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力学 IV · 振动与刚体

对标：Goldstein §4–6 / Landau §5–6 ｜ 前置：mech-02/03、高代 V–VI（本页是它的物理主场） 力学收官的两大专题：小振动理论——"非退化势能极小值附近可近似为耦合谐振子"，其求解就是一次广义特征值分解（线性代数的物理加冕）；刚体转动——惯量张量与 Euler 方程，"网球拍定理"的出处。

可直接复习：拉格朗日力学、谱分解、二次型。

学习层：先把两个二次型对角化，再问刚体会不会翻

1. 具体玩具：两个坐标、两个度量、两本稳定性账

取一个透明的二自由度线性化模型

\[ M=\begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix},\qquad K=\begin{pmatrix}5&-6\\-6&20\end{pmatrix},\qquad M\ddot\eta+K\eta=0. \]

\(M\) 是动能二次型，\(K\) 是平衡点附近的势能 Hessian。把 \(K a=\omega^2 M a\) 展开，特征多项式为

\[ \det(K-\lambda M)=4(\lambda-2)(\lambda-8). \]

所以两支是 \((\omega^2,\omega)=(2,\sqrt2)\) 与 \((8,2\sqrt2)\)；可选模向量为 \(a_1=(2,1)\)、\(a_2=(2,-1)\)，且

\[ a_1^\top M a_2=0,\qquad a_1^\top M a_1=a_2^\top M a_2=8. \]

普通点积并不负责“正交”；在振动问题中正交的内积是 \(M\)-内积。然后换一本账：取刚体主惯量 \(I_1<I_2<I_3\)，无力矩 Euler 方程的线性化说极小、极大惯量轴稳定，中间轴不稳定。这是无力矩、主轴、微扰下的局部结论，不是“任何刚体运动都绕极值轴稳定”的万能句。

实验的惯量张量取为

\[ I=\begin{pmatrix}2&-1&0\\-1&2&0\\0&0&4\end{pmatrix}, \]

其主惯量为 \(1,3,4\)，对应主轴为 \((1,1,0)/\sqrt2\)、\((1,-1,0)/\sqrt2\) 和 \((0,0,1)\)。

2. 精确桥梁：小振动的广义谱与惯量主轴

令 \(\eta=q-q^0\)，二阶 Lagrangian 给出

\[ L^{(2)}=\frac12\dot\eta^\top M\dot\eta-\frac12\eta^\top K\eta,\qquad M\ddot\eta+K\eta=0. \]

代入 \(\eta=a e^{i\omega t}\) 即得广义特征问题 \(Ka=\omega^2Ma\)。当 \(M\succ0\)、\(K\succeq0\) 时，\(M\)-正交模可组成完整基；\(\omega^2<0\) 则表示线性化不稳定方向，\(\omega^2=0\) 只说明二次回复项消失；线性方程还可能有随时间增长的漂移，高阶项决定进一步稳定性。这里的频率与模是平衡点附近的线性化结果，不能直接当成大振幅非线性轨迹的精确解。

刚体惯量张量总满足 \(I=I^\top\succeq0\)；只有当质量不全部落在一条穿过支点的直线上时才有 \(I\succ0\)。正定还不足以保证一个矩阵可由真实质量分布实现。主惯量必须满足三角不等式：例如 \(I_1+I_2-I_3=2\int z^2dm\ge0\)，另两式循环。当前\((1,3,4)\)可由平面质量分布实现；\((1,3,5)\)虽然全为正数，却不可能是真实刚体的三个主惯量。

一个可复算实现是：令 \(u=(1,1,0)/\sqrt2\)、\(v=(1,-1,0)/\sqrt2\)，四个质点各重1/2，置于 \(\pm\sqrt3u\) 和 \(\pm v\)。用 \(I=\sum m(r^2\mathbf1-rr^T)\) 相加得到本实验的矩阵；长度与质量可按选定单位缩放。质心位于原点，连接杆按无质量处理。

四个非负质点实现主惯量1、3、4；平面分布满足三角不等式取等号

从质量分布往回算惯量：离轴越远，贡献越大。所有质量都在平面内，所以垂直轴的惯量等于两条平面主轴惯量之和。

关于惯量的物理可实现性，还可读 Wensing、Kim、Slotine 的原始论文；本页所需的三角约束已由质量积分直接推出。

由谱定理得到三条正交主轴。随体主轴中

\[ I_1\dot\omega_1=(I_2-I_3)\omega_2\omega_3,\quad I_2\dot\omega_2=(I_3-I_1)\omega_3\omega_1,\quad I_3\dot\omega_3=(I_1-I_2)\omega_1\omega_2. \]

在轴 \(2\) 附近取 \(\omega_2\approx\Omega\)，微扰满足

\[ \ddot{\omega}_1= \frac{(I_2-I_3)(I_1-I_2)}{I_1I_3}\Omega^2\omega_1. \]

\(I_1<I_2<I_3\) 时系数为正，因而是指数放大；绕轴 \(1\)、\(3\) 的对应系数为负，给出振荡型线性稳定。符号来自三条 Euler 方程的循环次序，不能只凭“中间数最大/最小”背公式。

3. 预测门：先猜频率、内积和适用边界

提交前先预测：

  1. 上述广义特征值是 \(2,8\) 还是 \(1,4\)？哪一个模是低频模？
  2. \(a_1=(2,1)\) 与 \(a_2=(2,-1)\) 是普通欧氏正交，还是 \(M\)-正交？
  3. SVG 中的模叠加是否等于任意大振幅非线性运动？
  4. 对无力矩且三个主惯量严格有序的刚体，中间轴的线性化稳定性应记为稳定还是不稳定？能否把它推广成所有受力刚体的结论？

改变模叠加或观察时间会重新锁门；轴与自旋率只改变揭示后的刚体账本，不改变“中间轴定理”的预测题。

4. 动手实验：一张谱账、一张惯量账

揭示后可选择低频模、高频模或两模叠加，调节观察时间、主轴和无量纲自旋率。左侧 SVG 画有限时间窗内的线性化位移轨迹，右侧画 \(xy\) 平面中的两条主轴，并用出平面标记表示 \(z\) 轴；表格同时列出 \(Ka-\omega^2Ma\) 的残差、\(M\)-范数、主轴惯量以及 \(\sigma^2\) 与 \(\sigma^2/\Omega^2\)。轨迹是确定性采样，非线性大振幅与受力进动仍需另建模型。

无 JavaScript 时的静态读法：默认取两模等幅、\(t=1\)、\(\Omega=1\)。广义特征问题与主轴稳定性如下：

振动模 \(a\) \(\omega^2\) \(\omega\) \(a^\top M a\) \(\|Ka-\omega^2Ma\|\)
低频 \((2,1)\) \(2\) \(\sqrt2\) \(8\) \(0\)
高频 \((2,-1)\) \(8\) \(2\sqrt2\) \(8\) \(0\)
惯量主轴 主惯量 单位轴 \(\sigma^2/\Omega^2\)（无力矩微扰） 线性化判断
轴 1 \(1\) \((1,1,0)/\sqrt2\) \(-1/2\) 稳定型振荡
轴 2 \(3\) \((1,-1,0)/\sqrt2\) \(1/2\) 不稳定型指数放大
轴 3 \(4\) \((0,0,1)\) \(-1\) 稳定型振荡

这里的 \(\sigma^2\) 是小扰动线性方程的系数；负号表示振荡型而非“没有动力学”。\(M\)-正交不是普通点积正交，\(Ka=\omega^2Ma\) 的零残差也只证明这组二次型的线性化谱。若改成大振幅、加外力矩或让主惯量退化，必须重新写方程与稳定性问题。

5. 边界：三种常见过度外推

  • 线性化不等于非线性解。小振动模态在 \(\eta\) 足够小时给出首阶叠加；大振幅会产生频移、模耦合和非线性谐波。
  • 中间轴定理有前提。它是 torque-free、刚体、严格有序主惯量附近的稳定性结论；外力矩、耗散、约束或对称退化都会改变问题。
  • 一组数值不构成普遍证明。特征残差检查所选 \(M,K\) 的代数，SVG 检查有限采样；普遍谱定理和 Euler 稳定性仍由正定性、主轴坐标与线性化推导提供。

6. 迁移：一个正定矩阵，为什么仍可能不是惯量？

有人把 \(\operatorname{diag}(1,3,5)\) 作为真实刚体惯量，且由正特征值宣布它可实现。指出遗漏条件。再比较 \(V=x^4\) 与 \(V=-x^4\) 在0的Hessian，说明零频率是否足以判稳。

核对质量分布约束与高阶稳定性

主惯量应有 \(I_1+I_2-I_3=2\int z^2dm\ge0\)，而该例为−1，故不可实现。谱定理解决矩阵对角化，不替代非负质量分布约束。两个势在0的Hessian都为0，但前者有严格势能极小值，能量可控制小运动；后者从任意小的非零位移、零初速出发向外加速。应保留高阶项，不能给零频率一概贴上“稳定”或“对称自由度”的标签。

1. 小振动与简正模（普遍理论）

受迫振子的共振曲线

图 4.1受迫振子的共振：驱动频率接近固有频率 \(\omega_0\) 时振幅急剧放大，阻尼比 \(\zeta\) 越小峰越尖锐。

设定：体系在稳定平衡点 \(q^0\) 附近，展开拉氏量到二阶：

\[ L \approx \frac12\sum_{ij} T_{ij}\dot\eta_i\dot\eta_j - \frac12\sum_{ij}V_{ij}\eta_i\eta_j \qquad (\eta = q - q^0) \]

\(T\)（动能矩阵）正定、\(V\)（Hessian，优化 II 的老朋友）在稳定平衡处半正定。EL 方程：\(T\ddot{\boldsymbol\eta} = -V\boldsymbol\eta\)。

求解 = 广义特征值问题【推导】：设 \(\boldsymbol\eta = \mathbf a\,e^{i\omega t}\)：

\[ V\mathbf a = \omega^2\,T\mathbf a \]

——高代 VI"一对二次型同时对角化"（一个正定即可同时合同对角化）的物理主场。特征值 \(\omega_\alpha^2\) 给简正频率、特征向量给简正模：在简正坐标下体系解耦为独立谐振子——

读法（这段话值一门课）："复杂振动 = 独立简正模的叠加"——分子振动光谱（每条谱线一个简正模）、建筑抗震（共振频率 = 简正频率）、晶格声子（solid-01 的整章就是无穷多自由度版）、乃至场论的"粒子 = 场的简正模量子"（qft-01 的世界观）全部由此定调。\(\omega^2 < 0\)（\(V\) 有负方向）= 不稳定方向指数逃逸——鞍点的动力学面目（优化 II 呼应）。

样板（双弹簧三车问题级）：两自由度对称体系必有"同相/反相"两模——对称与反对称组合是简正模的常见长相（对称性决定简正模的群论正式版在 aqm-01【引用】）。

2. 刚体：惯量张量

刚体绕定点转动，角速度 \(\boldsymbol\omega\)：

\[ \mathbf L = I\,\boldsymbol\omega, \qquad I_{jk} = \sum_i m_i\big(r_i^2\delta_{jk} - x_{ij}x_{ik}\big), \qquad T = \frac12\boldsymbol\omega^\top I\,\boldsymbol\omega \]

【推导】 \(\mathbf L = \sum m\,\mathbf r\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf r)\) 用 BAC-CAB（解几 I）展开即得。\(I\) 总是对称半正定；若质量不全部共线于穿过支点的一条直线，则它正定。谱定理（高代 V）仍给出互相正交的主轴，本征基下 \(I=\mathrm{diag}(I_1,I_2,I_3)\)；退化或零主惯量必须保留，不能由“刚体”二字自动排除。⚠️ \(\mathbf L \not\parallel \boldsymbol\omega\)（除非沿主轴转）——歪着转的轮子会晃的代数原因。

Euler 方程【推导骨架】：\(\dot{\mathbf L} = \boldsymbol\tau\) 搬到随体（主轴）系（mech-01 的旋转系导数公式）：

\[ I_1\dot\omega_1 = (I_2 - I_3)\omega_2\omega_3 + \tau_1 \quad (\text{循环}) \]

定理（网球拍/贾尼别科夫定理） 三个正主惯量严格有序时，无力矩刚体绕主轴的转动：绕最大、最小惯量轴稳定，绕中间轴不稳定。 【推导】 对绕轴 2 的转动加微扰，Euler 方程线性化：\(\ddot{\omega}_1 = \frac{(I_2-I_3)(I_1-I_2)}{I_1I_3}\omega_2^2\,\omega_1\)——系数符号：\(I_2\) 居中时为正（指数增长，不稳定），\(I_2\) 为极值时为负（振荡，稳定）。\(\blacksquare\)——接近中间轴旋转时微小扰动被放大的两行解释；完整翻转轨迹还要解非线性方程；也是 ode-03 线性化判稳的教科书应用。

进动一嘴：对称陀螺 + 重力矩 ⇒ \(\boldsymbol\omega_{\text{进动}} = \frac{mgl}{I\omega}\)（快转陀螺近似）——陀螺不倒的定量答案；地球岁差同款方程。

3. 练习与要点

例 1（简正模全流程） 两质量三弹簧（对称）：\(T = m\,\mathrm{diag}(1,1)\)，\(V = k\begin{pmatrix}2 & -1\\ -1 & 2\end{pmatrix}\)：特征值 \(\omega^2 = \frac km, \frac{3k}{m}\)，模 \((1,1)\)（同相，中弹簧不动）与 \((1,-1)\)（反相）——十分钟把普遍理论走成肌肉记忆。

例 2（惯量张量计算） 均匀长方体主轴 = 三条对称轴（对称性免算非对角元）；边长 \(a > b > c\) ⇒ \(I\) 中间值对应中间边方向——抛一本书（胶带捆住）验证中间轴翻转：能在宿舍做的定理。

例 3（零模的含义） 若Hessian有零特征值，二次近似没有回复力，却不一定来自对称性。\(V(x)=x^4\) 在0的Hessian为0，仍有高阶回复力；\(V(x)=-x^4\) 则不稳定。非线性自由分子的整体平移和转动通常给6个零模，线性分子只有5个独立刚体运动方向，振动计数分别为\(3N-6\)和\(3N-5\)；还需排除额外柔性或退化。只有确有连续对称及相应条件时，才联系Goldstone模。\(\blacksquare\)

下一讲用中心势把守恒量、有效势和散射截面串起来，再进入连续介质与场的力学。