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电磁学 IV · 介质与波导：截止、色散、相速与群速

对标：Jackson §8（导波初步）/ Griffiths《电动力学》§9 ｜前置：em-02（Maxwell 方程）、em-03（能量流）、opt-01（Fourier 与波包）在自由空间里，平面波可以选择任意横向波矢；放进金属管后，横截面的边界条件会筛掉大多数场形状。结果不是“光变慢了”这么简单，而是一条精确的色散关系：低于截止频率，纵向波数变成虚数；高于截止频率，相速大于介质光速而群速小于它，两者的乘积由该理想模型的色散关系确定。

可直接复习：Maxwell平面波约束、能量流、波包与色散。

学习层：同一根金属管，为什么有时传不了波？

1. 具体谜题：微波炉里的波究竟在传播什么？

考虑理想矩形波导，宽边 \(a=22.86\ \mathrm{mm}\)，窄边 \(b=10.16\ \mathrm{mm}\)，里面是空气，选择最低的 TE\(_{10}\) 模式。实验台默认频率为 \(f=12.0\ \mathrm{GHz}\)。先不打开它，预测：

若频率低于截止频率，场会完全消失，还是沿波导指数衰减？
在传播区，\(v_p\) 和 \(v_g\) 哪一个大于介质中的 \(c_m\)？
频率远离截止并继续升高时，\(v_g\) 会趋向零，还是趋向 \(c_m\)？

这里的“模式”不是给波贴的标签，而是横截面边界值问题的本征函数。纵向传播能否发生，要由横向本征值和总频率共同决定。

2. 最小模型：先算横向本征值，再算纵向波数

均匀、各向同性、无耗散、无材料色散、\(\mu_r=1\)且相对介电常数为 \(\varepsilon_r\) 的填充物中

\[ c_m=\frac{c_0}{\sqrt{\varepsilon_r}},\qquad k^2=\left(\frac{\omega}{c_m}\right)^2. \]

矩形 PEC 管的横向本征值为

\[ k_c^2=\pi^2\left[\left(\frac{m}{a}\right)^2+\left(\frac{n}{b}\right)^2\right], \qquad \beta^2=k^2-k_c^2. \]

于是

\[ f_c=\frac{c_m}{2} \sqrt{\left(\frac{m}{a}\right)^2+\left(\frac{n}{b}\right)^2}. \]

当 \(f>f_c\)，\(\beta\) 是实数，场因子沿 \(z\) 方向为 \(e^{i\beta z}\)；当 \(f<f_c\)， \(\beta=i\alpha\)，其中

\[ \alpha=\frac{2\pi}{c_m}\sqrt{f_c^2-f^2}, \]

场是 \(e^{-\alpha z}\) 型的倏逝波。截止以下仍可在有限短节、隧穿耦合和近场中出现电磁场，但它不是无限均匀波导中的传播功率波。

3. 动手实验：把截止、模式和速度放到同一图上

先完成三个预测，再打开实验台。预设包括 X 波段 TE\(_{10}\)、靠近截止、截止以下以及介质填充。改变 \(a,b,\varepsilon_r\) 或 \(f\) 时，左侧横截面波瓣随模式变，右侧色散曲线上的当前点跨过截止线；读数同时给出 \(\beta\) 或 \(\alpha\)、导波波长、相速和群速。

默认TE10的正负磁场区与截止色散；颜色不表示连续场强。图与下表采用相同默认参数。

无 JavaScript 时的静态读法：使用理想 PEC 矩形波导、均匀无耗散填充物和 TE\(_{10}\) 模式。默认 \(a=22.86\ \mathrm{mm}\)、\(b=10.16\ \mathrm{mm}\)、\(\varepsilon_r=1\)、\(f=12.0\ \mathrm{GHz}\)。介质波速 \(c_m=c_0/\sqrt{\varepsilon_r}\)，截止与传播读数为

量	默认值	关系
截止频率 \(f_c\)	\(6.557\ \mathrm{GHz}\)	\(c_m/(2a)\)
频率比 \(f/f_c\)	\(1.830\)	高于截止
纵向波数 \(\beta\)	\(210.63\ \mathrm{rad/m}\)	\((\omega/c_m)\sqrt{1-(f_c/f)^2}\)
相速 \(v_p\)	\(357.959\ \mathrm{Mm/s}\)	\(c_m/\sqrt{1-(f_c/f)^2}\)
群速 \(v_g\)	\(251.078\ \mathrm{Mm/s}\)	\(c_m\sqrt{1-(f_c/f)^2}\)
导波波长 \(\lambda_g\)	\(29.830\ \mathrm{mm}\)	\(2\pi/\beta\)
\(v_pv_g/c_m^2\)	\(1.000000\)	传播区的色散恒等式

因此默认状态满足 \(v_p>c_m\)、\(v_g<c_m\)。把频率降到 \(5.0\ \mathrm{GHz}\) 后，\(f<f_c\)，读数改为 \(\beta=i\alpha\)，场沿 \(z\) 指数衰减；不能继续给它一个实的相速或群速。

4. 误区、反例与适用边界

\(v_p>c_m\) 不是超光速通信。相位峰可以移动得比介质光速快；调制包络、能量和因果前沿要由完整色散与材料响应判断。
截止以下不是“没有电场”。横向本征函数仍存在，\(\beta\) 只是虚数；有限长度中仍可能有倏逝耦合。
波导色散和材料色散要分开。这里的 \(c_m\) 假定与频率无关；若 \(\varepsilon_r(\omega)\) 变化，\(f_c\)、\(v_g\) 和能量速度都要重新求导。
PEC、无损、直波导是强假设。有限导电率产生衰减，粗糙度、弯曲、接头和模式转换会引入额外损耗，且高阶模式可能同时传播。
TE\(_{00}\) 不是矩形空心管里的 TEM 基模。单一导体边界没有支持非零 TEM 的两个独立电势导体；当\(a>b\)时矩形管的最低模式是 TE\(_{10}\)（\(a=b\)有简并；\(b>a\)时TE\(_{01}\)更低）。

5. 迁移题：先改尺寸，再改介质

固定空气与 TE\(_{10}\)，把宽边从 \(22.86\) mm 改为 \(11.43\) mm。因为 \(f_c=c_m/(2a)\)，截止频率应加倍到约 \(13.114\ \mathrm{GHz}\)，原来的 \(12\) GHz 就落入倏逝区。再恢复尺寸、取 \(\varepsilon_r=2\)，截止频率会降为 \(6.557/\sqrt2\approx4.636\ \mathrm{GHz}\)，但介质中的参考光速也降为 \(c_0/\sqrt2\)。用实验台核对，并解释：为什么“截止下降”不等于“波在介质中一定跑得更快”？

核对尺寸、介质和模式边界

宽边减半后 \(f_c\) 加倍，12 GHz落在截止下；同尺寸填入 \(\varepsilon_r=2\)、\(\mu_r=1\) 无色散介质后，\(c_m\)和\(f_c\)都除以\(\sqrt2\)。在12 GHz下群速从约251.078 Mm/s变为195.522 Mm/s，截止下降却未使能量包络更快。改变介质后要同时重算参考波速和频率比。TE\(_{20}\)的两条节点是\(x=a/4,3a/4\)；TM\(_{10}\)因\(\sin(0\pi y/b)=0\)不存在。

1. 介质中的平面波与色散

在均匀、线性、各向同性介质中，若本构关系为

\[ \mathbf D=\varepsilon\mathbf E,\qquad \mathbf B=\mu\mathbf H, \]

无源 Maxwell 方程给出

\[ \nabla^2\mathbf E-\mu\varepsilon\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}=0, \qquad c_m=\frac1{\sqrt{\mu\varepsilon}}. \]

若 \(\varepsilon,\mu\) 与频率无关，\(\omega=c_m k\) 是线性色散关系，\(v_p=v_g=c_m\)。真实材料常有 \(\varepsilon(\omega)\)，于是相速度 \(v_p=\omega/k\) 与群速度 \(v_g=d\omega/dk\) 分开；吸收还使 \(k\) 变成复数，单纯的无损波包图像会失效。

波导的关键改变是横向边界。波矢不再能任意取向，而是分解成固定的横向部分和可变的纵向部分：

\[ k^2=k_c^2+\beta^2. \]

总频率提供的 \(k\) 不够大时，不能支付横向本征结构所需的 \(k_c\)，剩下的 \(\beta^2\) 就变成负数。

2. PEC 边界如何产生 TE/TM 模式

取波导轴为 \(z\)，横截面坐标为 \((x,y)\)。理想导体表面要求切向电场为零。把场设为 \(e^{i\beta z-i\omega t}\)，Maxwell 方程可以把纵向分量 \(E_z\) 或 \(H_z\) 作为标量本征函数：

\[ \nabla_t^2\psi+k_c^2\psi=0. \]

TE 模式满足 \(E_z=0\)、\(H_z\ne0\)；TM 模式满足 \(H_z=0\)、\(E_z\ne0\)。矩形截面分离变量后，横向波数为

\[ k_c^2=\left(\frac{m\pi}{a}\right)^2 +\left(\frac{n\pi}{b}\right)^2, \qquad m,n=0,1,2,\ldots \]

TE的纵向磁场满足Neumann条件，\(H_z\propto\cos(m\pi x/a)\cos(n\pi y/b)\)，允许 \(m,n\ge0\) 但不得同时为0。TM的纵向电场满足Dirichlet条件，\(E_z\propto\sin(m\pi x/a)\sin(n\pi y/b)\)，因此必须 \(m,n\ge1\)；TM\(_{10}\)会把整项乘成零，不是一个模式。

实验颜色表示 \(H_z\) 的正负区间，不是电场强度或连续幅值热图。TE\(_{20}\)的零点在\(x/a=1/4,3/4\)，三块宽度应为\(1/4,1/2,1/4\)，不能均分成三块。几何长宽比仅作示意；节点的归一化位置精确。可对照 Fitzpatrick波导讲义。

3. TE\(_{10}\) 的截止与导波波长

TE\(_{10}\) 只有宽边方向的一次半波变化：

\[ k_c=\frac{\pi}{a},\qquad f_c=\frac{c_m}{2a}. \]

所以增大 \(a\) 会降低截止频率；改变窄边 \(b\) 对 TE\(_{10}\) 的截止没有直接影响，却会改变高阶 TE\(_{01}\)、TE\(_{11}\) 的排序。TE\(_{20}\) 的截止为 \(c_m/a\)，是 TE\(_{10}\) 的两倍。

传播区内

\[ \beta=\frac{\omega}{c_m} \sqrt{1-\left(\frac{f_c}{f}\right)^2}, \qquad \lambda_g=\frac{2\pi}{\beta} =\frac{\lambda_m}{\sqrt{1-(f_c/f)^2}}. \]

\(\lambda_g\) 大于介质中的自由空间波长 \(\lambda_m=c_m/f\)；靠近截止时分母很小，导波波长变长，场的轴向相位变化变慢。

4. 相速与群速：一条色散关系的两种切线

由

\[ \omega^2=c_m^2(\beta^2+k_c^2) \]

解出相速：

\[ v_p=\frac{\omega}{\beta} =\frac{c_m}{\sqrt{1-(f_c/f)^2}}. \]

对 \(\omega(\beta)\) 求导：

\[ v_g=\frac{d\omega}{d\beta} =c_m\sqrt{1-\left(\frac{f_c}{f}\right)^2}. \]

相乘得到波导色散的恒等式

\[ v_pv_g=c_m^2. \]

靠近截止时 \(v_g\to0\)、\(v_p\to\infty\) 的极限来自理想无损模型；有限带宽、导体损耗和材料色散会限制可观测的峰值。\(v_g\) 常是窄带包络和能量速度的有用近似，但在强吸收、强反常色散或脉冲严重变形时不能不加检查地等同。

5. 倏逝场、接头与能量边界

若 \(f<f_c\)，令 \(\beta=i\alpha\)，则

\[ \alpha=\sqrt{k_c^2-k^2} =\frac{2\pi}{c_m}\sqrt{f_c^2-f^2}. \]

场沿轴线按 \(e^{-\alpha z}\) 衰减。它可以把能量短距离耦合到另一个传播区，也可以在波导滤波器的截止节中实现选择；但在无限长、均匀、无源的单一截止区内，单独指数衰减解的周期平均轴向功率为零；有限短节中同时存在两个倏逝解时可通过相位耦合传递功率，需完整边界匹配。

在实际波导中，导体电阻使表面有非零切向电场，介质损耗使 \(\varepsilon\) 有虚部，因而 \(\beta\) 同时有实部和衰减虚部。弯曲、台阶和接头还会把入射模式投影到多个本征模式。设计微波链路时，先用理想截止图筛选工作区，再用损耗与散射模型修正。

6. 例子与专业迁移

例 1：X 波段波导。默认 TE\(_{10}\) 在 \(12\) GHz 工作，频率超过 \(6.557\) GHz 截止，因此能传播；但导波波长约 \(29.83\) mm，而空气波长只有约 \(24.98\) mm。延迟、相位长度和腔体尺寸必须使用 \(\lambda_g\)。

例 2：高阶模式窗口。若频率继续升高，TE\(_{20}\)、TE\(_{01}\) 等模式也可能越过截止；单模工作区必须位于最低模截止与下一高阶截止之间，而不只是满足“高于 TE\(_{10}\)”。

例 3：光纤的相似结构。介质波导没有 PEC 金属壁，横向约束由折射率分布和全反射/泄漏边界提供；模态方程、截止和色散仍有相似骨架，但允许模式、偏振简并和辐射损耗不同。把矩形金属管的公式直接套到光纤，正是边界条件没有迁移的错误。

电磁波进入边界后，传播问题变成了本征值与色散问题。下一页转向统计物理中的另一种“传播”：分子碰撞怎样在宏观尺度上制造扩散、黏性和热导。