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高代 V · 特征值与标准形

上一页的问题在此求解：给定线性变换，找一组基使它的矩阵最简单。答案分两层——运气好（可对角化）时矩阵能变成对角阵，变换 = 沿特征方向各自伸缩；运气不好时也有兜底的最简形态：Jordan 标准形。特征值理论是线性代数的"光谱学"：看一个变换，就看它的特征值。

1. 特征值与特征向量

特征向量是只缩放不旋转的方向

图 5.1特征向量是矩阵 \(A\) 只缩放、不旋转的特殊方向；单位圆经 \(A\) 映射成椭圆，主轴正是特征向量、伸缩比是特征值。

定义 \(A\xi = \lambda\xi\ (\xi \neq 0)\)：\(\xi\) 是只被伸缩不被转向的方向，\(\lambda\) 是伸缩率。

求法：\((\lambda I - A)\xi = 0\) 有非零解 \(\iff\) 特征多项式 \(f(\lambda) = \det(\lambda I - A) = 0\)。\(n\) 阶方阵在 \(\mathbb{C}\) 上恰有 \(n\) 个特征值（计重数）。

两个恒等式（验算神器 + 考试常客）：

\[ \sum_{i} \lambda_i = \mathrm{tr}\,A, \qquad \prod_i \lambda_i = \det A \]

性质速查：\(A\) 与 \(A^\top\) 特征值相同；\(f(A)\) 的特征值为 \(f(\lambda_i)\)（多项式映射特征值——由 \(A^k\xi = \lambda^k \xi\) 逐项得）；可逆时 \(A^{-1}\) 的特征值为 \(\lambda_i^{-1}\)；相似矩阵特征多项式相同（\(\det(\lambda I - T^{-1}AT) = \det(T^{-1}(\lambda I - A)T)\)）；三角阵特征值 = 对角元。

特征子空间 \(V_\lambda = \ker(\lambda I - A)\)。几何重数 \(\dim V_\lambda\) ≤ 代数重数（\(\lambda\) 在特征多项式中的重数）——这条不等式是能否对角化的胜负手。

2. 对角化

定理（对角化判据） \(n\) 阶方阵 \(A\) 可对角化（\(\exists\) 可逆 \(T\)：\(T^{-1}AT = \mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\)）\(\iff\) \(A\) 有 \(n\) 个线性无关的特征向量 \(\iff\) 每个特征值的几何重数 = 代数重数。充分条件：\(n\) 个特征值互异（不同特征值的特征向量自动线性无关——归纳可证）。

\(T\) 的列 = 特征向量，对角元 = 对应特征值（顺序配套）。对角化的红利：

\[ A^k = T\,\mathrm{diag}(\lambda_1^k, \dots, \lambda_n^k)\,T^{-1} \]

矩阵幂/矩阵函数一步到位（线性递推如 Fibonacci 通项、Markov 链极限——🔗 随机过程页——全靠它）。

不可对角化的最小反例：\(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)——特征值 0（代数重数 2），特征向量只有一维（几何重数 1）。缺的那个方向就是 Jordan 理论要补的。

3. Cayley–Hamilton 与最小多项式

定理（Cayley–Hamilton） 把 \(A\) 代入自己的特征多项式得零矩阵：\(f(A) = 0\)。（用途：降幂——高次 \(A^k\) 用特征多项式除法降到 \(n\) 次以下；求逆的多项式表达。）

最小多项式 \(m(\lambda)\)：使 \(m(A) = 0\) 的最低次首一多项式。性质：整除一切零化多项式（尤其 \(m \mid f\)）；根恰为全部特征值（重数可低于代数重数）。判据升级：

\[ A\ \text{可对角化} \iff m(\lambda)\ \text{无重根} \]

（例：幂等阵 \(A^2 = A\) 的 \(m \mid \lambda^2 - \lambda\) 无重根 ⇒ 投影必可对角化，特征值只有 0/1——与高代 IV 例 3 的直和分解互为表里。）

4. Jordan 标准形（兜底定理）

Jordan 块 \(J_k(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & & \\ & \lambda & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & \lambda \end{pmatrix}\)（对角 \(\lambda\)、上对角 1）。

定理 复数域上任意方阵相似于唯一的（不计块序）Jordan 形 \(J = \mathrm{diag}(J_{k_1}(\lambda_1), \dots)\)。

结构解读：\(J_k(\lambda) = \lambda I + N\)，\(N\) 幂零（\(N^k = 0\)）——任何线性变换 = 对角部分（伸缩）+ 幂零部分（"错位推移"）。对角化失败的全部障碍被隔离进幂零部分。

计算实务（会算 \(\leq 4\) 阶即可）：特征值 \(\lambda\) 的块总数 = 几何重数；块的尺寸分布由秩序列 \(\mathrm{rank}(A - \lambda I)^j\) 决定（\(j\) 阶秩差数出 \(\geq j\) 阶块的个数）。

🔗 AI 衔接：矩阵幂的行为由最大特征值主宰（\(\|A^k\| \sim |\lambda_{\max}|^k\)）——RNN 梯度消失/爆炸的谱分析（ai 课 06 讲 \(\|W\|^{t-k}\)）、幂法求主特征向量（PageRank、数值页）都是特征值理论的直接变现。

5. 实用速查：矩阵幂三条路

场景 方法
可对角化 \(A^k = T\Lambda^k T^{-1}\)
不可对角化 Jordan：\(J_k(\lambda)^m\) 有显式二项式公式（\(\lambda I\) 与 \(N\) 交换）
只要低次信息 Cayley–Hamilton 降幂

6. 典型例题

例 1（完整对角化流程） \(A = \begin{pmatrix} 4 & 6 & 0 \\ -3 & -5 & 0 \\ -3 & -6 & 1 \end{pmatrix}\)。 解：\(\det(\lambda I - A) = (\lambda - 1)^2(\lambda + 2)\)。\(\lambda = 1\)：解 \((I - A)x = 0\) 得两个无关特征向量 \((-2,1,0)^\top, (0,0,1)^\top\)（几何重数 2 = 代数重数 ✓）；\(\lambda = -2\)：\((1,-1,1)^\top\)。可对角化，\(T\) 三列拼特征向量，\(T^{-1}AT = \mathrm{diag}(1,1,-2)\)。流程：特征多项式 → 逐特征值解齐次组 → 数无关向量个数做判据。

例 2（Fibonacci 通项） \(\begin{pmatrix} F_{n+1} \\ F_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} F_n \\ F_{n-1} \end{pmatrix}\)。特征值 \(\varphi = \frac{1+\sqrt5}{2},\ \psi = \frac{1-\sqrt5}{2}\)，对角化后取幂得

\[ F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt 5} \]

——"对角化解线性递推"的招牌演出。

例 3（C–H 降幂） \(A^2 = A + 2I\)（即 \(m(\lambda) \mid \lambda^2 - \lambda - 2 = (\lambda-2)(\lambda+1)\)，无重根 ⇒ 可对角化），求 \(A^{10}\) 关于 \(A, I\) 的表达。 解：设 \(\lambda^{10} = q(\lambda)(\lambda^2 - \lambda - 2) + a\lambda + b\)，代 \(\lambda = 2, -1\)：\(1024 = 2a + b,\ 1 = -a + b\) ⇒ \(a = 341, b = 342\)。故 \(A^{10} = 341A + 342 I\)。\(\blacksquare\)

最后一页：给空间装上"长度与角度"（内积），实对称矩阵的谱定理在此加冕，并连向机器学习的第一主力分解——SVD。