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常微分 III · 线性系统与稳定性
一个系统最终回到原点，并不表示它一路都在靠近原点。线性系统把这个差别说得很精确：特征值控制长期命运，特征向量的几何还会控制途中怎样绕行、拉伸和暂时放大。
学习层：同样都“稳定”，为什么一杯水会先晃得更厉害？
1. 具体谜题：最终回去，途中会不会越走越远？
设状态满足 \(\dot{\mathbf x}=A\mathbf x\)。下面三句话看起来相近，其实层级不同：
- 每条轨线最终都趋于原点；
- 从足够近处出发，轨线永远不会跑出指定邻域；
- 欧氏长度 \(\|\mathbf x(t)\|_2\) 从一开始就单调下降。
第一句是渐近吸引，第二句是 Lyapunov 稳定，二者合起来才是渐近稳定；第三句更强。非正规矩阵可以同时满足前两句，却让某些初值先被拉长，再缓慢衰减。
2. 先预测：不要先看相图
依次选择“稳定结点”“鞍点”“稳定焦点”“中心”和“非正规瞬态”预设，先判断：
- 所有解是否趋于零？
- 原点是否 Lyapunov 稳定？
- 是否可能出现 \(\|\mathbf x(t)\|_2>\|\mathbf x(0)\|_2\)？
特别留意中心和零实部 Jordan 块：它们的特征值实部都不为正，却不能据此得到相同结论。
3. 最小模型：长期、局部与瞬态三本账
常系数线性系统的解是
对实 \(2\times2\) 矩阵，记 \(\tau=\operatorname{tr}A\)、\(\Delta=\det A\)、\(D=\tau^2-4\Delta\)。特征值为
二维连续系统是 Hurwitz 的充要条件为 \(\tau<0\) 且 \(\Delta>0\)，等价于全部特征值实部严格为负。此时原点全局渐近稳定。若 \(D<0\)，轨线旋转；若 \(D>0\)，看见的是实特征方向；若 \(\Delta<0\)，一正一负，必为鞍点。
但长度是否立即下降，要看对称部分
只有对称部分半负定，欧氏长度才对所有初值不增。它不是 Hurwitz 稳定的必要条件。
4. 动手验证：同时看相图和长度账本
实验固定一个二维初值，直接计算 \(e^{At}\mathbf x_0\)。左图显示轨线与方向场，右图显示 \(\|\mathbf x(t)\|_2/\|\mathbf x_0\|_2\)；账本另列迹、行列式、判别式、特征值、最大放大和最终状态。改变预设或初始方向，核对自己的预测。
无 JavaScript 时的静态读法：以下结论已经覆盖实验的关键边界。
| 预设矩阵 | 特征值 | 长期行为 | 欧氏长度 |
|---|---|---|---|
| \(\begin{pmatrix}-1&0\\0&-2\end{pmatrix}\) | \(-1,-2\) | 全部趋零 | 单调下降 |
| \(\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\) | \(1,-1\) | 鞍点，不稳定 | 某些方向增长 |
| \(\begin{pmatrix}-0.25&-1\\1&-0.25\end{pmatrix}\) | \(-0.25\pm i\) | 螺旋趋零 | 单调下降 |
| \(\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\) | \(\pm i\) | Lyapunov 稳定但不吸引 | 保持不变 |
| \(\begin{pmatrix}-1&8\\0&-2\end{pmatrix}\) | \(-1,-2\) | 最终趋零 | 某些方向先放大 |
| \(\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\) | \(0,0\) | 非平凡 Jordan 块，不稳定 | 线性增长 |
5. 误区与边界
- “实部都不大于零就稳定”是错的。虚轴上的特征值必须是半单的，非平凡 Jordan 块会产生 \(t^k\) 增长；只有全部特征值实部严格为负才能保证渐近稳定。
- Hartman–Grobman 不是一句万能判稳口号。它只在双曲平衡点附近给出流的拓扑等价；出现零实部特征值时，高阶项可能改变稳定性。
- 相图分类不等于欧氏距离分类。换一个等价范数或 Lyapunov 二次型，Hurwitz 系统总能找到严格下降的“能量”，但指定的 \(\|\cdot\|_2\) 仍可短暂增加。
- 线性化只回答局部问题。非线性系统远离平衡点后可能遇到别的平衡点、极限环或逃逸区域。
6. 回到定理：Lyapunov 方程把谱变成能量
若 \(A\) Hurwitz，则对任意正定 \(Q\)，存在唯一正定 \(P\) 满足
于是 \(V(\mathbf x)=\mathbf x^\mathsf TP\mathbf x\) 沿轨线严格下降。这个定理解释了为何非正规系统即使欧氏长度先放大，仍有另一把“尺子”能单调记录它走向原点。
7. 迁移问题
梯度流在极小点附近的 Jacobian 是负 Hessian；RNN 的离散传播则看特征值模和奇异值。请解释：为什么“谱半径小于 1”描述离散系统的长期命运，却仍不能单独保证每一步的梯度范数都缩小？
展开核对：固定矩阵的长期衰减与单步放大
取 \(B=\begin{pmatrix}1/2&2\\0&1/2\end{pmatrix}\)。两特征值均为 \(1/2\)，但 \(Be_2=(2,1/2)^\mathsf T\)，长度为 \(\sqrt{17}/2>1\)。对 \(k\ge0\)，
指数衰减最终胜过多项式因子；每一步对所有向量都不放大则要求最大奇异值 \(\|B\|_2\le1\)。连续预设 \(A=\begin{pmatrix}-1&8\\0&-2\end{pmatrix}\) 从 \(e_2\) 出发，有 \(x(t)=(8(e^{-t}-e^{-2t}),e^{-2t})\)；在 \(t=\log2\) 时是 \((2,1/4)\)，直接证实瞬态放大。
还要保留“固定矩阵”的条件。RNN 沿序列产生变化的 Jacobian，不能仅检查每个谱半径：上面的 \(B\) 与 \(B^\mathsf T\) 各自谱半径都为 \(1/2\)，但 \(BB^\mathsf T\) 的最大特征值大于 \(4\)，交替乘积可以增长。需要控制实际乘积、奇异值或共同 Lyapunov 条件。
1. 化组与矩阵指数
\(n\) 阶标量方程可通过 \(x_1=y,x_2=y',\dots\) 化为一阶系统。齐次常系数问题
的唯一解为 \(\mathbf x(t)=e^{At}\mathbf x_0\)。若 \(A=Q\Lambda Q^{-1}\) 可对角化，则 \(e^{At}=Qe^{\Lambda t}Q^{-1}\)；Jordan 块会额外产生多项式因子。非齐次系统的常数变易公式为
2. 平面线性系统分类
| 特征值 | 类型 | 稳定性 |
|---|---|---|
| 两个负实根 | 稳定结点 | 渐近稳定 |
| 两个正实根 | 不稳定结点 | 不稳定 |
| 一正一负 | 鞍点 | 不稳定 |
| \(\alpha\pm i\beta,\alpha<0\) | 稳定焦点 | 渐近稳定 |
| \(\alpha\pm i\beta,\alpha>0\) | 不稳定焦点 | 不稳定 |
| 纯虚共轭根且半单 | 中心型 | 稳定但不渐近稳定 |
重复或虚轴特征值必须继续检查 Jordan 结构；“连续看实部、离散看模”只在严格不等式的双曲情形最省心。
3. 非线性系统与 Lyapunov 方法
对 \(F\) 在邻域内为 \(C^1\) 的自治系统 \(\dot{\mathbf x}=F(\mathbf x)\)，在平衡点 \(\mathbf x^*\)，线性化矩阵为 \(J=DF(\mathbf x^*)\)。若 \(J\) 没有虚轴特征值，则线性化给出局部定性分类；若有零实部特征值，需用高阶项、中心流形或 Lyapunov 方法继续判断。
Lyapunov 直接法寻找 \(V(\mathbf x^*)=0\)、除平衡点外 \(V>0\) 的 \(C^1\) 函数。若 \(\dot V\le0\) 可得到稳定性的条件；若除平衡点外 \(\dot V<0\) 可得到局部渐近稳定。半负定情形要结合 LaSalle 不变性原理，不能仅凭一个等号方向自动宣告趋于平衡点。
4. 典型例题
例 1。 \(A=\begin{pmatrix}0&1\\-2&-3\end{pmatrix}\) 的特征值为 \(-1,-2\)，故为稳定结点，通解可写成两个衰减特征模之和。
例 2。 \(A=\begin{pmatrix}1&-2\\1&-1\end{pmatrix}\) 有 \(\tau=0,\Delta=1,D=-4\)，特征值为 \(\pm i\)。该具体矩阵可对角化并产生有界周期轨线；但不能把“纯虚根”脱离半单条件推广到任意矩阵。
例 3。 对 \(x'=-x+y^2,\ y'=-y+x^2\)，取 \(V=(x^2+y^2)/2\)。在半径 \(r<1\) 的球内，\(|xy^2+yx^2|\le r(x^2+y^2)\)，故 \(\dot V\le-(1-r)(x^2+y^2)\)；除原点外 \(\dot V<0\)，原点局部渐近稳定。
这页把“特征值决定长期命运”补成了完整说法：谱给结局，几何给过程，Lyapunov 函数给证书。