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常微分 I · 一阶方程与解的理论

ODE 是"用变化率描述世界"的语言。本页两部分：一阶方程的求解工具箱（五大类型，按识别→套路走），以及理论基石存在唯一性定理——它顺手兑现了数值 III 承诺过的压缩映像思想。

1. 求解工具箱（识别类型是全部功夫）

类型	特征	解法
可分离	\(y' = f(x)g(y)\)	\(\int\frac{dy}{g(y)} = \int f(x)dx\)
齐次	\(y' = \varphi(y/x)\)	换元 \(u = y/x\) → 可分离
一阶线性	\(y' + p(x)y = q(x)\)	积分因子 \(\mu = e^{\int p\,dx}\)
Bernoulli	\(y' + py = qy^n\)	换元 \(z = y^{1-n}\) → 线性
恰当方程	\(M dx + N dy = 0\)，\(\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}\)	求势函数 \(u\)：\(du = 0 \Rightarrow u = C\)

一阶线性的通解公式（用得最多，值得记结构而非背式）：两边乘 \(\mu = e^{\int p dx}\) 后左边恰是 \((\mu y)'\)：

\[ y = e^{-\int p\,dx}\Big(\int q\, e^{\int p\,dx}\,dx + C\Big) \]

结构读法：通解 = 齐次通解 + 非齐次特解——线性方程的普适结构（下一页高阶版、高代线性方程组同构）。恰当方程不恰当时找积分因子（只依赖 \(x\) 或 \(y\) 的两个判别式，查表级知识）。

2. 存在唯一性定理（理论基石）

定理（Picard–Lindelöf） 初值问题 \(y' = f(x, y),\ y(x_0) = y_0\)：若 \(f\) 连续且关于 \(y\) 满足 Lipschitz 条件（\(|f(x, y_1) - f(x, y_2)| \leq L|y_1 - y_2|\)），则局部存在唯一解。

证明思路（三步，泛函 I 将正式收编）：1. 初值问题 ⟺ 积分方程 \(y(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t, y(t))dt\)；2. 右端定义算子 \(T\)，在小区间上 \(T\) 是压缩映射（Lipschitz 常数 × 区间长 < 1）；3. 压缩映像原理给唯一不动点——Picard 迭代 \(y_{n+1} = T y_n\) 收敛到解（还是可计算的构造性证明，数值 III 不动点迭代的老家）。

唯一性失效的名例：\(y' = \sqrt{|y|},\ y(0) = 0\)——\(y \equiv 0\) 与 \(y = x^2/4\) 都是解（\(\sqrt{|y|}\) 在 0 处不满足 Lipschitz：导数无界）。物理读法：不满足 Lipschitz 的系统"同一初态可有多种未来"——决定论失效的数学刻画。

解的延拓：局部解可延拓到"跑出定义域或爆破"为止；\(y' = y^2\) 的解 \(y = \frac{1}{C - x}\) 在有限时间爆破——非线性方程解的寿命可以有限（与线性方程全局存在对照）。

3. 定性预览：不解方程看解

方向场与解曲线 — 图 1.1方向场把每点的斜率 \(y'=f(x,y)\) 画成小箭头，解曲线处处与箭头相切——不解方程也能看出解的走向。

很多方程解不出，但方向场（每点画斜率 \(f(x,y)\) 的小箭头）与平衡点（\(f = 0\) 的常数解）已透露大局。一维自治方程 \(y' = f(y)\)：平衡点处 \(f'(y^*) < 0\) 稳定（扰动衰减）、\(> 0\) 不稳定——第三页稳定性理论的一维预演。Logistic 方程（人口模型，建模页主角）：

\[ y' = ry\Big(1 - \frac{y}{K}\Big) \]

平衡点 \(0\)（不稳）与 \(K\)（稳，环境容量）——不用解方程就知道"任何正初值都趋于 \(K\)"；可分离法也能显式解出 S 形曲线，两条路互相印证。

🔗 衔接：梯度流 \(x' = -\nabla f(x)\) 是"连续时间的梯度下降"（优化 II——学习率 \(\to 0\) 的极限），平衡点=驻点、稳定性=极小性；数值解法（Euler/RK4）在数值 IV；概率版（加噪声的 ODE = SDE）在随机过程 IV 与扩散模型（comfy 课 02）。

4. 典型例题

例 1（一阶线性全流程） \(y' + \frac{y}{x} = \frac{\sin x}{x}\)：\(\mu = e^{\int dx/x} = x\)，\((xy)' = \sin x\) ⇒ \(y = \frac{C - \cos x}{x}\)。

例 2（换元识别） \(y' = \frac{y}{x} + \tan\frac{y}{x}\)：齐次型，\(u = y/x\) 得 \(x u' = \tan u\)，分离得 \(\sin u = Cx\)，即 \(\sin\frac{y}{x} = Cx\)。

例 3（Picard 迭代亲手转两圈） \(y' = y,\ y(0) = 1\)：\(y_0 = 1\)，\(y_1 = 1 + \int_0^x 1\,dt = 1 + x\)，\(y_2 = 1 + x + \frac{x^2}{2}\)，……——迭代逐项长出 \(e^x\) 的 Taylor 级数。存在性证明与幂级数解法在此握手。\(\blacksquare\)

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