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电磁 I · 静电与静磁
对标：Griffiths EM §2–5 ｜ 前置：数分 VI（三大公式）、pde-01（Laplace） 电磁学前半是"矢量微积分的物理正身"：Gauss 定律 = 散度定理的物理、环路定律 = Stokes 定理的物理。本页把静电静磁的骨架立起来：两对方程、势的语言、以及解题的三板斧（对称性 Gauss、镜像法、分离变量）。
学习层：Gauss 面到底能证明什么？
1. 先分开四种证书
设真空中 \(\mathbf E=-\nabla V\)、\(\nabla\cdot\mathbf E=\rho/\varepsilon\)。Gauss 定律给的是
这是总通量的真值：任意闭合面都成立，不需要球对称。可是从一个数 \(\Phi_S\) 反推出面上每一点的 \(\mathbf E\)，还需要额外结构：球对称时 \(\mathbf E=E(r)\hat{\mathbf r}\) 且 \(E\) 在球面上恒定，平面对称时上下 pillbox 面的法向场大小相等。没有对称性的点电荷组仍有正确通量，但不能把 \(\Phi_S\) 除以面积就当成局部场。
标势的另一张证书是 Poisson 方程
它既可以在光滑源区逐点读，也可以在界面/点源处按分布读：无限电荷片两侧 \(\nabla^2V=0\)，但法向场跳跃 \(E_n(0+)-E_n(0-)=\sigma/\varepsilon\)；点电荷的源项是 \(\delta\)，避开点源的有限差分只能检查“那里近似调和”。
最后，\(V\) 只有规范自由 \(V\mapsto V+C\)：\(\mathbf E\) 不变。给定 Dirichlet 边界电势会固定 \(C\)；只给 Neumann 法向导数时，解通常只确定到一个加法常数，这和“场已唯一”不是同一句话。
2. 三项预测：通量、场恢复与边界
- 非对称电荷分布的闭合面总通量，是否仍等于 \(Q_{\rm enc}/\varepsilon\)？
- 已知非对称球面的总通量，能否直接得到球面每一点的电场？
- 把电势加上常数会不会改变电场？只给 Neumann 数据能否固定电势零点？
实验固定三种可审计模型：均匀带电球、无限电荷片、两个非对称点电荷。揭示后可切换 \(V\) 的规范常数和 Dirichlet/Neumann 解释，并同时看到通量真值、对称性场恢复误差、等势采样 spread 与 Poisson 证书。
3. 静态 fallback：一张证书账本
| 源数据 | Gauss 通量真值 | 能否由通量恢复场 | 等势结构 | Poisson / 边界读法 |
|---|---|---|---|---|
| 均匀带电球 | \(Q_{\rm enc}/\varepsilon\) | 能；球面上 \(E\) 恒定 | 同心球面 | 球内 \(\nabla\cdot\mathbf E=\rho/\varepsilon\)，球外为 \(0\) |
| 无限电荷片 | \(\sigma A/\varepsilon\) | 能；上下两面由平面对称配对 | 平行于电荷片的平面 | 两侧 Laplace，界面法向跳跃为 \(\sigma/\varepsilon\) |
| 非对称点电荷 | \((\sum q_i)/\varepsilon\) | 不能；球面上 \(E\) 一般不恒定 | 一般不是所选球面 | 避开点源处可数值看到 \(\nabla^2V\approx0\)，点源的 \(\delta\) 需分布理论 |
读图原则：红色箭头只表示所选模型的代表性 \(\mathbf E\)，金色虚线只表示有限采样的等势检查；通量数值逼近趋近理论值，不会替代散度定理、对称性假设或边界唯一性证明。
无 JavaScript 时的静态读法：先用上表判断证书等级。球/平面行可以把场从通量提出积分号，因为对称性使法向场恒定或成对相等；非对称行只能相信闭合面通量，不能相信“平均场 = 每点场”。规范常数只平移 \(V\)，而 Dirichlet 固定零点、Neumann 留一个常数自由度。
4. 定理假设与失效边界
- Gauss 的适用边界：闭合面足够分段光滑、\(\mathbf E\) 与电荷满足 Maxwell 方程；通量结论本身不要求选面具有对称性，但“由通量恢复场”要求球、平面等对称性确实保持源与边界。
- Poisson 的源项边界：光滑 \(\rho\) 时可逐点使用 \(\nabla^2V=-\rho/\varepsilon\)；界面电荷和点电荷要加入跳跃项或 \(\delta\) 分布，不能把奇异源当成普通有限函数。
- 等势与唯一性：等势面只说明切向场为零，不能由一条有限采样曲线证明整个曲面等势。Dirichlet 问题在合适区域给出唯一 \(V\)；Neumann 问题还需相容条件，并且 \(V+C\) 的加法常数不可由法向导数消除。
- 证据等级：脚本的通量求积、等势 spread 和点源附近有限差分只针对固定模型、采样面与步长；它们是数值证据。Gauss/Poisson/唯一性结论是带上述假设的定理级陈述。
5. 迁移：零通量能否推出零场？
在均匀非零电场中画一个不包电荷的球，求通量；再比较有界连通区域中的零Dirichlet数据和零Neumann数据。最后，\(\mathbf B=B_0\hat z\) 的磁力线是否闭合？
核对对称性、边界与磁力线
均匀电场穿出与穿入相消，总通量为零，场却处处非零。有界连通区域的调和势若边界全为零，则 \(V=0\)；若边界法向导数全为零，则由Green恒等式 \(\int|\nabla V|^2=0\) 得 \(V=C\)，常数未固定。一般Neumann源数据还要求 \(\int_{\partial\Omega}\partial_nV\,dA=-\int_\Omega\rho/\varepsilon\,dV\)。均匀磁场线是延伸至无穷远的直线；无散不等于每条线闭合。
1. 静电：从 Coulomb 到 Gauss
点电荷场 \(\mathbf E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\hat{\mathbf r}\) 叠加成一般场。两条等价定律【推导】：
Gauss 定律：\(\oint\mathbf E\cdot d\mathbf A = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}\) ⟺ \(\nabla\cdot\mathbf E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}\)（点电荷通量 = \(\frac{q}{\varepsilon_0}\) 与半径无关——\(\frac{1}{r^2}\) 与球面积 \(r^2\) 恰好相消，平方反比律的几何本质；散度定理（数分 VI）升级为微分形式；\(\nabla\cdot\frac{\hat{\mathbf r}}{r^2} = 4\pi\delta^3(\mathbf r)\)——pde2-01 的 δ 在物理的原产地）。
无旋性：\(\nabla\times\mathbf E = 0\)（静电且区域单连通等条件下，mech-01/数分 VI）⇒ 全局标势 \(\mathbf E = -\nabla V\)，\(V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\rho\,dV'}{|\mathbf r - \mathbf r'|}\)。
合并即泊松方程 \(\nabla^2 V = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}\)（无电荷区域为Laplace）——静电学 = 椭圆 PDE 的边值问题（pde-01/pde2-03 的物理主顾）。对完全封闭、无内部电荷的导体空腔，整个腔壁同一电势，唯一性给出腔内常势和零场；仅“调和函数无严格内部极值”本身不能推出任意空腔屏蔽。
解题三板斧：
- 对称性 + Gauss（球/柱/面三种对称直接积分——例 1）；
- 镜像法：接地导体旁的点电荷 ⟺ 镜像电荷的双电荷问题（唯一性定理背书：边界条件相同则解相同【骨架：两解之差调和且边界为零 ⇒ 恒零——能量积分或极值原理】）；
- 分离变量：球坐标下 Laplace 方程的解 = Legendre 多项式级数（mp-01 的特殊函数在此上岗）。
导体与电容：静电平衡 ⇒ 导体内 \(\mathbf E = 0\)、表面等势、导体的净多余自由电荷聚于表面（尖端场增强取决于整个几何和边界，不能仅由局部曲率单独定量）；两导体电容 \(C = Q/V\) 中的V是电势差，能量 \(U = \frac12 CV^2 = \frac{\varepsilon_0}{2}\int E^2\,dV\)——能量储于场中（不是电荷上）：场的实在性第一证据（em-03 展开）。
2. 静磁：从 Biot–Savart 到 Ampère
电流产生磁场：\(d\mathbf B = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\,d\boldsymbol\ell\times\hat{\mathbf r}}{r^2}\)（Biot–Savart）。两条微分定律：
磁力线不一定是闭合曲线：均匀磁场的线可延伸到无穷远；无散只约束通量与局部起止。
（环路定律 ⟺ Stokes 定理（数分 VI）；\(\nabla\cdot\mathbf B = 0\) ⇒ 局部可取矢势 \(\mathbf B = \nabla\times\mathbf A\)；全局还需闭二形式为恰当形式，例如可缩域上成立。这是Poincaré引理（grad-math流形II）的局部应用，全局结论还要检查拓扑；规范自由 \(\mathbf A \to \mathbf A + \nabla\chi\) 首次登场——它将长成 20 世纪物理的中心思想（pp-01））。
静电静磁对照表（结构之美）：
| 静电 | 静磁 | |
|---|---|---|
| 源 | 电荷 \(\rho\) | 电流 \(\mathbf J\) |
| 散度 | \(\rho/\varepsilon_0\) | \(0\)（无磁单极） |
| 旋度 | \(0\) | \(\mu_0\mathbf J\) |
| 势 | 标势 \(V\) | 矢势 \(\mathbf A\) |
| 解题 | Gauss 面 | Ampère 环 |
受力：Lorentz 力 \(\mathbf F = q(\mathbf E + \mathbf v\times\mathbf B)\)——磁力不做功（\(\perp \mathbf v\)）；回旋运动 \(\omega_c = \frac{qB}{m}\)（质谱仪、回旋加速器、极光的一条公式）。
3. 介质一瞥（宏观场论的雏形）
极化 \(\mathbf P\)、磁化 \(\mathbf M\) 把束缚电荷/电流打包：\(\mathbf D = \varepsilon_0\mathbf E + \mathbf P\)、\(\mathbf H = \frac{\mathbf B}{\mu_0} - \mathbf M\)——宏观 Maxwell 方程用自由源写（"平均掉微观自由度换有效理论"——粗粒化思想的第一次出场，重整化群（asm-03）哲学的远祖）。线性介质 \(\varepsilon, \mu\)；静电边界条件由积分定律跨界面收缩得到：\(\mathbf n\cdot(\mathbf D_2-\mathbf D_1)=\sigma_{\rm free}\)，只有没有自由面电荷时法向 \(D\) 才连续；切向 \(E\) 则连续【骨架】。
4. 练习与要点
例 1（Gauss 三板斧样板） 均匀带电球体：外部 \(E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\)（如点电荷）、内部 \(E = \frac{Qr}{4\pi\varepsilon_0R^3}\)（线性）——"内部只看包住的电荷"；同法立得无限长线（\(\propto 1/r\)）与无限大面（常数）——三种衰减律一次记齐。
例 2（镜像法经典） 接地无限平面上方 \(d\) 处点电荷 \(q\)：镜像 \(-q\) 于 \(-d\)，表面感应电荷密度 \(\sigma(r) = \frac{-qd}{2\pi(r^2 + d^2)^{3/2}}\)（对 \(V\) 求法向导数），总感应电荷 \(= -q\)（积分验证）——一套流程三个结论。
例 3（Ampère 环样板） 无限螺线管：环路取跨壁矩形 ⇒ 内部 \(B = \mu_0 nI\) 均匀、外部为零——MRI 磁体、电感器的第一公式；能量密度 \(\frac{B^2}{2\mu_0}\)（em-03）由此可算电感储能。\(\blacksquare\)
下一页：让场随时间动起来——Faraday 感应、位移电流的补丁，Maxwell 方程组合体，然后光从方程里跑出来。