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统计进阶 III · 重整化群入门

对标：Goldenfeld §9 / Cardy 入门｜前置：asm-01/02、ode-03（不动点与线性化——RG 的数学就是它）二十世纪后半叶物理学最深的思想（Wilson 1971，诺奖）：逐尺度看世界。粗粒化 + 重标度 = 参数空间的动力系统；临界点 = 不动点，临界指数 = 不动点处线性化的特征值——普适性（asm-02 之谜）由此一句话解释：不同材料流向同一个不动点。

1. RG 变换：粗粒化 + 重标度

三步操作：① 粗粒化：把 \(b^d\) 个自旋合成一个块自旋（多数表决/求和）——积掉短波涨落；② 重标度：长度除以 \(b\) 恢复原格距；③ 读出新耦合：粗粒系统仍是 Ising 形（+ 新生项），耦合常数被映射 \(K' = R(K)\)。

核心观察：关联长度按 \(\xi' = \xi/b\) 缩短 ⇒ 不动点只有两种：\(\xi = 0\)（平庸：高温乱/低温齐——粗粒化后更乱/更齐的两个汇）与 \(\xi = \infty\)（临界不动点——粗粒化后自相似：临界点的涨落"没有特征尺度"，分形式的自相似是它的视觉面目）。

2. 一维 Ising 的精确 RG【推导】

抽稀（decimation）：对偶数格点求和。两步转移矩阵 \(T^2\) 仍是 Ising 型转移矩阵 ⇒ 新耦合满足

\[ \tanh K' = \tanh^2 K \qquad (K = \beta J) \]

流图分析（ode-03 的一维相线）：\(\tanh K < 1\) ⇒ \(K' < K\) 恒流向高温不动点 \(K = 0\)——唯一的另一个不动点 \(K = \infty\)（零温）不稳定：一维无有限温相变的 RG 证明（asm-02 转移矩阵结论的第三种证法，且给出"为什么"：任何有限耦合都被粗粒化冲淡）。\(\blacksquare\)

3. 临界指数 = 不动点的线性化

RG 流与不动点 — 图 3.1RG 流：耦合在 \(\beta(g)=0\) 的不动点处停驻，稳定/不稳定不动点决定相与临界行为，临界指数由不动点线性化给出。

临界不动点 \(K^*\) 附近线性化（ode-03 的 Jacobi 流程）：\(\delta K' = \Lambda\,\delta K\)，特征值写成 \(\Lambda_i = b^{y_i}\)：

\(y_i > 0\)：相关方向（偏离被放大——温度、外场：必须调准才能到临界点，实验上"临界点难伺候"的原因）；
\(y_i < 0\)：无关方向（细节被冲刷——格子形状、次近邻耦合……）——普适性的机制：微观千差万别的系统，无关方向统统衰减，流进同一个不动点 ⇒ 同一套指数。

指数的换算【推导】：关联长度 \(\xi(\delta K) = b\,\xi(b^{y_t}\delta K)\) 迭代至 \(O(1)\) ⇒ \(\xi \propto |\delta K|^{-1/y_t}\)——\(\nu = \frac{1}{y_t}\)；同法产出全部指数并给标度关系（\(\alpha + 2\beta + \gamma = 2\) 等——指数不独立，两个 \(y\) 生成全家【骨架：自由能的齐次标度形式 \(f(t, h) = b^{-d}f(b^{y_t}t, b^{y_h}h)\) 逐个求导】）。有限尺寸标度一嘴：\(L\) 有限时 \(\xi \to L\) 截断——数值模拟提取指数的标准技术（comp-01 的 Ising 模拟由此定量）。

4. RG 的世界观辐射（本页的真正遗产）

有效理论哲学：任何理论都是"某尺度下的有效描述"，无关算符沿流衰减——为什么低能物理可以不知道高能细节（工程能用连续介质、化学能不管夸克）：现代物理的认识论支柱；
场论的重整化（qft-03）：同一思想在动量空间——耦合常数"跑动"、可重整性 = 只有有限个相关方向；
临界维数：\(d \geq 4\) 时涨落无关（回收 Ginzburg/平均场——asm-01 闭环），\(4 - \epsilon\) 展开【引用 Wilson–Fisher】给三维指数的系统计算；
🔗 ML 回声：深度网络逐层抽象与 RG 粗粒化的类比（层 = 尺度）是活跃研究纲领【引用】；扩散模型逐噪声尺度生成（comfy 课）与"逐尺度处理"同气质——"multi-scale 是自然与算法共享的组织原则"。

5. 练习与要点

例 1（一维 RG 亲手迭代） \(K_0 = 1\)：\(\tanh K' = \tanh^21 \approx 0.58^2\cdots\)——数值迭代四五步看 \(K \to 0\) 的奔流；换 \(K_0 = 3\) 依旧——"任何有限耦合终归高温"的手感。

例 2（二维近似 RG） 三角格多数表决的实空间 RG（Niemeijer–van Leeuwen 一阶【引用】）：得 \(K^* \approx 0.34\)、\(y_t \approx 0.88\)（精确 \(K^* = 0.275, y_t = 1\)）——粗糙近似已捕捉不动点结构：RG 的稳健性演示。

例 3（标度关系验证） 用 asm-02 对照表验证 \(\alpha + 2\beta + \gamma = 2\)：平均场 \(0 + 1 + 1 = 2\) ✓；二维 \(0 + \frac14 + \frac74 = 2\) ✓；三维 \(0.110 + 0.652 + 1.237 \approx 2\) ✓——三套指数一条恒等式：标度理论的体检单。\(\blacksquare\)

下一门：广义相对论三页——你的流形几何（grad-math）在此整体变现：引力 = 时空的曲率。