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原子核 I · 结构、结合能与放射性衰变

对标：Krane《Introductory Nuclear Physics》精选 ｜ 前置：atom-01、量子力学、特殊相对论 原子核把 \(10^{-15}\,\mathrm m\) 尺度上的量子力学压缩成一个很有秩序的谜题：核力很强却只在短程有效，质子带电却能组成稳定核，某些核素又会在不可预测的时刻衰变。本页用结合能预算解释结构，用半衰期统计解释时间，并明确哪些结论还需要壳层、量子穿透或弱相互作用的细节。

学习层：一张核子账本，怎样变成稳定性与时间？

1. 具体谜题：为什么铁附近“最紧”，铀却还能存在？

把原子核暂时想成由 \(A\) 个核子组成的液滴，其中 \(Z\) 个是质子、\(N=A-Z\) 个是中子。加一个核子会得到短程核力的一部分收益，但表面核子少了邻居；每个质子还要支付与其他质子的库仑排斥。于是“核子很多”既有好处也有代价，稳定性不由总质量数单独决定。

另一个谜题是时间：一块 \(^{238}\mathrm U\) 中的某个原子核什么时候发出 \(\alpha\) 粒子，不能由经典轨迹预测；但大量原子的剩余数却有非常稳定的指数规律。微观随机和宏观确定并不矛盾，它们由同一个衰变常数连接。

2. 先预测，再打开核账本

  1. 固定 \(A\)，只看非对称项：把 \(Z\) 从 \(A/2\) 移开，会让这一项的能量代价增大还是减小？它的最优点与总结合能的最优点相同吗？
  2. \(\alpha\) 衰变后，质量数 \(A\) 和质子数 \(Z\) 各改变多少？
  3. 经过一个半衰期，剩余原子数是 \(1/2\)、\(1/4\) 还是零？
  4. \(B/A\) 更大是否自动意味着一个核素立刻不会衰变？请把“能量上允许”和“跃迁快慢”分开。

提交四个预测后再揭示结构曲线与衰变曲线。你会看到，结构图是一个带近似系数的能量模型，衰变图是一个统计演化模型；它们共享质量差和守恒账，但不是一条公式的两种画法。

3. 正式桥：液滴项、配对项与衰变律

实验采用以下半经验质量公式（单位为 MeV）：

\[ B=a_vA-a_sA^{2/3}-a_c\frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}} -a_a\frac{(A-2Z)^2}{A}+\delta, \]

其中默认 \(a_v=15.75,\ a_s=17.8,\ a_c=0.711,\ a_a=23.0,\ a_p=11.2\)。体积项和表面项描述短程饱和，库仑项惩罚质子拥挤，非对称项来自质子与中子填充不同费米海，\(\delta\) 对偶偶核为 \(+a_p/\sqrt A\)，奇奇核为负，奇 \(A\) 为零。

先取独立核、恒定衰变危险率 \(\lambda\)、没有母核补给或子核反馈的模型。下式的 \(N(t)\) 表示平均剩余数：

\[ \frac{dN}{dt}=-\lambda N,\qquad N(t)=N_0e^{-\lambda t}=N_0\,2^{-t/T_{1/2}},\qquad \lambda=\frac{\ln2}{T_{1/2}}. \]

平均活动度（常简称活度）是 \(R(t)=\lambda N(t)\)，也按同一个指数下降。单个核的衰变时刻是随机的；若初始核数固定为 \(N_0\)，时刻 \(t\) 的随机存活数 \(K(t)\) 服从参数 \(p=e^{-\lambda t}\) 的二项分布，均值为 \(N_0p\)、方差为 \(N_0p(1-p)\)。例如，大量核的短时间稀有衰变计数可用 Poisson 近似；若初始核数本身服从 Poisson 分布，独立存活筛选又能保持 Poisson 分布。不要把固定初始数下的一般二项计数直接改写成 Poisson。

4. 无 JavaScript 时的完整静态读法

结构模式默认 \(^{56}\mathrm{Fe}\)（\(A=56,Z=26\)），衰变模式默认 \(^{238}\mathrm U\)，时间取 \(t=T_{1/2}\)。按实验系数代入：

读数 静态计算 解释
\(^{56}\mathrm{Fe}\) 的 \(B\) 约 \(495.59\ \mathrm{MeV}\) 体积收益减去表面、库仑、非对称代价，再加偶偶配对
\(^{56}\mathrm{Fe}\) 的 \(B/A\) 约 \(8.850\ \mathrm{MeV/核子}\) 这是液滴近似的结构读数，不是精确质量表
\(^{238}\mathrm U\) 的一半衰变 \(N/N_0=2^{-1}=0.500\) \(T_{1/2}=4.468\times10^9\) 年，活动度比例也为 \(0.500\)
指数曲线的两半衰期点 \(N/N_0=0.25\) 不是线性每次减同一个绝对数

结构图的蓝线在每个整数 \(A\) 上选取 \(Z\approx A/[2+0.015A^{2/3}]\) 的整数参考值。总结合能由库仑项、非对称项和配对共同决定；非对称项自身以 \(Z=A/2\) 为中心，不是以这条参考线为中心。实验还计算一个教学用 \(\alpha\) 能量释放 \(Q_\alpha=B_{\rm LD}(A-4,Z-2)+B_\alpha^{\rm exp}-B_{\rm LD}(A,Z)\)，其中 \(B_\alpha^{\rm exp}=28.2957\ \mathrm{MeV}\)。这里特意不用液滴公式近似只有四个核子的 \(^4\mathrm{He}\)，因为表面与壳层效应会使该近似给出错误的 \(Q_\alpha\) 符号。\(Q_\alpha>0\) 只说明能量上允许，不能单独给出半衰期；真实 \(\alpha\) 半衰期对禁戒区穿透指数极其敏感。

JavaScript 失效时的静态读法：结构先按上表读 \(^{56}\mathrm{Fe}\)，使用 \(B=15.75A-17.8A^{2/3}-0.711Z(Z-1)/A^{1/3}-23(A-2Z)^2/A+\delta\)，其中偶偶 \(^{56}\mathrm{Fe}\) 的 \(\delta=11.2/\sqrt{56}\)，得到 \(B\) 约 \(495.59\ \mathrm{MeV}\)、\(B/A\) 约 \(8.850\ \mathrm{MeV}\)。衰变选 \(^{238}\mathrm U\) 时，时间滑杆读的是 \(t/T_{1/2}\)：在 1.00 处剩余 \(50.0\%\)，在 2.00 处剩余 \(25.0\%\)。

图中的蓝线是把每个 \(A\) 放在一个近似稳定 \(Z\) 上得到的 \(B/A\) 教学曲线，红点是当前 \(A,Z\)；它不是核素质量表，也没有显示壳层幻数。衰变曲线是 \(N/N_0=2^{-t/T_{1/2}}\) 的统计平均，不能用来预测某一个原子的确切时刻。

5. 误区与失败边界

  • “结合能越大，核就一定越稳定。” 比较相近核素时通常看 \(B/A\) 很有用，但衰变还要检查具体质量差、守恒律、角动量/宇称选择和势垒。\(Q>0\) 是允许的门槛，不是快慢的保证。
  • “半衰期是每个原子核活到一半的时间。” 半衰期是总体数或活动度降到一半的特征时间；在恒定危险率模型中，单个核的等待时间服从指数分布，具有无记忆性质；这是通常衰变时间窗口的有效模型，完整量子演化在极短或极长时间可偏离严格指数。
  • “半经验质量公式就是核的完整结构。” 它平均了大量核子与表面效应，壳层闭合、形变、奇特核和轻核需要更细的量子模型。系数也依赖拟合数据集与写法，例如库仑项的 \(Z^2\) 与 \(Z(Z-1)\) 约定不能混用而不说明。
  • “弱衰变只是把 \(Z\) 改一格。” \(\beta^-\) 是 \(n\to p+e^-+\bar\nu_e\)，\(\beta^+\) 是 \(p\to n+e^++\nu_e\)，还要由原子质量差和电子质量处理 \(Q\)；不能只看半经验 \(B\) 的趋势。

6. 迁移任务：从核素图读出证据链

比较同位素 \(^{56}\mathrm{Fe},{}^{58}\mathrm{Fe}\) 与同量异位核 \(^{56}\mathrm{Fe},{}^{56}\mathrm{Co}\)，分别写出 \(A,Z,N\)、半经验式的四个大项和可能的 \(\delta\)。再问：要判断哪一种衰变降低总静质量，还缺什么质量数据？写出 \(\alpha\)、\(\beta^-\) 过程的电荷和核子数账。最后说明，若 \(Q_\alpha>0\) 但半衰期很长，必须把 \(\alpha\) 粒子在核内的波函数穿透概率接上，而不是把能量释放直接当成速率。

1. 从核力短程性到液滴模型

原子核的半径近似满足

\[ R=r_0A^{1/3},\qquad r_0\approx1.2\ \mathrm{fm},\qquad \rho\sim\frac{A}{R^3}\approx\text{常数}. \]

这说明核物质具有饱和性：一个核子主要和近邻相互作用，不会和所有核子等强相连。体积项 \(a_vA\) 因而近似正比于 \(A\)；表面核子缺少邻居，修正为负的 \(A^{2/3}\) 项。

质子之间的电斥力不是短程饱和的。球形带电液滴的库仑能大致随 \(Z^2/R\) 变，故出现 \(-a_cZ(Z-1)/A^{1/3}\)。当 \(Z\) 很大时，这个惩罚推动核通过 \(\alpha\) 或裂变降低库仑能。非对称项可从费米统计理解：质子和中子各自填充动量态，若 \(N\) 与 \(Z\) 差得太多，就要把一类粒子推到更高动能，所以 \(-(A-2Z)^2/A\) 会惩罚失衡。

质量亏损把这份预算与可观测能量接起来：若自由核子的总质量为 \(Zm_p+Nm_n\)，核质量为 \(M(A,Z)\)，则

\[ B=\left[Zm_p+Nm_n-M(A,Z)\right]c^2. \]

\(B>0\) 表示形成束缚态释放了能量。结合能的绝对值、每核子结合能和某个具体反应的 \(Q\) 值是三件不同的量，写题时应明确比较对象。

2. 稳定线、壳层与核图

对固定 \(A\)，先忽略配对，把 \(Z\) 当连续变量。结合能的导数为

\[ \frac{\partial B}{\partial Z} =-\frac{a_c(2Z-1)}{A^{1/3}}+\frac{4a_a(A-2Z)}A. \]

令它为零得到

\[ Z_B=\frac{4a_aA+a_cA^{2/3}}{8a_a+2a_cA^{2/3}},\qquad B(Z)=B(Z_B)-\left(\frac{a_c}{A^{1/3}}+\frac{4a_a}{A}\right)(Z-Z_B)^2. \]

所以偏离这个连续极值会降低平滑部分的 \(B\)；加回配对并限制整数后，要重新比较邻近核素。实验的 \(Z_{\rm ref}=\operatorname{round}\{A/[2+0.015A^{2/3}]\}\) 只是参考线。真正的 \(\beta\) 稳定性要最小化原子总质量，还涉及中子与氢原子质量差、电子结合能和壳层修正，不能把最大 \(B\) 与最小质量直接等同。轻核稳定线靠近 \(N=Z\)，重核需要更多中子来稀释质子库仑能。

液滴模型解释平均曲线，却解释不了幻数 \(2,8,20,28,50,82,126\)。壳层模型把核子放入平均势的量子轨道；闭壳层有额外能隙，所以局部结合能、半衰期和自旋宇称会跳变。实际的核质量模型通常把液滴项与壳层、形变、配对修正结合起来。学习层的 \(B/A\) 曲线故意只给平均背景，不能把平滑曲线当作已包含幻数的精确核图。

3. 衰变：随机事件的指数统计

若短时间 \(dt\) 内每个尚未衰变核的条件衰变概率为 \(\lambda dt\)，则平均剩余数减少 \(\lambda Ndt\)，得到 \(dN/dt=-\lambda N\)。初始条件 \(N(0)=N_0\) 给出指数律。期望衰变数为 \(N_0-N(t)\)，活动度 \(R=\lambda N\) 的单位是 \(\mathrm{s^{-1}}\)，即 Bq。

三种基本过程分别改变核子组成：

  1. \(\alpha\)：\((A,Z)\to(A-4,Z-2)+{}^4\mathrm{He}\)。核内强相互作用形成的 \(\alpha\) 团簇必须穿过库仑势垒，半衰期可跨越许多数量级。
  2. \(\beta^-\)：\((A,Z)\to(A,Z+1)+e^-+\bar\nu_e\)。一个中子变为质子，\(A\) 不变，电荷与轻子数通过弱相互作用产物守恒。
  3. \(\beta^+\) 或电子俘获：\(p\to n\)，\(A\) 不变而 \(Z\) 减一；具体通道由质量差和可用能量决定。

每种过程都要在母核、子核、轻子和辐射之间结清能量、动量、角动量与电荷。强作用和电磁过程可使用宇称守恒选择规则；弱相互作用不守恒宇称，不能将同一规则无条件搬到β衰变。只凭“离稳定线更近”能预测趋势，却不能取代选择定则和矩阵元。

4. 例题与实际用途

例 1（半衰期换算） 某放射源初始活度 \(8.0\ \mathrm{MBq}\)，经过三次半衰期后 \(R=8.0/2^3=1.0\ \mathrm{MBq}\)。若测得的计数率还要乘探测效率，则活动度和仪器计数率不能直接画等号。

例 2（质量差与 Q） 对一个候选 \(\alpha\) 通道，若 \(M_{\rm parent}>M_{\rm daughter}+M_\alpha\)，则 \(Q_\alpha=(M_{\rm parent}-M_{\rm daughter}-M_\alpha)c^2>0\)。但 \(\alpha\) 的动能还要由两体动量守恒按质量比分享；母核自旋宇称若要求额外轨道角动量，穿透还会变慢。

例 3（核能与恒星） 核聚变从氢到铁一带的 \(B/A\) 上升，可释放能量；比铁更重的核通过裂变或中子俘获等路径重新分配核子，能量方向由具体 \(Q\) 值决定。\(B/A\) 曲线给出地图，核反应网络才给出路线与时间。

半经验公式、核素图和半衰期数据共同出现在医学成像、放射治疗、年代测定、反应堆与恒星核合成中。专业读法始终保留三层标签：平均结构模型、具体衰变通道、统计测量证据。这样才能知道一个漂亮的 \(8.850\ \mathrm{MeV}\) 数字究竟能支持什么。

5. 核对迁移：同一个模型，三种不同的结论

展开核子账、非对称反例与时间统计答案

用本页系数，五列按体积收益、表面代价、库仑代价、非对称代价、配对贡献排列（MeV）：

核素 \((A,Z,N)\) \(a_vA\) \(a_sA^{2/3}\) 库仑 非对称 \(\delta\) \(B\)
\(^{56}\mathrm{Fe}\) \((56,26,30)\) 882.000 260.543 120.796 6.571 +1.497 495.586
\(^{58}\mathrm{Fe}\) \((58,26,32)\) 913.500 266.710 119.392 14.276 +1.471 514.594
\(^{56}\mathrm{Co}\) \((56,27,29)\) 882.000 260.543 130.460 1.643 −1.497 487.858

总量按第一项收益减后三项代价再加配对计算，舍入后的列和允许有末位差。这里是液滴计算，不能当成核质量测量或由表中差值直接断言所有真实β通道。

一个直接反例：\(A=56\) 时从 \(Z=26\) 移向 \(Z=28\)，非对称代价由 \(6.571\) 降为0，这一项有利于结合；但库仑代价由 \(120.796\) 升到 \(140.495\)，总结合能反而由 \(495.586\) 降到 \(482.459\)。因此“远离参考稳定线就使非对称代价增加”并不成立。

\(\alpha\) 过程需要母核至少有两个质子和两个中子，账本是 \(A=(A-4)+4, Z=(Z-2)+2\)。例如 \(^{238}_{92}\mathrm U\to{}^{234}_{90}\mathrm{Th}+{}^4_2\mathrm{He}\)；本液滴混合模型的 \(Q_\alpha\approx4.491\,\mathrm{MeV}\) 只是估计，真实值须查质量/衰变表。\(\beta^-\) 的核内变化为 \(N\mapsto N-1,Z\mapsto Z+1\)，电子带走一个负电荷，核子总数不变。若用中性原子质量，忽略微小电子重排，\(Q_{\beta^-}\approx[M_{\rm at}(A,Z)-M_{\rm at}(A,Z+1)]c^2\)；\(\beta^+\) 则为 \(Q_{\beta^+}\approx[M_{\rm at}(A,Z)-M_{\rm at}(A,Z-1)]c^2-2m_ec^2\)。需要这些质量数据才能判定能量门槛。

若初始恰有100个独立核，两个半衰期后 \(K\sim\operatorname{Binomial}(100,1/4)\)，所以 \(\mathbb E K=25\)、\(\operatorname{Var}K=18.75\)，不是“必定剩25个”。长寿命且 \(Q_\alpha>0\) 需要由穿透、角动量势垒及团簇形成等机制解释，不能只靠 \(Q\) 求速率。

先修与数据：氢原子与角动量、半经典穿透、IAEA 核素数据接口说明。实验所用半衰期为舍入教学值。

下一页：核反应如何把质量差变成可测事件，以及探测器怎样把事件变成带误差条的计数。