计算物理 · 蒙特卡洛与分子动力学
对标：Newman Computational Physics / Frenkel–Smit 入门 ｜ 前置：sm-02、asm-02、数学站数值线 + 概率线（本页大量复用） 一页把物理模拟的两大范式立起来：蒙特卡洛（采样构型空间——统计的路）与分子动力学（积分运动方程——力学的路），以及共同的行规（误差条、平衡判定、有限尺寸）。数学侧的引擎（Markov 链、辛积分、方差缩减）你的数学站已建，本页只接物理插头。
1. Metropolis 蒙特卡洛（统计物理的采样机）
问题：算 \(\langle A\rangle = \frac{1}{Z}\sum_s A(s)e^{-\beta E(s)}\)——构型空间天文大、\(Z\) 算不了。方案：造一条 Markov 链，其平稳分布恰是 Boltzmann（数学站随机过程线的平稳分布理论 + MCMC 正身）：
Metropolis 规则【推导】 提议翻转 → 接受概率 \(\min(1, e^{-\beta\Delta E})\)。验证细致平衡：\(\pi(s)P(s\to s') = \pi(s')P(s'\to s)\)（两侧代入各一行）⇒ 平稳分布 = Boltzmann ✓。\(\blacksquare\)（"能降必收、能升按 Boltzmann 汇率赌"——sm-02 的 \(e^{-\beta\Delta E}\) 从公式变成算法。）
行规四条：① 先热化后测量（烧掉初值记忆——Markov 链混合时间）；② 误差条要除以自相关时间 \(\tau\)（样本非独立：有效样本 \(= N/2\tau\)——不除是最常见的假精度，时序线自相关的实战）；③ 临界慢化：\(T_c\) 附近 \(\tau \propto \xi^z\) 爆炸（asm-01 关联长度发散的算法代价）——集团算法（Wolff/SW【引用】）整簇翻转破解之；④ 有限尺寸标度：\(L\) 有限无真相变——用 asm-03 的标度形式反提取临界指数（模拟测指数的标准流程）。
2. 分子动力学（力学的路）
方案：直接积分 \(N\) 体牛顿方程（力场 \(V\)：Lennard–Jones 等）。积分器的物理级选择：
Velocity Verlet【推导一行】 \(x_{n+1} = x_n + v_n\Delta t + \frac{a_n}{2}\Delta t^2\)；\(v_{n+1} = v_n + \frac{a_n + a_{n+1}}{2}\Delta t\)——二阶、时间可逆、辛（数学站数值 IV 辛积分器一节的物理主顾：长时间能量不漂移——mech-03 相体积守恒的离散保真；RK4 精度更高却会系统性漏能："保结构 > 高阶数"是 MD 的第一选型原则）。
测什么：时间平均 ⇒ 热力学量（遍历假设——与 MC 的系综平均殊途同归：两条路算同一个 \(\langle A\rangle\) 是"统计力学成立"的数值体检）；速度自相关 ⇒ 输运系数（扩散、粘度——Green–Kubo【引用】，neq-01 线性响应的应用）；径向分布函数 ⇒ 结构。恒温恒压的实现（Nosé–Hoover 等热浴【引用】）把微正则改造成正则——sm-02 系综字典的算法版。
3. 超越基础一瞥
量子蒙卡（路径积分 MC——aqm-03 Wick 桥的直接变现：量子统计 = 多一维经典模拟）；符号问题（费米子权重变负——量子多体模拟的国家级难题，mb-01/qi-03 量子模拟动机的出处）；机器学习力场（神经网络学 \(V(\mathbf r)\)——DFT 精度 + MD 速度，材料模拟当前的主战场【引用】——你的两条线在此汇流）。
4. 练习与要点（全页可动手）
例 1（Ising 模拟全流程） 二维 \(50\times50\) Metropolis：扫温度看磁化 S 形、\(T_c \approx 2.27J\) 附近比热峰（asm-02 Onsager 对表）、临界点附近观察 \(\tau\) 飙升——一百行代码摸到相变（你显卡跑秒级）；这是全站最推荐亲手做的物理实验。
例 2（Verlet vs RK4 对照） 单谐振子积分 \(10^6\) 步：RK4 能量单调漂移、Verlet 能量围绕真值振荡不漂——辛性的眼见为实（数值 IV 的图在物理语境重画）。
例 3（误差条自查） 对例 1 的磁化序列算自相关时间：\(T\) 远离 \(T_c\) 时 \(\tau \sim\) 几步、临界附近 \(\tau \sim 10^3\)——同样 \(10^5\) 样本，有效样本差三个量级："误差条会说谎"的亲身教育。\(\blacksquare\)
研究生板块 17 页完卷。前沿基础板块开幕：量子场论——把 qm-02 的谐振子升格为"万物的语法"。