研究课程 10 · 弱驱动谱学：怎样从跃迁读出量子度量

1. 知道波函数公式，和在实验里测出它，是两件事

上一讲给出

这要求一个孤立、归一化的能量本征态。实验通常不直接读取 \(\partial_\lambda u\)，却能轻轻摇动参数，测系统从初态离开的速率。核心问题变成：怎样把跃迁矩阵元的权重与能隙分母组合起来？

令 \(\lambda(t)=\lambda_0+a\cos\omega t\)，\(a\) 很小，保留一阶驱动

\(a\) 与 \(\lambda\) 同单位，\(O\) 的单位是能量除以参数单位。这里用的是正号驱动；若要与上一讲的 \(H'=-fB\) 对照，取 \(f=-a\cos\omega t,B=O\)。不能在振幅和相位比较时忘记这一步。

2. 有限时间先算振幅，不先假定黄金律

从基态 \(|0\rangle\) 出发，设 \(\omega_{m0}=(E_m-E_0)/\hbar>0\)。一阶激发振幅为

定义 \(G(\nu,T)=Te^{i\nu T/2}\operatorname{sinc}(\nu T/2)\)，其中 \(\operatorname{sinc}x=\sin x/x\)、\(\operatorname{sinc}0=1\)。将余弦拆成两项：

两项之间有干涉，不能在短脉冲时先把概率相加。共振附近、\(\omega_{m0}T\gg1\) 时第一项占主导，得到熟悉的 sinc 平方峰；精确到此微扰阶的实验模型仍保留第二项。

所谓 \(P^{(2)}\) 是概率的最低非零阶估计，不是任意振幅或时间下的精确概率。若它算出大于一，应该判定微扰已失效，而不是把数值截成一后继续当作正确模拟。

3. 长时间窄峰极限，才出现频率 delta 函数

在分布意义下 \(|G(\nu,T)|^2/T\to2\pi\delta(\nu)\)。对基态正频率激发，得到黄金律

这条式子使用角频率 \(\omega\)，不是普通频率 \(f=\omega/(2\pi)\)。delta 函数的单位与变量变换因子不能省略。孤立两能级在严格共振下最终出现相干 Rabi 振荡，并不存在永远线性增长的激发概率；黄金律表示弱驱动、合适时间窗及谱分辨意义下的结果。

对频率谱加 \(1/\omega^2\) 权重后，能隙分母恰好出现：

因为 \(\hbar^2\omega_{m0}^2=(E_m-E_0)^2\)，\(\hbar\) 正好抵消。右边单位为参数单位的负二次方。这里的无穷积分是一条理想谱权重关系；有限窗口、低频杂散信号和额外能带都会影响估计，尤其 \(1/\omega^2\) 会放大低频背景。

协议不能混用。 上式固定参数振幅 \(a\)。文献也可能使用随频率改变的位移振幅或驱动强度，从而报告不带这个显式权重的积分。比较实验前先把实际 \(V(t)\) 写成同一形式，再核对因子。周期驱动提取量子度量的原始研究

有限时间的曲线，为什么不能直接加权积到零频？

先固定有限的 \(T\)，将实际计算量记为 \(\Gamma_T(\omega)=P^{(2)}(\omega,T)/T\)。它一般不具有理想黄金律谱的低频空隙。以单个跃迁 \(\hbar=\omega_{10}=1\) 为例，令 \(\omega\to0\)，余弦趋于 1，直接积分得

例如 \(T=\pi\) 时它严格为正。这是突然打开、持续有限时间的静态扰动对原本征态产生的跃迁估计，不需要假设系统真的有零能隙。连续性保证在足够小的正频率处它仍为正；所以此时

即使 \(a\) 足够小、每个频率上的微扰概率都很小，这个带奇异权重的积分仍可发散。理想公式使用的是弱驱动窄峰极限得到的谱，不能交换成“任意有限脉冲曲线先积到零，再延长时间”。分布收敛也不自动允许用在零频奇异的 \(1/\omega^2\) 作测试权重。

实际复算应登记正的频率下限、脉冲包络、背景处理与对时间窗的稳定性检查；一个偶然满足 \(\sin(T/2)=0\) 的时长不能替所有协议消除问题。本页实验只画 \(\omega\ge0.2\)，表中的“理想加权谱面积”来自能级矩阵元公式，没有把所画的有限时间曲线数值积分到零频。上面的 \(T=\pi\) 是区分极限顺序的手算输入，不在时长滑块的离散取值中。

4. 两能级算例：直接把几何与谱权重对上

沿用 \(H=(\Delta/2)\mathbf n(\theta,\phi)\cdot\boldsymbol\sigma\)，在固定 \(\theta\) 下调制 \(\phi\)。由于 \(\partial_\phi\mathbf n\) 与 \(\mathbf n\) 正交，带间矩阵元满足

取 \(\hbar=\Delta=1\) 作为实验单位，角频率单位为 \(\Delta/\hbar\)，时间单位为 \(\hbar/\Delta\)。默认 \(\theta=\pi/2,a=0.05,T=20,\omega=1\)。\(g=0.25\)，共振旋转波近似给 \(P\approx a^2gT^2/4=0.0625\)；保留反旋转项后约为 \(0.064959\)。差别来自有限观测窗，不说明几何公式失效。

图中纵轴明确为二阶微扰估计；显示值超过 0.1 时提示需要检查高阶效应，超过一时明确不是合法概率。0.1 是教学提示阈值，不能作为所有系统统一的误差保证。真实 Hamiltonian \(H(\phi_0+a\cos\omega t)\) 还有被省略的高阶参数导数；本实验只模拟写出的线性化驱动。

5. 进一步测非对角分量，需要另一组实验

若同时沿两个参数作同相驱动 \(a(\partial_1H+\partial_2H)\cos\omega t\)，将加权谱面积乘以同一个归一化因子 \(2/(\pi a^2)\) 后给出 \(g_{11}+g_{22}+2g_{12}\)；相反方向则给 \(g_{11}+g_{22}-2g_{12}\)。两者相减后除四，可提取交叉度量。需要分别校准两个参数的振幅与单位。

相差四分之一周期的驱动还可探测矩阵元的虚部，从而连接 Berry 曲率，但要明示驱动方向和圆偏振的符号。多体体系中，用非简并多体基态与多体激发谱定义的几何，和单粒子 Bloch 能带的度量并不自动相同。多体谱学推广

回到上一讲的 CoSn、黑磷或 2026 年平带研究时，应先识别：那里采用的是光电子谱重建、周期驱动跃迁率，还是多体输运响应。三者都能涉及几何，但不是同一种观测协议；本讲也没有复现这些材料实验。

6. 迁移题

题一。 固定小振幅，近共振区将 \(T\) 加倍，旋转波最低阶峰顶与第一个零点的失谐如何变化？

题二。 用固定振幅 \(a\) 测得激发率后，只积分 \(\int\Gamma(\omega)d\omega\) 能直接得到度量吗？