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固体 I · 晶格、SSH 链与声子

对标：Kittel §1–5、SSH 原型模型 ｜ 前置：mech-04（简正模——本页是它的无穷版）、qm-02（隧穿/方阱）；Bloch 语言会在本页先最小引入，并在 solid-02 系统展开 固体物理的第一课是周期性：实空间的局部耦合如何在倒空间组织成能带，又如何在边界留下体内看不见的态？本页先用一个可数值检验的 SSH 二聚化链把这条链路闭合，再回到晶格、倒格子与声子。

学习层：一条链怎样把局部跳跃变成端点态

1. 具体谜题：只改两种近邻跳跃，为什么端点会“听见”bulk？

把一维链的键交替成弱—强—弱—强。每一条键都只是局部跃迁，bulk 里却出现两条带；当强键跨过原胞边界时，开边界链的两端可能出现靠近零能的态。谜题是：

  • 若 bulk 只知道 \(t_1,t_2\)，它怎样知道一个开链有无边界态？
  • “绕原点一圈”的图形为什么能预测端点？
  • 有限链的两端明明相距很远，为什么两个近零态仍会劈裂，而不是精确地停在 \(E=0\)？

这里的“端点”不是把一个孤立原子硬塞到链边上，而是先声明原胞和终止方式，再比较同一个 bulk 的两种开法。

2. 先预测：在拖动滑杆以前写下可判决的答案

暂取 \(N=8\) 个原胞，默认终止为 \(A_1{-}B_1{-}A_2{-}B_2\cdots A_N{-}B_N\)，其中胞内键为 \(t_1\)、跨胞键为 \(t_2\)。

  1. 取 \((t_1,t_2)=(0.45,1.10)\)：\(q(k)\) 的轨迹是否包围原点？本终止约定下 winding 是 \(0\) 还是 \(1\)？开链谱的哪两级最可能靠近 0？
  2. 取 \((t_1,t_2)=(1.10,0.45)\)：局部键只是交换强弱，为什么端点结论会变？
  3. 取 \(t_1=t_2\)：轨迹会不会穿过原点？此时能否给 winding 一个连续、稳定的整数？
  4. 在拓扑参数下，把 \(N\) 从偶数改成奇数。你预测的是“拓扑数改变”，还是“有限尺寸的离散能级和劈裂改变”？

先在实验的四项预测中提交答案，再查看默认拓扑预设。修改预测或重置会重新隐藏图和读数。

3. 最小模型：同一个 Hamiltonian 的三种读法

在基底 \((A_1,B_1,\ldots,A_N,B_N)\) 中，默认弱端终止的开链 Hamiltonian 是

\[ H_N=\sum_{n=1}^{N}t_1\bigl(\lvert A_n\rangle\langle B_n\rvert+\mathrm{h.c.}\bigr) +\sum_{n=1}^{N-1}t_2\bigl(\lvert B_n\rangle\langle A_{n+1}\rvert+\mathrm{h.c.}\bigr), \qquad t_1,t_2>0. \]

它有三个互相咬合的读法。

局部读法。 链上的键交替为 \(t_1,t_2,t_1,t_2,\ldots,t_1\)。把两端连起来得到周期链，再用 Bloch 基底，取

\[ H(k)=\begin{pmatrix}0&q(k)^*\\q(k)&0\end{pmatrix}, \qquad q(k)=t_1+t_2e^{ik}. \]

bulk 读法。 因此

\[ q(k)=\bigl(t_1+t_2\cos k,\ t_2\sin k\bigr), \qquad E_\pm(k)=\pm\lvert q(k)\rvert. \]

\(q(k)\) 是以 \((t_1,0)\) 为圆心、半径 \(t_2\) 的轨迹；本页固定 \(k:0\to2\pi\) 的方向和原胞，所以

\[ w=\frac{1}{2\pi}\oint dk\,\partial_k\arg q(k) =\begin{cases}1,&t_2>t_1,\\0,&t_1>t_2.\end{cases} \]

若 \(t_1=t_2\)，\(q(\pi)=0\)，bulk gap \(2\lvert t_2-t_1\rvert\) 闭合，\(\arg q\) 在原点没有定义，winding 不定义。

边界读法。 当 \(t_2>t_1\) 且采用默认终止，两端的近零波函数主要在不同子晶格上，理想半无限链的包络满足

\[ \lvert\psi_{A_n}\rvert\propto\left\lvert\frac{t_1}{t_2}\right\rvert^{n-1}, \qquad \lvert\psi_{B_n}\rvert\propto\left\lvert\frac{t_1}{t_2}\right\rvert^{N-n}. \]

递推来自零能方程 \(t_1\psi_{A_n}+t_2\psi_{A_{n+1}}=0\)，所以幅度逐胞乘 \(-r\)，其中 \(r=t_1/t_2\)。半无限可归一化态要求 \(r<1\)，其局域长度（以原胞为单位）为 \(\xi=1/\log(t_2/t_1)\)。

有限开链还要满足另一端边界条件。把截断的左右包络分别归一化，归一化因子平方为 \((1-r^2)/(1-r^{2N})\)，两者之间的矩阵元绝对值为

\[ |h_{LR}|=\frac{t_2(1-r^2)r^N}{1-r^{2N}}. \]

当 \(N\gg\xi\) 时，这个二维边界子空间近似给出 \(E_\pm\simeq\pm |h_{LR}|\)；它不是全参数的精确本征值公式。若链太短或接近临界点，中间两级甚至还在 bulk 带的能量范围内，不能只凭 \(w=1\) 就称为“近零端态”。实验会单独检查中间两级是否落在 \(|E|<|t_2-t_1|\) 内。

对默认的 \(2N\) 站点链，行列式递推给出 \(\det H_N=(-1)^N t_1^{2N}\)，所以任意有限 \(N\)、\(t_1>0\) 都没有精确零本征值。计算机若将极小劈裂显示在数值分辨尺度以下，那是未分辨，不是证明其为零。

定义手征算符 \(\Gamma=\mathrm{diag}(1,-1,1,-1,\ldots)\)，则 \(\{\Gamma,H_N\}=0\)：每个 \(E\) 都有一个 \(-E\) 的伙伴。本实验数值检查的是这种子晶格手征对称及其谱配对；不要把它与 BdG Hamiltonian 的粒子—空穴冗余混为一谈。实跃迁的 SSH 模型还可讨论其他反幺正对称，但本页的 \(E\leftrightarrow-E\) 结论只需手征对称。

4. 动手验证：让四张图互相对账

点击 拓扑（\(t_2>t_1\)），先看四个同步视图：

  1. 开链结构图：金色/蓝色键按强弱交替，默认两端截在 \(t_1\) 键；在拓扑预设中这正是弱端。切换“反向终止”后，边界与同一 bulk winding 的对应关系会改变。
  2. 有限链谱：每条横线是一个本征能级。拓扑预设下中间两条近零能级是一对有限尺寸劈裂；拖动 \(N\) 或让 \(t_1/t_2\) 变小，劈裂通常按指数尺度下降。
  3. 选中态格点概率：用“选中能级”滑杆选择任一级。选到近零对时，有限链的单个能量本征态通常是“左端 ± 右端”的对称/反对称混合，所以概率会同时在两端；两个近零态的线性组合才可以更像单端局域态。
  4. bulk \(q(k)\) 轨迹：拖动 \(t_1,t_2\)，观察圆是否包围原点。通过 \(t_1=t_2\) 时，圆正好碰到原点，能隙归零且 winding 不能继续沿用。

再依次点“平庸（\(t_1>t_2\)）”“临界（\(t_1=t_2\)）”，对照开链、谱、概率和轨迹。实验不调用远程库；有限矩阵由对称 Jacobi 旋转数值对角化，并实时给出谱的 \(E\leftrightarrow-E\) 配对残差与 \(\{\Gamma,H\}\) 残差。

无 JavaScript 时的静态读法：本实验使用 \(N\) 个二原子原胞、默认开链 \(A_1{-}B_1{-}A_2\cdots A_N{-}B_N\)。胞内键是 \(t_1\)，跨胞键是 \(t_2\)，两者均为正。bulk 变量为 \(q(k)=(t_1+t_2\cos k,t_2\sin k)\)，所以 \(t_2>t_1\) 时圆包围原点、\(w=1\) 并在这个终止下有边界态；\(t_1>t_2\) 时 \(w=0\)；\(t_1=t_2\) 时 gap \(=0\)，winding 不定义。

预设 \(t_1\) \(t_2\) bulk gap \(2\lvert t_2-t_1\rvert\) 默认终止下的读法
平庸 1.10 0.45 1.30 \(w=0\)，没有受拓扑要求的端点近零对
临界 0.80 0.80 0 \(q(\pi)=0\)，winding 不定义
拓扑 0.45 1.10 1.30 \(w=1\)，两端态有限尺寸混合并劈裂

静态核对公式为

\[ H_N=\sum_{n=1}^N t_1\lvert A_n\rangle\langle B_n\rvert +\sum_{n=1}^{N-1}t_2\lvert B_n\rangle\langle A_{n+1}\rvert+\mathrm{h.c.}, \quad E_\pm(k)=\pm\sqrt{t_1^2+t_2^2+2t_1t_2\cos k}, \quad \Delta_\mathrm{bulk}=2|t_2-t_1|. \]

当 \(N\gg\xi\) 时，有限链的近零两级可用上文投影矩阵元近似；有限 \(t_1>0\) 时没有精确零能。奇数/偶数 \(N\) 都是 \(N\) 个 A 与 \(N\) 个 B，不会仅因原胞数奇偶产生子晶格不平衡的精确零模。反向终止改变端键，须连同原胞约定解释。

5. 误区与边界：拓扑保护不是“任何扰动都免疫”

  • 先固定终止再谈边界态。 本页的 \(q=t_1+t_2e^{ik}\)、原胞 \((A_n,B_n)\) 与默认弱端终止共同规定了“\(t_2>t_1\Rightarrow w=1\) 且有端点态”。交换原胞或把链从强键处截断，会重新标记 winding 与端点；bulk 不会凭空改变，边界对应关系改变了。
  • winding 需要 bulk gap。 \(t_1=t_2\) 时圆穿过原点，\(E_\pm(\pi)=0\)，不能在 gap 闭合的点把 winding 当成仍然稳定的整数。
  • 零能钉扎需要手征对称。 保持手征对称、相应 bulk gap 和边界条件时，半无限端态受对称约束；有限两端仍可混合。非零对角势一般破坏相对于旧零点的 \(\{\Gamma,H\}=0\)，但不能反过来推断能谱必不成对：整体势 \(\mu I\) 可通过重设能量零点去掉，均匀交错势 \(m\Gamma\) 虽破坏旧手征关系，在这个特殊模型里仍有另一原因产生正负配对，见迁移解答。端点态不是对所有扰动、相互作用或耗散都免疫。
  • 有限链不是半无限链。 两端态的指数尾巴重叠会造成 \(\pm E\) 劈裂；看见“不是零”不等于拓扑消失。增大 \(N\) 或减小 \(t_1/t_2\) 才是在本模型内压低劈裂的办法。
  • Zak 相位要说规范。 在固定的周期 Bloch 规范、原胞和轨道嵌入下，手征 SSH 模型的下带 Zak 相位可与 \(\pi w\)（模 \(2\pi\)）对应；但单独报一个“Zak = 0/\pi”不说明原胞原点、轨道位置和规范是不完整的。改原胞/终止会改变相位代表与极化的参考，也会改变哪一端暴露出边界态；本页用明确的 \(q(k)\) 和终止避免把 convention 当材料无关的绝对标签。

6. 回到公式：从图上的量回到能带语言

局部跳跃 \(t_1,t_2\) 是紧束缚矩阵的非对角元；Fourier 变换把它们压缩成复数 \(q(k)\)。\(q\) 绕原点的次数是不能在保持 gap 时连续抹掉的整数，开边界则把这个 bulk 差异翻译成端点谱流。实验中的四张图分别对应：键强度 \(\to H_N\)、\(H_N\) 的本征值/本征矢、\(H(k)\) 的 \(q\) 轨迹、以及 \(\Gamma H_N\Gamma=-H_N\) 的数值核对。

不要把这句话扩张成“所有边界态都拓扑”或“winding 直接等于任意边界的态数”：它依赖维度、对称类、bulk gap、终止和所选的原胞。SSH 是最小但不是无条件的定理替代品。

7. 迁移题：换参数、换边界、换扰动

  1. 取 \(N=9\)、\((t_1,t_2)=(0.72,1.08)\)。先预测 \(w\)、bulk gap、近零劈裂的趋势，以及选中近零本征态的概率分布；再与实验数值检查比较。
  2. 保持同一个 bulk 参数，把终止切到强键一侧。你预计端点态会保留、消失，还是换到另一种 \(t_1>t_2\) 的参数区？回答时必须同时写出“原胞/终止改变”的理由。
  3. 在默认拓扑链上给每个格点加同一个对角势 \(\mu I\)，以及给 A/B 加相反对角势。分别计算与原 \(\Gamma\) 的反对易子；哪一种只平移能量零点，交错势下能量是否仍可能成 \(\pm\) 对？为什么“有边界态”和“精确零能”是两句不同的判断？
展开边界、能谱与扰动的独立核对

1. \(r=2/3\)，\(w=1\)，bulk gap \(=0.72\)；\(\xi=1/\log(3/2)\approx2.466\) 胞，\(N/\xi\approx3.65\)。上面的二维投影给 \(|h_{LR}|\approx0.015618\)，全 \(18\times18\) 矩阵给 \(|E|\approx0.015656\)，劈裂约 \(0.031312\)。两个结果接近但不完全相等，正好显示有限子空间近似的误差。中间本征态的两端总权重（各取一个完整端胞）约 \(0.558741\)，左右各约一半；其余概率仍分布在指数尾部，不是全部挤在两个最外站点。

2. 反向终止把有限矩阵的键序列换成 \(t_2,t_1,t_2,\ldots,t_2\)，此时长链端态条件换成 \(t_1>t_2\)。这对应从无限二聚链平移一个站点后截取相同长度，有限显示中的 A/B 是按新站点顺序重标的；图中 \(q=t_1+t_2e^{ik}\) 仍保留原 bulk 约定，不能把它误读为新有限原胞的 Bloch 矩阵。两种终止应连同所参照的真空一起比较。对第1题参数，反向链不出现该端点近零对。

3. 令 \(H_0\) 为原手征链。\(H_0+\mu I\) 的谱为 \(\mu+E_j\)，与原 \(\Gamma\) 的反对易子为 \(2\mu\Gamma\)；把零点移到 \(\mu\) 即恢复相同结构。对 \(H_m=H_0+m\Gamma\)，\(\{\Gamma,H_m\}=2mI\)，但

\[ H_m^2=H_0^2+m^2I. \]

在每个由 \(|E\rangle,\Gamma|E\rangle\) 张成的二维空间里，\(H_m\) 的矩阵可取 \(E\sigma_z+m\sigma_x\)，于是新能量仍为 \(\pm\sqrt{E^2+m^2}\)。例如 \(m=0.2\) 与第1题端态给约 \(\pm0.200612\)。原手征对称已破坏，正负谱仍然配对；一般非均匀对角势则没有这个特殊代数保证。半无限端态可留在边界却移到 \(\pm m\)，所以“有端态”和“零能钉扎”必须分开判断。

先修回链：简正模与矩阵 → 量子态与本征值 → 有限链与 Bloch 能带。有限 SSH 模型的本征态与边界条件也可对照 Rutgers 固体物理 SSH 讲义习题解答。

1. 晶格语言速成

布拉伐格子：\(\mathbf R = n_1\mathbf a_1 + n_2\mathbf a_2 + n_3\mathbf a_3\)（平移不变的点阵）+ 基元（每格点上的原子组）= 晶体结构。三维 14 种布拉伐格子；常客：简单立方、体心（bcc）、面心（fcc——最密堆积之一）、金刚石结构（fcc + 双原子基元——硅的家）。SSH 链把“一维原胞含两个对象”变成一个可以完整写出的紧束缚实验：它不是声子模型，却与双原子晶格共享“原胞、倒空间、分支”的语言。

倒格子：\(\mathbf b_i\) 满足 \(\mathbf a_i\cdot\mathbf b_j = 2\pi\delta_{ij}\)——晶格的 Fourier 对偶（周期函数只含倒格矢频率分量：数分 IV Fourier 级数的三维版）。布里渊区：倒空间的“元胞”（Wigner–Seitz 式取法）——SSH 实验的 \(k\in[0,2\pi)\) 与 solid-02 的一维 Bloch \(k\) 都住在这里。

X 射线衍射：Bragg 条件 \(2d\sin\theta = n\lambda\) ⟺ von Laue 条件“波矢转移 \(\Delta\mathbf k=\mathbf G\)，相应动量转移为 \(\hbar\mathbf G\)”（衍射图样直接拍摄倒格子——opt-01“远场 = Fourier 变换”的晶体版：晶体学就是三维傅里叶光学；DNA 双螺旋的照片 51 号是它的名场面）。

2. 晶格振动：从弹簧链到色散关系

双原子链声子色散

图 1.1双原子链的声子色散：近邻等弹簧常数、质量比 m₂/m₁=2 的模型；同相/反相指长波极限，区界两支之间有隙。

一维单原子链【推导】：近邻弹簧模型 \(m\ddot u_n = C(u_{n+1} + u_{n-1} - 2u_n)\)，试解 \(u_n = e^{i(kna - \omega t)}\)（周期结构的 Bloch 式猜解——solid-02 的预演）：

\[ \omega(k) = 2\sqrt{\frac{C}{m}}\,\Big|\sin\frac{ka}{2}\Big| \]

色散关系读法：长波 \(\omega \approx v_s|k|\)（线性——声波，\(v_s = a\sqrt{C/m}\)：固体的声速是弹簧常数的宏观回声）；区界 \(k = \pm\frac\pi a\) 处群速为零（驻波——Bragg 反射自锁）；只需选一个第一布里渊区作不重复标记（\(k\) 与 \(k + \frac{2\pi}{a}\) 描述同一格点运动——离散采样的混叠，数值/信号的 Nyquist 同源）。

双原子链：写出质量才能画两支。 取原胞长 \(a\)，质量 \(m_1,m_2\) 交替，所有近邻弹簧常数均为 \(C\)。位移 \(u_n=Ue^{i(kna-\omega t)}\)、\(v_n=Ve^{i(kna-\omega t)}\) 给出

\[ \begin{pmatrix} 2C-m_1\omega^2 & -C(1+e^{-ika})\\ -C(1+e^{ika}) & 2C-m_2\omega^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}U\\V\end{pmatrix}=0, \]

令行列式为零，得到

\[ \omega_\pm^2=C\left(\frac1{m_1}+\frac1{m_2}\right) \pm C\sqrt{\left(\frac1{m_1}+\frac1{m_2}\right)^2 -\frac4{m_1m_2}\sin^2\frac{ka}{2}}. \]

\(k\to0\) 的声学支有 \(U=V\)，光学支有 \(m_1U+m_2V=0\)；在其他 \(k\)，相对幅度与相位需由上面的矩阵求，不能一律画成同相/反相。图取 \(C=m_1=1,m_2=2\)：区中心 \(\omega_-=0,\omega_+=\sqrt3\)，区界为 \(1,\sqrt2\)。若 \(m_1=m_2\)，区界两支接触，这是单原子链换用较大原胞后的折叠，不是必有一个声子禁带。

三维稳定晶体的 \(p\) 原子原胞有 \(3p\) 支，其中 3 支声学，其余光学。光学模若能改变电偶极矩才具有红外活性；不是每支光学声子都能被红外光直接激发。SSH 中的两分量是电子轨道振幅，不是两种质量的位移，不能用它代替声子动力学矩阵。

3. 声子：振动的量子

每个简正模是一个谐振子（mech-04 → qm-02 流水线）⇒ 能量量子化 \(\hbar\omega_k\)——声子：晶格振动的粒子化身（玻色子，数不守恒，\(\mu = 0\)——与光子同族）。

Debye 比热：三维模式计数给出 \(T^3\)。 在三维、长波线性色散的近似中，球壳内模式数正比于 \(k^2dk\)，所以态密度正比于 \(\omega^2\)。用原子总数 \(N_{\rm at}\) 规定模式总数为 \(3N_{\rm at}\)，取

\[ g(\omega)=\frac{9N_{\rm at}}{\omega_D^3}\omega^2, \quad 0\le\omega\le\omega_D, \qquad \Theta_D=\frac{\hbar\omega_D}{k_B}. \]

每模热能为 \(\hbar\omega/(e^{\hbar\omega/k_BT}-1)\)；零点能在谐近似定容求导时不贡献比热。积分后对温度求导得

\[ C_V^{\rm ph}=9N_{\rm at}k_B\left(\frac T{\Theta_D}\right)^3 \int_0^{\Theta_D/T}\frac{x^4e^x}{(e^x-1)^2}\,dx. \]

低温可把上限延至无穷，积分为 \(4\pi^4/15\)，于是 \(C_V^{\rm ph}\sim(12\pi^4/5)N_{\rm at}k_B(T/\Theta_D)^3\)。高温每模回到 \(k_B\)，总和趋于 \(3N_{\rm at}k_B\)。这里是声子贡献；金属电子还可能给线性的 \(\gamma T\) 项。\(T^3\) 也依赖三维与线性色散，不能直接套在一维链或弯曲模上。进一步的积分推导见 Tong 统计物理：声子与 Debye 模型。

声子的工作清单：热传导（声子气的输运——绝缘体导热靠它；边界/缺陷散射解释纳米材料导热差）；电阻的温度依赖（电子被声子散射——solid-02）；超导配对的媒人（电子—声子耦合——cm-02 BCS 的红娘）；中子散射测色散（直接给 \(\omega(k)\) 曲线——实验与 §2 公式对表）。

4. 练习与要点

例 1（倒格子亲算） 二维正方格 \(a\)：倒格子也是正方格、边长 \(\frac{2\pi}{a}\)；fcc 的倒格子是 bcc（互为对偶）——“实空间越密、倒空间越疏”的 Fourier 直觉。

例 2（色散关系读图） 一维链 \(C, m\) 给定：区界频率 \(\omega_{\max} = 2\sqrt{C/m}\) ~ THz 量级（原子弹簧的固有节拍）——固体的红外/拉曼光谱窗口由此设定。

例 3（Debye 数量级） 以铜的近似参数 \(\Theta_D=343\) K 演算：10 K 时

\[ \frac{C_V^{\rm ph}}{3N_{\rm at}k_B}\approx\frac{4\pi^4}{5}\left(\frac{10}{343}\right)^3\approx0.001931, \]

约为经典极限的 \(1/518\)，并非只看 \((10/343)^3\) 就断言“掉四个数量级”。升至20 K，低温模型预言声子比热约乘8；这不代表总比热也恰好乘8。室温不应再用低温 \(T^3\) 式，代入完整积分得到约经典极限的 \(0.938\)。

下一页：把电子放进周期势——Bloch 定理与能带：导体/绝缘体/半导体的三分天下，以及晶体管为什么可能。