实变 I · Lebesgue 测度

实变函数论的出发点是 Riemann 积分的三宗罪：太多函数不可积（Dirichlet 函数）、积分与极限交换要苛刻的一致收敛（数分 IV 的痛）、\(\int\) 与 \(\lim\) 的理论地基不稳。Lebesgue 的方案先解决一个更基本的问题："集合的长度"到底怎么定义？——这就是测度论，也是概率公理化（概率 I 的 σ-代数）的真正老家。

1. 外测度：给一切集合先估个长度

定义（Lebesgue 外测度） 用可数个开区间覆盖 \(E\)，取总长的下确界：

性质：非负、单调、次可加（\(m^*(\cup E_k) \leq \sum m^*(E_k)\)）、区间的外测度=长度、平移不变。

立竿见影的收获：可数集测度为零（每点罩 \(\frac{\varepsilon}{2^k}\) 的小区间）——有理数集 \(\mathbb{Q}\) 长度为 0；更妙的是存在不可数的零测集（Cantor 集：不可数却零测——"多"与"长"是两回事）。

2. 可测集：外测度在哪里变成真测度

外测度对任意集合有定义，但只有次可加没有可加——要可列可加（概率公理的第三条！）必须筛选出"行为好"的集合。

Carathéodory 判据：\(E\) 可测 \(\iff\) 它把任何集合切得"不多不少"：

定理 可测集全体构成 σ-代数（对补、可数并/交封闭），\(m^*\) 限制其上是测度（可列可加）；区间、开集、闭集、Borel 集全可测。——概率 I 那个"事件域"的一般理论在此落成：概率空间就是全测度为 1 的测度空间，概率论从此是测度论的分支（Kolmogorov 1933 的实质）。

不可测集存在（Vitali，概率 I 承诺的兑现）：在 \([0,1]\) 上按"差为有理数"分等价类、每类选一点（选择公理）成集 \(V\)；\(V\) 的可数个平移拷贝不交且并起来夹在 \([0,1]\) 与 \([-1,2]\) 之间——\(V\) 若有测度 \(c\)，则 \(1 \leq \sum c \leq 3\)：\(c = 0\) 给 \(\leq 0\)、\(c > 0\) 给 \(\infty\)，皆矛盾。\(\blacksquare\) "给所有子集定义长度"在数学上不可能——σ-代数不是官僚主义，是必需品。

3. 可测函数与"几乎处处"

定义 \(f\) 可测 \(\iff\) 一切 \(\{x: f(x) > a\}\) 可测（与概率 II 随机变量的定义逐字相同——随机变量就是概率空间上的可测函数，两门课在此正式合流）。

封闭性（可测函数的皮实）：四则、复合（外层连续）、以及关键的——逐点极限仍可测（\(\sup, \inf, \limsup, \lim\) 全封闭；对比：连续函数的逐点极限可以不连续——数分 IV 的痛点，可测性没有这个软肋，这是 Lebesgue 理论极限定理漂亮的底层原因）。

几乎处处（a.e.）：性质在零测集之外成立。测度论的口头禅——Dirichlet 函数 a.e. 等于 0；概率论的"以概率 1"（概率 V 强大数定律）是同一概念的方言。

逼近结构（三层阶梯，证明的通用脚手架）：可测函数 = 简单函数（可测集示性函数的有限线性组合 \(\sum a_i \mathbb{1}_{E_i}\)）的逐点极限；非负可测函数可被简单函数单调逼近——下一页积分的定义就踩着这级台阶。

4. 典型例题

例 1（零测集操作） 证明 \([0,1]\) 中无理数集测度为 1：\(m([0,1]) = m(\mathbb{Q}\cap[0,1]) + m(\text{无理数}) = 0 + m(\text{无理数})\)。——"满满一区间几乎全是无理数"的严格版。

例 2（Cantor 集测度） 每步挖掉中间三分之一：剩余长度 \(\big(\frac23\big)^n \to 0\) ⇒ \(m(C) = 0\)；但 \(C\) 与 \(\{0,2\}^{\mathbb N}\) 一一对应——不可数。不可数 ≠ 正测度。

例 3（可测函数判定） Dirichlet 函数 \(\mathbb{1}_{\mathbb{Q}}\)：\(\{x : f > a\}\) 只有 \(\varnothing, \mathbb{Q}, \mathbb{R}\) 三种可能——全可测 ⇒ 可测函数。Riemann 世界的头号刺头，在可测世界是最温顺的简单函数。\(\blacksquare\)

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