h\sum s_i\)（\(s = \pm1\)）。本页三场战役：一维精确解（转移矩阵法——无相变的证明）、平均场解（自洽方程）、二维 Onsager 结果（精确解与平均场的对照表）。Ising 同时是 ML 的老朋友——Hopfield 网络与玻尔兹曼机就是它。

1. 一维精确解：转移矩阵法

【推导（完整）】 周期链的配分函数按键分解：

其中 \(2\times2\) 转移矩阵 \(T_{ss'} = e^{\beta Jss' + \frac{\beta h}{2}(s + s')}\)。求迹 = 特征值之和：\(Z = \lambda_+^N + \lambda_-^N \approx \lambda_+^N\)（热力学极限由最大特征值统治——ma-03 Perron–Frobenius 的物理正身：\(T\) 元素恒正 ⇒ \(\lambda_+\) 非简并）。\(h = 0\) 时 \(\lambda_\pm = 2\cosh\beta J,\ 2\sinh\beta J\)：

——处处解析 ⇒ 一维 Ising 无相变（有限温度磁化恒零）。\(\blacksquare\)

为什么一维不了（Peierls 论证）【推导直觉】：翻转一段畴的能量代价 \(= 2J\)（两个畴壁）与段长无关，而位置熵 \(\sim k_B\ln N\) 随尺寸增长——\(T > 0\) 时熵必胜、序必碎；二维畴壁代价 \(\propto\) 周长，能量能与熵抗衡 ⇒ 有相变（Peierls 由此严格证明二维有序【引用】）——"能量-熵竞争 + 维数"三句话讲清相变存在性（sm-01 \(F = U - TS\) 博弈的最锋利应用）。

2. 平均场解（Weiss 自洽场）

每个自旋感受邻居的平均场 \(h_{\text{eff}} = Jzm\)（\(z\) = 配位数）——单自旋在有效场中的磁化自洽：

【推导 + 图解】 \(h = 0\)：直线 \(m\) 与曲线 \(\tanh(\beta Jzm)\) 的交点——斜率判据给 \(T_c = \frac{Jz}{k_B}\)；\(T < T_c\) 出现非零解对（对称破缺的图解版）；\(T_c\) 附近展开 \(\tanh\) 回收 Landau 理论（\(\beta = \frac12\) 全套——Landau 是一切平均场的包络，asm-01 的公式获得微观出身）。失误清单：一维预言 \(T_c = \frac{2J}{k_B} > 0\)（错——精确解说无相变）；二维预言 \(T_c = 4J/k_B\) vs 精确 \(2.269J/k_B\)——维数越低错得越狠（涨落被忽略的代价，Ginzburg 判据的实例）。

3. 二维 Onsager（对照表级掌握）

定理（Onsager 1944）【引用】 二维方格 \(h = 0\) 精确可解：\(k_BT_c = \frac{2J}{\ln(1 + \sqrt2)} \approx 2.269J\)；比热对数发散（\(\alpha = 0_{\log}\)）；\(\beta = \frac18\)（Yang 1952）。

读法：指数只依赖维数与对称性（普适性——液气临界点与三维 Ising 同指数：实验证实的惊人事实），不依赖格子细节/相互作用强度——"为什么"是 asm-03 重整化群的中心问题。Onsager 解的技术（转移矩阵的无穷维对角化/费米子化【引用】）属专门课，结果与含义是常识级必备。

4. Ising 的第二人生：机器学习

同一个能量函数的四张面孔：Hopfield 联想记忆（\(J_{ij}\) 存模式、动力学下坡到记忆——能量景观语言）；玻尔兹曼机（Ising 的学习版：调 \(J_{ij}\) 使 Boltzmann 分布拟合数据——受限版 RBM 是深度学习史前史的主角）；MCMC 采样的试验场（Metropolis 算法的原生舞台——comp-01 主角）；自旋玻璃（随机 \(J_{ij}\)）→ 神经网络损失面的统计物理【引用 Parisi 线】。"能量模型"这个 ML 词汇的能量，就是本页的 \(H\)——两个学科在同一公式上各自发展了五十年。

5. 练习与要点

例 1（转移矩阵练手） 加场 \(h\) 的一维链：写出 \(T\)、算 \(\lambda_+\)、磁化 \(m = \frac{\partial\ln\lambda_+}{\partial(\beta h)} = \frac{\sinh\beta h}{\sqrt{\sinh^2\beta h + e^{-4\beta J}}}\)——\(T \to 0\) 阶跃、\(T > 0\) 光滑（无相变的显式面目）；顺手对账 ma-03："最大特征值的一切"。

例 2（Peierls 估算二维 \(T_c\)） 长 \(L\) 畴壁：能量 \(2JL\)、构型熵 \(\sim k_BL\ln3\)（自回避行走的粗算）⇒ 畴壁自由能变号于 \(k_BT \sim \frac{2J}{\ln 3} \approx 1.8J\)——与 Onsager 2.269 同量级：三行估算摸到精确解的门口。

例 3（RBM 对账） 写出 RBM 能量 \(E = -\sum a_iv_i - \sum b_jh_j - \sum v_iW_{ij}h_j\)：可见-隐藏二部 Ising + 局域场——对比学习规则 = 用数据均值与模型均值之差调 \(J\)（最大似然的梯度，信息论线 MLE=KL 的又一实例）。\(\blacksquare\)

下一页：普适性之谜的解答——重整化群：把"粗粒化"变成动力系统，临界指数 = 不动点的特征值。