偏微分 I · 三大方程与分离变量法

前置：Fourier级数、高阶线性ODE、Hilbert空间正交投影。先明确方程、边界与初值，再把同一组空间模态送进热、波和Laplace三种模型；每次对照都要分清有限投影与完整解。

1. 分类先看主部，适定性还要看数据空间

在两个独立变量中，实二阶主部 \(Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}\) 的矩阵为 \(\begin{pmatrix}A&B\\B&C\end{pmatrix}\)。在该点主部非零的前提下，\(B^2-AC\) 的正、负、零分别对应双曲、椭圆和退化的抛物型候选；变系数方程的型可以随位置变化。仅有判别式为零还不能保证它具有标准前向热方程的演化结构，低阶时间项及其符号也要核对。

边界条件分别可给值（Dirichlet）、法向导数或通量（Neumann）、两者组合（Robin）。适定性要求存在、唯一和对数据连续依赖；“连续”必须指定范数与时间方向。前向热方程在 \(L^2\) 中压缩误差，逆向恢复初态却可能把微小高频噪声放大，这是热逆问题综合项目的入口。

无限传播速度是理想热方程在连通介质中的性质，不是声波或真实材料任意短尺度的普遍规律。Laplace 方程也不能任意同时指定全边界的值和法向导数；数据可能互不相容。

2. 分离变量为什么会产生离散模态？

考虑均匀细棒的温度偏差

取非零乘积试探 \(u=X(x)T(t)\)，在非零区域代入有 \(T'/(\kappa T)=X''/X=-\lambda\)。更稳妥的全域说法是要求 \(-X''=\lambda X\)、\(T'=-\kappa\lambda T\)；最后的解跨过 \(X\) 的零点仍成立，不需要在节点除以零。

两端为零时，分部积分给

\(\lambda=0\) 迫使 \(X\) 常数，再由边界得零解；故非平凡模态有 \(\lambda>0\)。解 \(X''+\lambda X=0\) 并配两端边界，得到

不同特征值的正交性也来自分部积分：将 \((-X_m'')X_n-X_m(-X_n'')\) 积分，边界项为零，于是 \((\lambda_m-\lambda_n)\int X_mX_n=0\)。找到正交函数还不等于证明完备。 在有限区间上，Dirichlet 算子 \(-d^2/dx^2\) 是无界自伴算子，其逆作为 \(L^2\) 上的算子紧且自伴，才可借紧自伴谱定理建立相应完备基；不能把微分算子本身直接称为紧算子。

时间因子为 \(e^{-\kappa\lambda_n t}\)。利用 \(\int_0^L X_n^2dx=L/2\)，初值的正交投影给

若 \(\varphi\in L^2(0,L)\)，先把级数理解为 \(L^2\) 解，\(t\downarrow0\) 时在 \(L^2\) 意义恢复初值。对任意 \(t\ge\delta>0\)，指数压过求导引入的任意多项式频率因子，由 Cauchy–Schwarz 可控制各阶导数级数，因此正时间可以逐项求导。若要求连同角点 \((0,0),(L,0)\) 的经典连续解，还需初值与边界兼容；更高正则性需要更多兼容条件。Lebl，热方程与分离变量

误差和唯一性从同一个能量式读出

对光滑的齐次边界解，令 \(H=\frac12\int_0^Lu^2dx\)，则

两解之差若初值为零，这个式子迫使其一直为零，给出唯一性；对弱解可由逼近得到相应估计。Poincaré 不等式又给 \(H'\le-2\kappa\lambda_1H\)，所以 \(\|u(t)\|_2\le e^{-\kappa\lambda_1t}\|\varphi\|_2\)。长期主导项是初值实际激发的最小模态；若 \(b_1=0\)，不能仍宣称第一模态必然统治。

3. 本例的系数、尾项和图形如何复算？

设 \(I_n=\int_0^\pi x(\pi-x)\sin(nx)dx\)。两次分部积分，第一步端点因 \(\varphi=0\) 消失，第二步的正弦端点项也消失，留下

所以 \(b_n=4(1-(-1)^n)/(\pi n^3)\)：奇数系数 \(8/(\pi n^3)\)，偶数零。Parseval 给出本例的两个解析总量：

对热或零初速波模型，当前位移截断的平方误差为

实验从 \(N+1\) 直接累加至 \(M=512\)，不以两个几乎相等的总量相减。对剩余项使用保守界

这里连偶数也加入了上界，因此无需猜测遗漏奇数项的大小。有限尾和开平方给下端，有限尾和加上此界再开平方给上端；端点仍用浮点计算，图中相同的舍入文字不表示数学区间宽度严格为零。极小热尾通过对数求和后再开方，避免平方先下溢。

金线是精确初值 \(x(\pi-x)\)（Laplace 模式则为顶边 \(\sin x\)），不是高阶截断偷偷冒充的真解；它用于显示演化与初态差异，蓝金线差并不是当前截断误差。当前误差读上述尾项账本。

4. 换方程、换边界，各会改变什么？

波动：位移和速度一起守恒

固定端波方程 \(u_{tt}=c^2u_{xx}\)，初位移 \(\varphi\)、初速 \(\psi\)，展开为

其中 \(b_n,d_n\) 分别是两个初值的正弦系数。若 \(\varphi\in H_0^1(0,L)\)、\(\psi\in L^2(0,L)\)，可按能量解理解该级数；波演化不像热演化那样自动平滑初值，要得到更高阶经典导数须另加正则性和兼容条件。实验只取 \(c=1,L=\pi,\psi=0\)。单看位移 \(L^2\) 范数可以起伏；能量应为 \(E=\frac12\int(u_t^2+c^2u_x^2)dx\)，由方程分部积分得 \(E'=c^2[u_tu_x]_0^L=0\)。固定边界令端点速度为零。有限模态同样精确守恒，实验能量范数尾用解析总能量 \(\pi^3/6\) 减去保留模态的能量，而非把512项称为无限总量。

Laplace：空间渗透，不是时间演化

在矩形 \(0<x<L,0<y<H\)，三边零、顶边 \(g(x)\)。若 \(g_n\) 是顶边正弦系数，则

分母确保顶边恢复 \(g\)；它不能被略掉后仍把 \(g_n\) 称为同一个 Fourier 系数。要求四个角连续还需顶边数据与两侧零值兼容。本实验 \(L=H=\pi,g=\sin x\)，只有第一模态被激发，故 N≥1 已经是完整解；其余传递因子虽然可计算，却对应零系数。中线衰减为 \(\sinh(\pi/2)/\sinh\pi=1/[2\cosh(\pi/2)]\)。

Neumann 边界会多一个零模态

绝热热边界 \(u_x(0,t)=u_x(L,t)=0\) 给余弦系，包含常数 \(n=0\)、特征值零。平均温度守恒，高频衰减后通常趋向初始平均值，不能照搬 Dirichlet 的“趋零”。在连通光滑有界域上，稳态纯 Neumann 问题 \(\Delta u=f,\partial_nu=g\) 必须满足 \(\int_\Omega f=\int_{\partial\Omega}g\)，且解只在加常数意义下唯一；这由散度定理和齐次能量法直接看出。

非齐次边界会带来新的源项

对热方程 \(u_t=\kappa u_{xx}+s\)，边界值为 \(a(t),b(t)\) 时，可取 \(\ell(x,t)=(1-x/L)a(t)+(x/L)b(t)\)，令 \(v=u-\ell\)。虽然 \(v\) 的边界齐次，方程却变为 \(v_t=\kappa v_{xx}+s-\ell_t\)，初值也要减去 \(\ell(x,0)\)。源项展开为 \(f_n(t)\) 后，模态满足

只有边界随时间不变时，上面这个线性提升的 \(\ell_t\) 才消失。“减一个函数”不能把它产生的项忘掉。

5. 迁移与核对

1. 固定端热方程 \(L=\pi,\kappa=1\)，初值 \(\sin3x\)。写解和 \(L^2\) 衰减率，解释第一模态为什么没有主导。再把边界改为绝热，初值改为 \(2+\cos3x\)，长期极限是什么？
2. 本例抛物线初值的 \(N=1\) 初始 \(L^2\) 尾与零初速波能量范数尾分别是多少？它们为何不是同一种误差？
3. 求 \(u_t=u_{xx}\)、\(u(0,t)=t,u(\pi,t)=0\) 经线性边界提升后的源项和正弦系数。同时求矩形顶边为 \(\sin3x\)、其他三边零时中线的衰减因子。

继续：特征线、行波与热核；从温度读数反推初态。