数分 III · 一元积分学

两个出身完全不同的概念——求原函数（微分的逆）与求面积（分割求和取极限）——被微积分基本定理焊在一起，这是整门课最漂亮的会师。本页四块：不定积分技巧、定积分理论（可积性）、基本定理、反常积分。

先修与去向：极限与一致连续、一元微分与中值定理。积分与零测集的完整联系见测度和Lebesgue 积分，数值误差见求积与 ODE。

1. 不定积分

定义 \(F' = f\) 则称 \(F\) 为 \(f\) 的原函数，\(\int f\,dx = F(x) + C\)。连续函数必有原函数（由基本定理保证）；在区间内部含第一类间断点的函数无原函数（导函数在区间内部若有间断只能是第二类间断——Darboux 定理：导函数具介值性）。

基本积分表（默写级）：幂、指、对、三角、\(\int \frac{dx}{1+x^2} = \arctan x\)，\(\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x\)，\(\int \sec x\,dx = \ln|\sec x + \tan x|\)，\(\int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|\ (a\ne0)\)。

这些原函数公式在避开奇点的每个连通开区间上使用，积分常数可因区间而异；根式代换还要选定合法范围与反函数分支。

三大技巧：

1. 第一换元（凑微分）：\(\int f(\varphi(x))\varphi'(x)dx = \int f(u)du\)——识别"谁的导数在旁边"；
2. 第二换元：根式代换（\(\sqrt{a^2 - x^2} \to x = a\sin t\)；\(\sqrt{a^2 + x^2} \to x = a\tan t\)；\(\sqrt{x^2 - a^2} \to x = a\sec t\)）、万能代换 \(t = \tan\frac x2\)（三角有理式的最后手段）；
3. 分部积分 \(\int u\,dv = uv - \int v\,du\)：选 \(u\) 的优先级"反对幂指三"（反三角/对数当 \(u\)，指数/三角进 \(dv\)）；循环型（\(e^x\sin x\)）两次分部解方程。

有理函数积分：多项式除法降次 → 部分分式分解（真分式按 \(\frac{A}{(x-a)^k}\) 与 \(\frac{Bx+C}{(x^2+px+q)^k}\) 拆）→ 逐项积分。理论意义：有理函数的原函数必是初等函数；而 \(\int e^{-x^2}dx,\ \int \frac{\sin x}{x}dx\) 等不是初等函数——"积不出来"是定理不是无能。

2. 定积分：理论

定义（Riemann 积分） 分割 \(a = x_0 < \cdots < x_n = b\)，任取 \(\xi_i \in [x_{i-1}, x_i]\)，若 Riemann 和 \(\sum f(\xi_i)\Delta x_i\) 在 \(\|\Delta\| = \max \Delta x_i \to 0\) 时极限存在且与分割、取点无关，记为 \(\int_a^b f\,dx\)。

可积性理论（Darboux 刻画）：固定 \(a<b\)，设 \(f\) 在 \([a,b]\) 有界。上和 \(S = \sum M_i \Delta x_i\)、下和 \(s = \sum m_i \Delta x_i\)。

可积函数类：连续函数；只有有限个间断点的有界函数；单调函数。不可积代表：Dirichlet 函数（处处振幅为 1）。🔗 实变页的 Lebesgue 准则给出终极刻画：可积 \(\iff\) 有界且间断点集为零测集。

性质：线性、区间可加、保序、绝对值不等式 \(\left|\int f\right| \leq \int |f|\)、积分第一中值定理（\(f\) 连续：\(\int_a^b f g\,dx = f(\xi)\int_a^b g\,dx\)， \(g\) Riemann 可积且不变号，\(\xi\in[a,b]\)）。

3. 微积分基本定理

定理（变上限积分） \(f \in C[a,b]\)，则 \(\Phi(x) = \int_a^x f(t)\,dt\) 在 \(x\in(a,b)\) 可导且 \(\Phi'(x) = f(x)\)；端点对应单侧导数。 证明关键步：\(\dfrac{\Phi(x+h) - \Phi(x)}{h} = \dfrac1h\int_x^{x+h} f(t)\,dt = f(\xi_h)\)（积分中值定理），\(h \to 0\) 时 \(\xi_h \to x\)，连续性收尾。——连续函数的原函数被明确造了出来。

定理（Newton–Leibniz） \(f \in C[a,b]\)，\(F\) 是其任一原函数：

思路：\(F\) 与 \(\Phi\) 差常数，代端点。求导链式扩展（考试高频）：\(\dfrac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt = f(v)v' - f(u)u'\)。

定积分技巧补充：换元要同步换限；对称性（奇函数对称区间为零）；\(\int_0^{\pi/2} f(\sin x)dx = \int_0^{\pi/2} f(\cos x)dx\) 类的区间再现代换 \(x \to a+b-x\)；Wallis 公式 \(\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx\) 递推。

4. 反常积分

若有内部奇点或两个无穷端点，须拆开并要求各段独立极限收敛；不能用正负无穷相消。

两类：无穷区间 \(\int_a^{+\infty}\) 与瑕积分（被积函数在瑕点无界），都定义为常义积分的极限。

判敛工具箱（以 \(\int_a^{+\infty} f\,dx\)，\(f \geq 0\) 为例）：

• 标尺：\(\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^p}\) 收敛 \(\iff p > 1\)；瑕积分 \(\int_0^1 \frac{dx}{x^p}\) 收敛 \(\iff p < 1\)（两个 \(p\) 判据方向相反，混淆高发区）；
• 比较判别法及极限形式（与标尺比阶）；
• 绝对收敛 ⇒ 收敛；条件收敛的代表 \(\int_1^{+\infty}\frac{\sin x}{x}dx\)（收敛但不绝对收敛）；
• Dirichlet 判别法：\(\int_a^A f\) 一致有界 + \(g\) 单调趋 0 ⇒ \(\int fg\) 收敛（\(\frac{\sin x}{x}\) 即由此）；Abel 判别法：\(\int f\) 收敛 + \(g\) 单调有界。

名积分：\(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}\)（🔗 高斯分布归一化，概率页与 ai 课处处要用；证明用二重积分极坐标，数分 VI）。

5. 定积分应用公式表

面积取几何非负量；弧长与曲面积分假设分段 \(C^1\)、参数轨迹不重复计数。下表柱壳法采用 \(0\le a<b\)、\(f\ge0\) 的单侧区域；跨过旋转轴时应分区并检查重叠。绕 \(x\) 轴的曲面半径是 \(|f|\)。

6. 典型例题

例 1（分部循环） \(I = \int e^x \cos x\,dx\)：两次分部得 \(I = e^x(\sin x + \cos x) - I\)，故 \(I = \frac{e^x(\sin x + \cos x)}{2} + C\)。

例 2（区间再现） 求 \(\int_0^\pi \dfrac{x\sin x}{1 + \cos^2 x}dx\)。 解：代换 \(x \to \pi - x\) 得 \(I = \int_0^\pi \frac{(\pi - x)\sin x}{1+\cos^2 x}dx\)，两式相加：\(2I = \pi\int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x}dx = \pi\big[-\arctan(\cos x)\big]_0^\pi = \frac{\pi^2}{2}\)，\(I = \frac{\pi^2}{4}\)。

例 3（判敛） 讨论 \(\int_0^{+\infty} \dfrac{dx}{x^p(1+x)}\) 的敛散。 解：拆成 \(\int_0^1 + \int_1^\infty\)。\(0\) 端被积 \(\sim \frac{1}{x^p}\)，要 \(p < 1\)；\(\infty\) 端 \(\sim \frac{1}{x^{p+1}}\)，要 \(p + 1 > 1\) 即 \(p > 0\)。故 \(0 < p < 1\) 时收敛。"两端分开、各与标尺比阶"是反常积分判敛的标准流程。\(\blacksquare\)

继续阅读

Jiří Lebl：Basic Analysis I 的 Riemann 积分与微积分基本定理章节给出有界性、Darboux 和和取点极限之间的完整联系。读时逐项核对假设，再把本页 Thomae 的有限高点估计与一般可积性判据连接。

下一页：把"无限求和"严格化——级数。一致收敛是全页的分水岭概念。