场论 I · 经典场与正则量子化

1. 从一根弦的坐标，走到场的坐标

有限个质点用坐标 \(q_1,\ldots,q_M\) 描述；场把初始位置数据换成函数 \(\phi(x)\)，初始速度数据换成另一个函数。“每个模式是一个振子”需要先选正交坐标，不能把每个空间点当成已经解耦的振子。梯度能把相邻位置联系起来，傅里叶基才将自由理论对角化。

在长度为 \(L\) 的周期盒中，实场满足 \(\phi(t,x+L)=\phi(t,x)\)。从作用量 \(S=\int dt\int_0^L dx\,[\dot\phi^2-(\partial_x\phi)^2-m^2\phi^2]/2\) 出发，对周期变分做分部积分。时间端点变分取零，空间端点因周期性抵消，得到 \(\delta S=-\int dt\,dx\,\delta\phi(\partial_t^2-\partial_x^2+m^2)\phi\)，于是运动方程为 Klein–Gordon 方程。

正则动量是 \(\pi=\partial\mathcal L/\partial\dot\phi=\dot\phi\)；Legendre 变换给出 \(H=\frac12\int_0^L[\pi^2+(\partial_x\phi)^2+m^2\phi^2]dx\)。 动能、梯度能和质量项均非负。这条推导解释了稳定性，也固定了之后所有频率与符号。

守恒量也可从同一作用量获得。对实场，平移对称给出 \(T^\mu{}_{\nu}=\partial^\mu\phi\,\partial_\nu\phi-\delta^\mu{}_{\nu}\mathcal L\)；求导后交叉项抵消，\(\partial_\mu T^\mu{}_{\nu}=(\Box\phi+m^2\phi)\partial_\nu\phi=0\)。在周期盒中积分便得到能量和动量守恒。这里的自由场没有独立的连续内部相位对称。对复场 \(\mathcal L=\partial_\mu\psi^*\partial^\mu\psi-m^2\psi^*\psi\)，取变换 \(\delta\psi=i\alpha\psi\)，则 \(j^\mu=i(\psi\partial^\mu\psi^*-\psi^*\partial^\mu\psi)\)；用两条运动方程可验散度为零。反过来定义相位参数时，荷的整体符号也随之改变。

量纲提供另一条快速核验：在 \(D\) 维时空，\([\mathcal L]=D\)，动能项给出 \([\phi]=(D-2)/2\)；四维时 \([\phi]=1\)，\(\lambda\phi^4\) 的 \([\lambda]=0\)。本页一维空间示范是 \(D=2\)，场的质量量纲为0，不能把四维的数值直接搬过来。

有限粒子数的量子力学并非“因为出现负频率就立刻不自洽”。场论还要容纳相对论性相互作用导致的粒子数变化，并同时组织局域可观测量和因果结构。自由场的 Fock 空间为这种组织提供可计算的起点。

2. 两种截断分别控制什么

实验用 \(K\) 保留空间模式 \(|n|\le K\)，实振子数是 \(1+2K\)。每个振子仍有无穷多个能级，所以有限 \(K\) 并没有把整个 Hilbert 空间变成有限维。实验另设一个单位频率振子，取前 \(N\) 个能级组成矩阵，用它观察能级截断造成的代数缺陷；这个 \(N\) 不是场的模式数。

八个控制分别是质量 \(m\)、盒长 \(L\)、模式截断 \(K\)、实模式占据方案、时间差 \(t\)、位置比 \(r/L\)、单振子矩阵维数 \(N\)、待检查能级。降低 \(N\) 时，能级选项同步到 \(0,\ldots,N-1\)。位置和时间只改变相关函数的读数，占据方案只改变能量表；相关函数面板始终选用有质量自由场的真空。

数值演示取 \(L\in[4,12]\)、\(K\in\{0,\ldots,16\}\)、\(|t|\le2\)，质量取 \(m=0\) 或 \(0.1\le m\le2\)。\(m=0\) 的零模单独处理，不将除以零的公式填成零。有限模式和没有时间积分误差；普通浮点舍入、有限 \(K\) 和有限 \(N\) 的影响仍要分别理解。

3. 独立实模式：为什么是一个零模加两个伙伴

令 \(k_n=2\pi n/L\)，选正交归一实基 \(e_0=L^{-1/2}\)、\(e_{n,c}=\sqrt{2/L}\cos k_nx\)、\(e_{n,s}=\sqrt{2/L}\sin k_nx\)，其中 \(n\ge1\)。逐项积分可得 \(\int_0^L e_je_\ell dx=\delta_{j\ell}\)。同时 \(-\partial_x^2 e_j=k_j^2e_j\)。

将截断场写成 \(\phi_K=\sum_jq_j(t)e_j(x)\)、\(\pi_K=\sum_jp_j(t)e_j(x)\)。正交性把作用量与 Hamiltonian 分别变为

例如 \(K=2\) 时，坐标恰好是 \(q_0,q_{1,c},q_{1,s},q_{2,c},q_{2,s}\)，共五个。也可以用正负动量基计数，但不能在五个实振子之外再加一套正负动量自由度。两种基是同一空间的两种坐标。

注意这里“实模式”指基函数为实数。量子态的系数仍然可以是复数，正负动量的叠加相位也必须保留。

4. 从有限正则坐标推导升降算符

先对有限组坐标施加 \([q_j,p_\ell]=i\delta_{j\ell}\)、\([q_j,q_\ell]=[p_j,p_\ell]=0\)。当 \(\omega_j>0\)，定义 \(b_j=\sqrt{\omega_j/2}\,q_j+i p_j/\sqrt{2\omega_j}\)。 逆变换是 \(q_j=(b_j+b_j^\dagger)/\sqrt{2\omega_j}\)、\(p_j=-i\sqrt{\omega_j/2}(b_j-b_j^\dagger)\)。

将两项交叉对易子相加，\([b_j,b_\ell^\dagger]=\delta_{j\ell}\)。把逆变换代回 Hamiltonian，\(bb\) 和 \(b^\dagger b^\dagger\) 项抵消，剩下 \(H_j=\omega_j(b_jb_j^\dagger+b_j^\dagger b_j)/2=\omega_j(b_j^\dagger b_j+1/2)\)。 因此 \([H_j,b_j^\dagger]=\omega_jb_j^\dagger\)。

从满足 \(b_j|0\rangle=0\) 的归一化真空出发， \(|n_j\rangle=(b_j^\dagger)^{n_j}|0\rangle/\sqrt{n_j!}\)，能量为 \((n_j+1/2)\omega_j\)。这一次，能级公式来自正则代数和最低能量条件，而不是从图形反推。

一旦选择玻色对易代数，不同产生算符可交换，构造出的多粒子态确实对称。但“为什么相对论性标量场应选这种代数”属于自旋—统计定理的内容，需要局域性、正能量等假设；不能把代数选择本身藏在这一步计算里。

5. 有限投影核不是精确的点状δ

利用实基展开，直接得到

这不是近似记号：对有限 \(K\)，右侧就是准确的等时核。它满足 \(\int_0^L\delta_K(r)dr=1\)，且 \(\delta_K(0)=(2K+1)/L\)。高度随着 \(K\) 增加，不应将它逐点当成一个趋向有限值的普通函数。

更有效的读法是让它作用于函数。若 \(f(y)=\cos(k_hy)\)，正交性给出 \(\int_0^L\delta_K(x-y)f(y)dy=f(x)\) 当 \(h\le K\)，而 \(h>K\) 时结果为零。这就是傅里叶投影：保留的频率完整通过，排除的频率完全消失。

实验对六个 \(h\) 保留 128 项周期求和的每一项。这里被乘函数的最高频率不超过 \(K+h\le36\)，低于求和网格可能出现的非零混叠频率 128，因而离散正交性给出同一投影结果，仅剩浮点舍入。这个特殊求和的准确性不意味着任意函数都能用 128 点精确积分。

移除 \(K\) 时，应先说明测试函数或涂抹方式，再谈分布收敛。锐动量截断也不是 Lorentz 不变的调节方式；有限模型的非局域投影核会影响微因果性。

6. 实基中的一个粒子，不一定有确定动量

对 \(n>0\)，引入动量湮灭算符 \(a_{+n}=(b_{n,c}-i b_{n,s})/\sqrt2\)、\(a_{-n}=(b_{n,c}+i b_{n,s})/\sqrt2\)。这是酉变换，保留对易代数和 \(a_{+n}^\dagger a_{+n}+a_{-n}^\dagger a_{-n}=b_{n,c}^\dagger b_{n,c}+b_{n,s}^\dagger b_{n,s}\)。

于是 \(b_{n,c}^\dagger|0\rangle=(a_{+n}^\dagger+a_{-n}^\dagger)|0\rangle/\sqrt2\)。两种动量的能量相等，因此这个状态能量确定；但测量动量会以各 \(1/2\) 的概率得到 \(\pm k_n\)，所以 \(\langle P\rangle=0\)、\(\operatorname{Var}P=k_n^2\)。

本页“\(n=1\) cos 模式占据 1”就是这种驻波单粒子态。它不等于两个粒子各占据正负动量。一般单粒子波包为 \(\sum_nf_n a_n^\dagger|0\rangle\)，归一化要求 \(\sum_n|f_n|^2=1\)。

实场的正负动量仍属于同一种中性粒子；它们不是粒子与反粒子的标签。复标量场可写成两个独立实场的组合，在平面波展开中含独立的粒子湮灭与反粒子产生算符。这多出来的自由度来自复场本身，并非给实场的负动量换个名字。

“\(n=0,1c,2c\) 各占据 1”则是 \(b_0^\dagger b_{1,c}^\dagger b_{2,c}^\dagger|0\rangle\)，共有三个粒子。对于本页这些实基数态，动量方差由各壳相加；单壳的一般公式是 \(k_n^2[n_c(n_s+1)+n_s(n_c+1)]\)。这些方案的 \(n_s=0\)，所以化为 \(k_n^2n_c\)。若截断没有包含请求占据的模式，表格会列出排除项，而不会把粒子自动搬到别的模式。

7. 零点能、体积与连续归一化

有限盒且 \(m>0\) 时，\(E_0(K)=\frac12\sum_j\omega_j\)，激发能 \(E_{\mathrm{exc}}=\sum_jn_j\omega_j\)，总能量是两者之和。固定少数占据后，增大 \(K\) 主要改变零点和；当新壳仍包含请求占据时，激发项也会改变。

三维盒中的动量算符取 \([a_{\mathbf n},a_{\mathbf m}^\dagger]=\delta_{\mathbf n\mathbf m}\)。因此有限求和 \(H=\sum_{\mathbf n}\omega_{\mathbf n}(a_{\mathbf n}^\dagger a_{\mathbf n}+1/2)\) 没有歧义。翻译为连续记号时， \(\sum_{\mathbf n}\to V\int d^3k/(2\pi)^3\)、\(a(\mathbf k)\leftrightarrow\sqrt V\,a_{\mathbf n}\)，并有 \([a(\mathbf k),a^\dagger(\mathbf k')]=(2\pi)^3\delta^3(\mathbf k-\mathbf k')\)。

在这套连续归一化下，形式 Hamiltonian 必须写成

不能把有限盒里的 \(1/2\) 原样塞进连续算符的括号。除以体积后，零点能密度才是 \(\int d^3k\,\omega_{\mathbf k}/[2(2\pi)^3]\)，其大动量发散与总体积发散是两笔不同的账。

固定自由模型的正规排序减去一个常数 \(E_0\)，不改变能量差或 Heisenberg 方程。比较不同边界条件的真空能、引入引力或处理相互作用时，还必须说明比较对象与调节、重整化方案；这个有限求和没有解决那些问题。连续归一化与真空能的参考说明见 Tong，自由场 §2.2–2.3。

8. 无质量零模为何要单独保留

\(m=0\) 时，空间常数模式满足 \(\omega_0=0\)，其 Hamiltonian 为 \(H_0=p_0^2/2\)。这是自由粒子：没有回复力，也没有离散的谐振子基态。形式上的 \(p_0=0\) 本征波函数在 \(q_0\in\mathbb R\) 上为常数，不能归一化。

所以不能把 \(\langle q_0^2\rangle=1/(2\omega_0)\) 在零点代入，再把无穷大或未定义读数显示成零。也不能悄悄删除零模，然后声称得到了原周期场的完整真空。

可以为自由粒子另选一个正规化状态。例如取 \(\operatorname{Var}q_0=\sigma^2\)、\(\operatorname{Var}p_0=1/(4\sigma^2)\) 的最小不确定 Gaussian 状态，则平均能量 \(1/(8\sigma^2)\)，随后会展宽；它不是平移不变的振子真空。本页没有替学习者暗中选这个状态，因此完整真空相关函数与完整零点能均留空。非零频率振子部分仍可单独计算。

但是正则演化 \(q_0(t)=q_0(0)+tp_0(0)\) 不需要选真空，给出 \(i[q_0(t),q_0(0)]=t\)。在场中乘上 \(e_0^2=1/L\)，零模对交换子的贡献恰好是 \(t/L\)。这说明“真空未指定”和“所有物理量都算不出”不是一回事。

9. 相关函数、交换子与推迟响应

当 \(m>0\)，真空 Wightman 函数在有限周期盒中为 \(W_K(t,r)=L^{-1}\sum_{n=0}^K g_n\cos(k_nr)e^{-i\omega_nt}/(2\omega_n)\)，其中 \(g_0=1\)、\(g_{n>0}=2\)。它可以是复数，也不是概率密度。

定义实值交换子系数 \(C_K=i[\phi_K(t,r),\phi_K(0,0)]\)。用 \(W_K(t,r)-W_K(-t,-r)\) 求交换子，可得 \(C_K=L^{-1}\sum g_n\cos(k_nr)\sin(\omega_nt)/\omega_n=-2\operatorname{Im}W_K\)。 特别地 \(C_K(0,r)=0\)、\(\partial_tC_K(0,r)=\delta_K(r)\)。无质量零模的比值按连续极限 \(\sin(\omega t)/\omega\to t\) 保留。

推迟 Green 函数取 \(G_{R,K}(t,r)=\theta(t)C_K(t,r)\)。它在负时间为零；对方程算符作用，由初始时间导数的跳跃得到 \((\partial_t^2-\partial_r^2+m^2)G_{R,K}=\delta(t)\delta_K(r)\)。 这条式子中空间源仍是有限投影核，不能把它换成未经截断的点源。

时序真空函数则是 \(D_{F,K}(t,r)=W_K(|t|,r)\)。它在负时间一般不为零，且同一微分算符作用得到 \(-i\delta(t)\delta_K(r)\)。在连续四动量约定下，其分母是 \(i/(k^2-m^2+i0)\)；推迟解的对应形式是 \(1/[\omega_{\mathbf k}^2-(k^0+i0)^2]\)。两者极点处方、源的归一化和物理用途必须一起交代。

作为通往散射的接口，三维静态算符 \(-\nabla^2+m^2\) 的 Green 函数满足 \((-\nabla^2+m^2)G=\delta^3\)，结果为 \(G(r)=e^{-mr}/(4\pi r)\)。在原点外代入径向方程得到零；对原点小球积分，径向通量给出单位源。相互作用耦合与符号决定最终势能，不能把裸传播子直接等同于某个实验势。

时序与非时序真空函数的定义可对照 Tong，自由场 §2.7。本页的有限求和、符号与跳跃条件已按上述约定逐项推导。

10. 类空相关不等于传信；截断泄漏也不等于反例

在完整局域自由场中，类空间隔的场交换子为零。无限空间可以利用 Lorentz 不变性把类空分离变换到等时，再用等时交换子证明；周期盒没有全局 Lorentz 对称，但仍可由局域 Klein–Gordon 方程的有限传播速度和周期镜像构造理解因果性。

本页一维连续参考写成 \(C_\infty(t,r)=\frac12\operatorname{sgn}(t)\sum_{j\in\mathbb Z}\mathbf1_{|r+jL|<|t|}J_0(m\sqrt{t^2-(r+jL)^2})\)，光锥边界的分布行为另行处理。实验范围内只需检查 \(j=-1,0,1\)；若在光锥边界，则连续参考留空，不拿一个任意阶跃约定充当普通函数答案。数值上将平方间隔的绝对值小于 \(10^{-12}\) 的点视为边界邻域，避免将舍入造成的微小正负号当成可靠判据。

这个参考可从 \(f(u)=\sum_{\ell\ge0}(-m^2u/4)^\ell/(\ell!)^2\) 验证：内部满足 \(4(uf''+f')+m^2f=0\)。乘上前向或后向光锥支撑，常数首项给出正确的初始导数 \(\delta(r)\)；在圆周上作周期镜像便得到上述核。实验用该收敛级数求 \(J_0\)，独立复算使用另一套特殊函数实现。

有限 \(K\) 的 \(C_K\) 通常在类空位置不为零，因为其源是非局域的 \(\delta_K\)。提高截断后应观察涂抹后的量与远离光锥边界的行为，不能从几个点的变化宣布全域一致收敛。图中保留全部规则采样点，并额外加入精确光锥边界坐标；连续参考在这些位置留空，避免跨过未采到的跃变直接连线。

另一方面，即使移除调节，真空相关 \(W\) 在类空位置也可非零。因果性约束的是局域可观测量之间的交换与响应，而不是要求所有相关函数都在光锥外消失。有限截断留下的交换子与真空本身的类空相关，来源不同。参考概念见 Tong，自由场 §2.6.1。

11. 有限矩阵为何在最高能级失效

取单位频率振子，投影到 \(|0\rangle,\ldots,|N-1\rangle\)。有限湮灭矩阵满足 \((a_N)_{j-1,j}=\sqrt j\)，其余元素为零。直接相乘，除顶层外 \(a_Na_N^\dagger\) 的对角为 \(j+1\)，顶层为零；\(a_N^\dagger a_N\) 的对角始终为 \(j\)。因此

这个结果也由迹检查强制要求：任意两个有限矩阵的交换子迹为零，而 \(\operatorname{tr}I_N=N\)。提高数值精度不能修复这个代数矛盾。

进一步令 \(q_N=(a_N+a_N^\dagger)/\sqrt2\)、\(p_N=(a_N-a_N^\dagger)/(i\sqrt2)\)，则 \([q_N,p_N]=i[a_N,a_N^\dagger]\)。原无限振子 Hamiltonian 的投影为 \(P_NHP_N=\operatorname{diag}(1/2,3/2,\ldots,N-1/2)\)；但先投影 \(q,p\) 再平方得到 \(\frac12(q_N^2+p_N^2)=P_NHP_N-\frac N2|N-1\rangle\langle N-1|\)。

差异不是浮点错误，而是投影后删掉了顶层通向第 \(N\) 层的中间路径。低能层可以精确保留某些矩阵元，仍须检查计算是否触碰截断边界。实验同时保留两种 Hamiltonian 的全部矩阵元，避免只看能谱下端就认定算符代数全对。

12. 八道手算：把公式接回读数

回看这八题，能量的基、算符归一化、选定状态、调节方式和 Green 函数边界条件都属于题目的一部分。接下来的相互作用课程将沿用这些约定，引入微扰展开与 Wick 收缩。