建模 II · 增长、传染、捕食与排队

四种模型分别使用容量、流量、相互作用和随机到达。读每个公式时，都要问：状态是什么，参数有什么单位，哪个结论依赖哪个假设，以及图中显示的是有限时间数值还是长期定理。

1. Logistic：有界不等于所有曲线都呈 S 形

从增长率正比于人数出发， \(N'=rN\) 给 \(N=N_0e^{rt}\)。它假定人均净增长率固定；是否适合某段真实数据需要检验，不能先宣布所有短期增长都指数化。

在 \(r>0,K>0\) 下，若人均净增长随拥挤线性降低，就得到

1.1 先读相线，再解方程

平衡点为 \(0,K\)。当 \(0<N<K\) 时导数为正，当 \(N>K\) 时导数为负。右端局部 Lipschitz，解的唯一性保证轨迹不能穿过平衡解；所以正初值的解始终留在初值与 \(K\) 之间。

对 \(N_0>0\)，分离变量或令 \(u=1/N\) 可得

分母在这个时间域内为正。由公式或单调有界性：

• \(0<N_0<K\)：单调上升，趋于 \(K\)；
• \(N_0>K\)：单调下降，趋于 \(K\)；
• \(N_0=K\)：始终为 \(K\)；
• \(N_0=0\)：始终为零，不能直接在含 \(1/N_0\) 的公式中代入；
• 若另取 \(r=0\)：所有初值都是常数解。

再求导得到

只有从 \(0<N_0<K/2\) 出发的增长轨迹会在未来经过拐点，时间为 \(t_*=\log(K/N_0-1)/r\)。从 \(K/2<N_0<K\) 出发，增长从一开始就向下凹；高于容量的轨迹则下降。资源限制并不强迫每条现实曲线遵循这个特定的二次方程。

1.2 容量是否可估计是另一个问题

当 \(N/K\) 很小时，\(N'\approx rN\)，容量对早期轨迹的影响较弱。有限噪声数据可能难以区分不同 \(K\)，但这不是“拐点之前绝对不可识别”的定理。需要同时说明观测窗口、精度、初值和误差模型，参见建模方法论。

2. SIR：比例、阈值与全程约束

在封闭、充分混合、参数固定、移出后不再感染的模型中，令 \(s,i,r\) 分别表示易感、感染和移出比例，初值非负且和为 \(1\)。模型为

这里 \(\beta si\) 是每单位时间的人口比例通量。若改用人数 \(S,I,R\) 和固定总人数 \(N\)，感染项应写成 \(\beta SI/N\)，不能把比例方程原样代入人数。MIT：SIR 与充分混合模型

2.1 非负性与守恒

三式相加给 \((s+i+r)'=0\)。在边界 \(s=0\) 或 \(i=0\)，相应变量的导数为零；在 \(r=0\)，导数非负。也可直接写

因此非负单纯形保持不变，解不会因为真实方程而产生负比例。数值程序若越界，不能简单裁剪后再宣称方程守恒。

2.2 再生数与感染种子

基本再生数和当前有效再生数为

在模型假设下，全易感基准中平均感染持续时间为 \(1/\gamma\)，有效接触率为 \(\beta\)，乘积解释 \(R_0\)。对于 \(i>0\)， \(i'>0\iff\beta s>\gamma\)。如果 \(i_0=0\)，则 \(i(t)=0\)，即使 \(R_e(0)>1\) 也不会无中生有地出现感染。

若 \(i_0>0\) 且 \(R_e(0)=1\)，初始一阶导数为零，但 \(i''(0)=\beta s'(0)i_0<0\)（此时 \(s_0>0\)）。所以之后开始下降；阈值等号不意味着长期保持平台。若初始 \(R_e(0)<1\)，由于 \(s\) 不增，也不会稍后自己进入增长阶段。

2.3 全时段峰高不等于网格最大值

在 \(s>0,i>0\) 的区间消去时间：

积分得到第一积分

若 \(i_0>0\) 且 \(s_0>\gamma/\beta\)，峰值出现在 \(s_*=\gamma/\beta\)，因此

若一开始就在阈值以下或等号处，最大值是初值 \(i_0\)。若没有感染种子，最大值是零。解析式给峰高，没有直接给峰时；短观察窗可能还没包含峰，离散网格也可能错过精确峰时。

2.4 最终规模的物理解

因为 \(r\) 单调且不超过 \(1\)， \(\int_0^\infty i(t)\,dt\le1/\gamma\)。在单纯形上导数有界，因此非负的 \(i\) 一致连续；若它不趋零，就会反复产生宽度和面积有正下界的脉冲，与可积性矛盾。故 \(i_\infty=0\)。

当 \(s_0>0\) 时，由 \(s'/s=-(\beta/\gamma)r'\) 得到

这同时说明 \(s_\infty>0\)。感染消退不要求所有易感者都感染过。方程可能有需区分的代数根，必须选择由初值轨迹达到的物理解：若 \(i_0=0\)，保持 \(s_\infty=s_0\)，不能选择另一个“疫情发生后”的根。

对于 \(i_0>0,s_0>0\)，实验令 \(w=\log(s_\infty/s_0)\)，解

左端严格凹，左端点取负值而 \(w=0\) 取正值，区间内有唯一的物理解，可作二分。\(s_0=0\) 时直接有 \(s_\infty=0\)，不使用对数关系。

2.5 参数识别与干预的边界

若能精确连续观测 \(s,i,r\) 且 \(s,i>0\)，则 \(\gamma=r'/i\)、\(\beta=-s'/(si)\)，并不需要干预数据才可能分开参数。实际只有噪声病例数、未知漏报和缺少仓室观测时，求导不稳定、参数混淆或延迟才会成为问题。应说明观测了什么，而不是无条件说参数不可识别。

在均匀随机免疫、完全保护或明确的易感性折扣等理想机制下，阈值可以转换成对易感比例的限制。但“疫苗有效率”可能指阻断感染、减轻症状或防重症，不能不加定义就代入同一个比例公式。本页的练习是模型算术，不从简单仓室方程推出实际公共卫生决策。

3. Lotka–Volterra：闭轨道需要哪些条件？

对猎物 \(x\) 与捕食者 \(y\)，设

从严格正初值出发保持正性，正平衡为 \((x_*,y_*)=(c/d,a/b)\)。函数

沿轨迹的导数为 \((d-c/x)x'+(b-a/y)y'=0\)。它在正象限严格凸、仅在平衡点取最小值，靠近坐标轴或无穷远时趋于无穷。因此非平衡正初值所在的等值曲线是围住平衡点的紧闭曲线；向量场在其上不为零，轨迹周期运行。

这不是说任意初值都有闭轨道：平衡初值静止，坐标轴上的解也不同。加入猎物承载量、季节项或其他物种后，第一积分通常不再守恒，不能继续沿用永恒闭轨道结论。进一步的相平面分析见ODE 系统与稳定性。

3.1 时间平均与共同捕捞率

设周期为 \(P\)，对 \(\frac{d}{dt}\log x=a-by\) 在一周期积分，左侧为零，得 \(\bar y=a/b\)；同理 \(\bar x=c/d\)。这是沿周期轨道的时间平均，不是每个时刻都在平衡点。

若两种群都承受相同的按比例捕捞率 \(h\)，模型变为

在 \(0<h<a\) 且正初值的条件下， \(\bar x_h=(c+h)/d\)、\(\bar y_h=(a-h)/b\)。猎物时间平均增加，捕食者时间平均减少；这是该特定模型的 Volterra 效应。不能把“平均数之比”自动等同于“瞬时比例的时间平均”，也不能忽略捕捞机制或生态条件。

4. M/M/1：先分清“系统”和“等待区”

假设顾客按率 \(\lambda\) 的 Poisson 过程到达，服务时间独立同分布为率 \(\mu>0\) 的指数分布，且与到达过程独立。系统只有一个服务台，先来先服务，等待空间无限，无拒绝和放弃。

令 \(X_t\) 为系统内总人数，包括正在服务的至多一人。它是连续时间生灭链：\(n\to n+1\) 的率为 \(\lambda\)，\(n\to n-1\)（\(n>0\)）的率为 \(\mu\)。这是转移率，不是离散时间每步转移概率。

4.1 平稳分布从哪里来？

局部平衡给 \(\pi_n\lambda=\pi_{n+1}\mu\)，故 \(\pi_n=\pi_0\rho^n\)，其中 \(\rho=\lambda/\mu\)。要使总概率为 \(1\)，需

当 \(\lambda>0,\lambda\ge\mu\)，这个级数无法归一化，不存在平稳概率分布；不是把原式继续算成负数或负等待。有限初始人数下，任意有限时间的到达数几乎必然有限，因此“无稳态”也不等于“已经有无限多人”。

若 \(\lambda=0\)，空系统为吸收态，唯一平稳分布集中在 \(0\)。此时没有真实到达者的等待样本；下文 \(W=1/\mu\) 应理解为往空稳态系统放入一个假想顾客的逗留时间均值。

4.2 四个平均量必须分别命名

几何级数求导给 \(L=\sum n(1-\rho)\rho^n=\rho/(1-\rho)\)。平稳时服务台忙碌概率为 \(\rho\)，于是

对 \(\lambda>0\)，Little 公式分别给 \(L=\lambda W\)、\(L_q=\lambda W_q\)。它的适用范围比 M/M/1 更广，但必须保持人数、时间、有效进入流量的统计口径一致，并满足相应稳定与平均量存在的条件。MIT：M/M/1 中系统与等待区的区别

例如 \(\lambda=8/\text{小时},\mu=10/\text{小时}\)，有 \(L=4\)、\(L_q=3.2\)、\(W=.5\) 小时、\(W_q=.4\) 小时。30 分钟是总逗留，24 分钟才是纯等待；服务均值为 6 分钟。

4.3 接近临界负荷时

固定服务率而令 \(\lambda\uparrow\mu\)，系统平均人数和时间发散。这是一族稳定模型趋向临界的极限，不是在超载配置下仍存在一个均值为无穷的平稳分布。超载时 \(\rho\) 仍可作为负荷比，但不能把大于 \(1\) 的值称为忙碌概率。

有限容量、顾客放弃、多个服务台、优先级或非指数服务，都需要改写模型。尤其有丢失时，Little 公式中的流量通常需要使用实际接纳流量，不能不加区分地用外部到达率。

5. 一张条件对照图

6. 练习与推导

练习 1：相同容量，为什么有一条曲线向下？

取 \(K=600,r=.35/\text{日}\)，分别从 \(N_0=80,1200,0\) 出发。比较初始方向与长期极限。

练习 2：初始导数为零，是平台还是峰顶？

SIR 取 \(\beta=1,\gamma=.5,s_0=.5,i_0=.2,r_0=.3\)。计算 \(i'(0)\)、\(i''(0)\)，并与 \(i_0=0,s_0=1\) 比较。

练习 3：十分钟目标，是总逗留还是纯等待？

队列到达率为 \(8/\text{小时}\)，服务率可调整。分别求 \(W\le10\) 分钟与 \(W_q\le10\) 分钟所需的服务率。

四个模型是学习建模条件的起点。转向随机感染、网络扩散或更一般队列时，要重新说明状态、可观测量、转移规则、近似误差和验证数据；模型名称相似，不代表结论可以直接搬用。