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偏微分 II · 特征线、行波与热核

前置：分离变量与初边值条件、多元微分。同一个初始扰动，可以原样搬运、分成两列行波，也可以立刻在整条直线上留下热尾。本页用明确的全直线模型比较这些差异，再说明边界与正则性如何改变结论。

学习层：扰动是“还没到”，还是“已经有尾巴”？

1. 一道先判断、后计算的谜题

把一小块初始信号放在原点。为了让“支撑在哪里”可见，固定使用非负的 tent 初值

\[ \varphi(x)=\max(1-|x|,0)= \begin{cases} 1-|x|,&|x|\le 1,\\ 0,&|x|>1, \end{cases} \qquad \psi(x)=0. \]

它连续、紧支撑于 \([-1,1]\)、非负且不恒为零。现在比较三条全直线模型：

\[ \begin{array}{c|c} \text{输运}&u_t+c u_x=0\\ \text{波动}&u_{tt}=a^2u_{xx},\quad u(x,0)=\varphi(x),\ u_t(x,0)=\psi(x)\\ \text{热}&u_t=\kappa u_{xx},\quad u(x,0)=\varphi(x) \end{array} \]

先不看图，预测固定点

\[ x_*=5,\qquad t_*=3,\qquad c=1,\quad a=1,\quad \kappa=1 \]

处三种解是“严格为 \(0\)”还是“严格为正”。关键不是小数显示成了什么，而是依赖区域和积分核的符号。

先在下面实验的预测门中提交三项判断。不要把“热尾巴可能很小”写成“等于零”：在本题的非负、非零 tent 条件下，热核在每个有限 \(x\) 处都严格为正。

2. 三个公式先放在一起

特征线给出输运解

\[ u_{\mathrm{tr}}(x,t)=\varphi(x-ct). \]

零初速度的一维波方程给出 d'Alembert 解

\[ u_{\mathrm{wave}}(x,t)=\frac12\varphi(x-at)+\frac12\varphi(x+at). \]

全直线热方程给出热核卷积

\[ u_{\mathrm{heat}}(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty} \varphi(y)G_\kappa(x-y,t)\,dy, \qquad G_\kappa(z,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi\kappa t}} e^{-z^2/(4\kappa t)},\quad t>0. \]

在默认点，前两式分别读成 \(\varphi(2)\) 与 \([\varphi(2)+\varphi(8)]/2\)，所以严格为 \(0\)。第三式只在 \([-1,1]\) 上有贡献；对 \(|y|<1\)，\(\varphi(y)>0\)，而 \(G_1(5-y,3)>0\)，故积分严格为正。

无 JavaScript 时的静态读法：初值是 \(\varphi(x)=\max(1-|x|,0)\)，固定观测点为 \(x_*=5\)。在 \(t=3,c=a=\kappa=1\) 时，输运为 \(\varphi(2)=0\)；零初速度波动为 \([\varphi(2)+\varphi(8)]/2=0\)；热解为

\[ \int_{-1}^{1}(1-|y|)\frac{e^{-(5-y)^2/12}}{\sqrt{12\pi}}\,dy>0. \]

答案揭晓后，实验可改变 \(t,c,a,\kappa\)，但三幅图继续使用同一固定坐标轴；下方的 Fourier 读数显示 \(\exp(-\kappa k^2t)\)。坐标轴若没有脚本也不影响上述严格结论。

3. 看图时要问的三个问题

  1. 信息从哪里来？ 输运只访问一条特征线，波动只访问一个依赖区间；热解把所有 \(y\) 都交给正的 Gaussian 权重。
  2. 零是结构结论还是数值舍入？ 紧支撑 tent 在特征线或依赖区间之外确实为零；热核尾部可能低于显示精度，但在本条件下数学上仍为正。
  3. 调参数改变了什么？ \(c\) 和 \(a\) 改变锥或平移速度，\(\kappa\) 改变热核的宽度；Fourier 中高频的衰减率则按 \(\kappa k^2\) 加速。

1. 输运方程：特征线是信息的轨道

1.1 全直线、常系数的严格推导

先明确模型边界：这里讨论的是全直线 \(x\in\mathbb R\)、常数速度 \(c\)、无源项，并给定初值 \(u(x,0)=\varphi(x)\) 的问题。若 \(\varphi\in C^1\) 可用经典链式法则；本页tent只有Lipschitz正则性，平移公式在折角外经典成立、全域按弱解成立。设终点为 \((x,t)\)，沿着参数 \(s\) 走曲线

\[ X(s)=x+c(s-t), \qquad X(t)=x,\quad X(0)=x-ct. \]

链式法则给出

\[ \frac{d}{ds}u(X(s),s)=u_t(X(s),s)+X'(s)u_x(X(s),s) =u_t+c u_x=0. \]

因此 \(u(X(s),s)\) 沿线守恒，比较 \(s=t\) 与 \(s=0\) 得

\[ \boxed{u(x,t)=\varphi(x-ct)}. \]

当 \(c>0\) 时图形向右搬运；\(c<0\) 时向左搬运；形状、幅值和所有 Fourier 模态的模长都不因输运而衰减。若 \(\operatorname{supp}\varphi\subset[-R,R]\)，则

\[ \operatorname{supp}u(\cdot,t)\subset[-R+ct,R+ct] \]

两端一起加上 \(ct\)，无论 \(c\) 正负，左端始终小于右端；速度符号只改变移动方向。

1.2 边界条件不能凭空消失

在半直线或有限区间上，特征线可能从边界进入计算域：这时必须给入流边界数据。例如 \(c>0\) 的区间问题需要在左端提供 \(u(0,t)\)；只给初值一般不能唯一决定后续解。变量系数 \(u_t+b(x,t)u_x=0\) 仍可在足够光滑时沿 \(X'(s)=b(X(s),s)\) 追踪，但特征线不再是平行直线，且系数、边界和源项会改变公式。

所以“有限传播”在本页的最干净版本，依赖的是全直线上的局部常系数模型与合适的初值；它不是任意 PDE、任意边界或非局部算子的通用口号。

2. 波动方程：依赖区间与两列行波

2.1 因式分解与 d'Alembert 公式

考虑全直线上的常系数 Cauchy 问题

\[ u_{tt}=a^2u_{xx},\qquad a>0,\qquad u(x,0)=\varphi(x),\quad u_t(x,0)=\psi(x). \]

若 \(\varphi,\psi\) 足够光滑，上式给出经典解；本页实验的 tent 在 \(x=-1,0,1\) 有折角，因此公式仍可按连续解/弱解理解，但不应把折角处的二阶导数当作普通函数使用。

算子分解为

\[ \partial_t^2-a^2\partial_x^2 =(\partial_t-a\partial_x)(\partial_t+a\partial_x). \]

令 \(\xi=x-at,\ \eta=x+at\)。在这两个坐标下方程变为 \(u_{\xi\eta}=0\)，故

\[ u(x,t)=F(x-at)+G(x+at). \]

初位移和初速度分别给出

\[ F(x)+G(x)=\varphi(x), \qquad -aF'(x)+aG'(x)=\psi(x). \]

对第二式积分并与第一式配对，得到

\[ \boxed{ u(x,t)=\frac{\varphi(x-at)+\varphi(x+at)}2 +\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\psi(y)\,dy }. \]

第一项是初位移拆成左右两列行波；第二项是初速度在依赖区间上的累计贡献。当 \(\psi=0\) 时，tent 初值恰好变成两个高度减半、速度分别为 \(\pm a\) 的复制品。

2.2 有限传播的精确含义

\((x,t)\) 处的波解只读取初值在

\[ I(x,t)=[x-at,x+at] \]

上的值。如果 \(\varphi\) 与 \(\psi\) 都支撑在 \([-R,R]\)，且 \(I(x,t)\cap[-R,R]=\varnothing\)，那么 \(u(x,t)=0\)。对于默认点，\(I(5,3)=[2,8]\)，它与 \([-1,1]\) 不交；又因为 \(\psi=0\)，波解严格为零。

依赖区间与初值支撑相交，只说明可能受到影响，并不保证解非零。特别是本例 \(\psi=0\)，只读取两个端点：当 \(at>1\) 时，两列tent之间有一个零值间隙，即使那里处于总传播锥内部。

输运脚点2、波动区间2到8避开初值支撑；热积分在负1到1内部为正
默认例题的几何账本。上方横轴是初值位置，下方横轴是积分变量；热图纵轴画的是被积函数，阴影面积才是观测值。

这个结论同样有边界：有限区间上的波会从边界反射或吸收，反射后的波仍有有限速度，但不能继续把无边界的 d'Alembert 公式直接套上去；变系数、外力和低正则初值则需要相应的能量解或弱解理论。全直线、常系数、给齐初值正是这里公式和依赖锥成立的假设。

3. 热方程：热核把局部初值变成全局尾巴

3.1 热核与卷积

在全直线上考虑

\[ u_t=\kappa u_{xx},\qquad \kappa>0,\qquad u(x,0)=\varphi(x). \]

点源初值 \(\delta_0\) 的基本解是

\[ G_\kappa(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi\kappa t}} \exp\!\left(-\frac{x^2}{4\kappa t}\right),\qquad t>0. \]

令 \(q=\kappa t\)。直接求导得到 \(G_t/G=-1/(2t)+x^2/(4\kappa t^2)\)、\(G_{xx}/G=x^2/(4q^2)-1/(2q)\)，所以 \(G_t=\kappa G_{xx}\)。换元 \(x=2\sqrt q\,z\) 归一化为高斯积分，给 \(\int Gdx=1\) 和二阶矩 \(2q\)。一般初值通过叠加得到

\[ u(x,t)=(G_\kappa(\cdot,t)*\varphi)(x) =\int_{\mathbb R}G_\kappa(x-y,t)\varphi(y)\,dy. \]

热核如何在 t→0 时恢复初值？

不能把 \(G(x,0)\) 当成普通函数代入。对本页连续有界的tent，写

\[ (G_t*\varphi)(x)-\varphi(x)=\int G_t(y)[\varphi(x-y)-\varphi(x)]dy. \]

先将积分分为 \(|y|<\delta\) 与外侧：内侧由一致连续性控制，外侧由高斯质量集中到原点控制。因此解一致趋于初值；对 \(1\le p<\infty\) 的 \(L^p\) 初值，可利用平移在 \(L^p\) 中的连续性证明相应范数收敛。对任意 \(L^\infty\) 初值，不能无条件声称同样的 \(L^\infty\) 范数收敛。

实验数值将tent在零点分成两个光滑积分区间，先分离高斯尾的公共指数，并按近端尾部的变化尺度预分段，再做有总工作预算的自适应Gauss积分。这样远尾不用两个接近数相减；图和观测点使用同一计算核。相邻细分的差给数值误差估计，不是严格误差证书，另有高精度参照核对。若正数低于浮点范围，账本显示其对数及“低于浮点范围”，不把数值零升级成数学零。

3.2 瞬时正性不是“每个初值都正”

对本页的假设：\(\varphi\) 非负、紧支撑、非零，且 \(t>0\)。由于 \(G_\kappa(x-y,t)>0\) 对每个有限的 \(x,y\) 都成立，而 \(\varphi\) 在一段正长度区间上为正，所以

\[ u(x,t)>0\qquad\text{对所有 }x\in\mathbb R. \]

这叫热方程在全直线上的瞬时正性或无限传播：不是说信息以无限大的物理速度传递，而是精确的 Gaussian 解没有紧支撑。若 \(\varphi\) 符号变化，正负部分可能在卷积中抵消，不能把“热解严格为正”无条件外推；若 \(\varphi\equiv0\)，解当然仍为零。

3.3 光滑化与最大值原理的适用域

若 \(\varphi\in L^1(\mathbb R)\)（或取有界、增长受控的初值并使用相应的热半群），则对任意 \(t>0\)，\(G_\kappa(\cdot,t)*\varphi\) 对 \(x\) 是 \(C^\infty\) 的：可以把 \(x\) 导数移到 Gaussian 上，因为每阶导数仍是可积的快速衰减函数。这个“立即光滑化”说的是正时间的全直线卷积，不是说 \(t=0\) 的初值突然变光滑，也不自动覆盖任意增长的分布或任意边界奇性。

最大值原理也要带着域和正则性读。若 \(Q=(\ell,r)\times(0,T]\)，\(u\in C^{2,1}(Q)\cap C(\overline Q)\) 且满足 \(u_t-\kappa u_{xx}=0\)，则最大值和最小值在抛物边界

\[ ([\ell,r]\times\{0\})\cup(\{\ell,r\}\times[0,T]) \]

上取得（强最大值原理还给出内部取到非平凡极值时的刚性）。全直线问题要额外要求有界性或合适的增长控制，才能用截断区间取极限。最大值原理限制的是极值如何传播，并不等于符号变化的初值会被改造成正函数。

4. Fourier 视角：三种传播的频率账本

取 Fourier 变换约定

\[ \widehat f(k)=\int_{\mathbb R}f(x)e^{-ikx}\,dx. \]

对热方程，\(\widehat{u_{xx}}=-k^2\widehat u\)，所以每个频率独立满足

\[ \partial_t\widehat u(k,t)=-\kappa k^2\widehat u(k,t), \qquad \boxed{\widehat u(k,t)=e^{-\kappa k^2t}\widehat\varphi(k)}. \]

因此 \(k=0\) 的总质量不衰减，高频 \(|k|\) 越大衰减越快；实验中的“Fourier 模态衰减”就是

\[ \exp(-\kappa k^2t). \]

完整的波频率解为

\[ \widehat u(k,t)=\cos(akt)\widehat\varphi(k) +\frac{\sin(akt)}{ak}\widehat\psi(k), \]

在 \(k=0\) 处将第二项的因子连续定义为 \(t\)。本页 \(\psi=0\) 才能只留余弦项；它的模长可随时间起伏，守恒的是包含速度的波能量。本页tent的 Fourier 变换为 \([\sin(k/2)/(k/2)]^2\)，零频取1；频率表显示的是传播乘子，实际 \(\widehat u\) 还需乘这个初值频谱。

对照三种因子：输运是 \(e^{-ickt}\)，模长为 \(1\)，只积累相位；波动的模态是 \(\cos(akt)\) 与 \(\sin(akt)\) 的振荡组合，不发生热式单调衰减；热方程是 \(e^{-\kappa k^2t}\)，把细节按 \(k^2\) 的速度抹掉。

5. 与扩散模型的边界：相关，但不能偷换

热核与布朗运动确实相连：无漂移、常数各向同性噪声的前向 SDE

\[ dX_t=\sqrt{2\kappa}\,dW_t \]

的密度满足 \(p_t=\kappa p_{xx}\)。但一般扩散模型的前向过程可以有时间表、漂移、状态依赖扩散系数或在高维潜空间中运行；它不总是一个自治热方程。若前向 SDE 为

\[ dX_t=b(X_t,t)\,dt+\sigma(X_t,t)\,dW_t, \]

密度遵循相应的 Fokker--Planck 方程，而不是自动等于 \(p_t=\kappa\Delta p\)。

反向生成过程也不能写成“把热方程简单倒放”。反向时间的随机过程需要当前分布的 score \(\nabla_x\log p_t(x)\)（一般系数还涉及扩散张量与时间约定），而这个 score 由数据或模型学习。数学上的逆热问题病态，是因为反演 Fourier 因子要乘上 \(e^{+\kappa k^2t}\)，高频噪声会被巨大放大；这不等于生成模型在逐点求一个热方程的逆函数，生成过程依靠的是分布先验与学习到的 score。

6. 典型例题与迁移题

例 1（特征线） \(u_t-2u_x=0\)、\(u(x,0)=1/(1+x^2)\)。这里 \(c=-2\)，所以 \(u(x,t)=1/[1+(x+2t)^2]\)：峰值向左移动，宽度和高度不变。

例 2（依赖区间） 若波方程速度 \(a=1\)，初值与初速度都支撑在 \([-1,1]\)，则 \((5,3)\) 的依赖区间为 \([2,8]\)，解为 \(0\)。同一 tent 初值放入热方程时，卷积核在 \([-1,1]\) 上始终正，解为正。

例 3（边界） 半直线 \(x>0\) 的热方程若给 Dirichlet 条件 \(u(0,t)=0\)，可对初值做奇延拓再用全直线热核，等价的半直线核为 \(G_\kappa(x-y,t)-G_\kappa(x+y,t)\)（\(x,y>0\)）；在 \(x=0\) 两项相消。Neumann条件对应偶延拓和加号核，其法向导数在边界相消。镜像法改变的是边界问题的核，不能拿全直线的“无限传播”一句话替代边界条件。

迁移题

  1. 证明 \(u_t+cu_x=0\) 的 \(L^p(\mathbb R)\) 范数在 \(1\le p\le\infty\) 下保持不变；再说明热方程为什么只保证 \(L^\infty\) 范数不增而不是保持不变。
  2. 将 tent 换成一个有正有负、积分为 \(0\) 的紧支撑函数。哪一步正性证明失效？能否构造某个观测点让热卷积恰好为 \(0\)？
  3. 从 \(\widehat u(k,t)=e^{-\kappa k^2t}\widehat\varphi(k)\) 解释逆热问题的条件数为什么随最高频率指数爆炸，并写出一个必须的正则化想法。
迁移题参考答案
  1. 输运解为 \(u(x,t)=\varphi(x-ct)\)。平移不改变 Lebesgue 测度，所以 \(1\le p<\infty\) 时换元 \(y=x-ct\) 得 \(\|u(\cdot,t)\|_p^p=\int|\varphi(y)|^pdy\)；\(p=\infty\) 时本质上确界也不变。热方程则是 \(u=G_t*\varphi\)，其中 \(G_t\ge0\) 且 \(\|G_t\|_1=1\)，Young 不等式给 \(\|u\|_p\le\|\varphi\|_p\)。通常是收缩而非守恒：例如非恒定初值的峰值会被平均压低；对任意 \(\varphi\in L^1\)，有符号总量 \(\int u=\int\varphi\) 都由 Fubini 定理和 \(\int G_t=1\) 保持；若初值还非负或非正，这也同时是 \(L^1\) 范数守恒。变号初值的正负部分可能相消，\(\|u\|_1\) 只保证不增。
  2. 正性证明在“被积函数 \(G_t(x-y)\varphi(y)\) 处处非负”这一步失效。可取非零奇函数 \(\varphi\)，令其紧支撑且积分为 \(0\)；因 \(G_t\) 为偶函数，\((G_t*\varphi)(0)=0\)。这说明无限传播不等于解在每点都严格为正，后者需要非负且非零等条件。
  3. 截止到最高频率 \(K\) 时，反演要把第 \(k\) 模态乘以 \(e^{\kappa k^2t}\)，最坏放大因子约为 \(e^{\kappa K^2t}\)；数据中的微小高频噪声会压过信号。一个基本修复是谱截断，只反演 \(|k|\le K_c\)；也可用 Tikhonov 正则化，以拟合终态和惩罚初态粗糙度之间的权衡替代裸逆算子。\(K_c\) 或正则化强度必须随噪声水平选择。

本页的主线：双曲型方程先问“依赖锥到没到”，抛物型方程先问“卷积核的符号与频率衰减是什么”。下一步可把这些全直线公式带到有界域的谱展开与数值离散。

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