泛函 I · 度量空间与 Banach 空间
泛函分析 = "无穷维空间上的线性代数 + 分析"。研究对象从数与函数升级为空间与算子。本页立好地基：度量与完备性、压缩映像原理（本站被引三次的欠条在此正式清偿）、赋范空间与 Banach 空间，以及无穷维与有限维的第一道分水岭。
1. 度量空间与完备性
定义 度量空间 \((X, d)\)：\(d\) 满足正定、对称、三角不等式。由此定义收敛、Cauchy 列、开闭集、连续——数分 I 的语言原样迁移（那一页就是按"将来能搬家"写的）。
完备：Cauchy 列必收敛于空间内。例：\(\mathbb{R}^n\)、\(C[a,b]\)（配 \(\max\) 度量）、\(L^p\)（实变 III）完备；\(\mathbb{Q}\)、多项式全体（配 max 度量）不完备。不完备空间可完备化（唯一地填洞——\(\mathbb{Q} \to \mathbb{R}\)、Riemann 可积 \(\to L^p\) 两大先例）。
2. 压缩映像原理（Banach 不动点定理）
定理 \((X, d)\) 完备，\(T: X \to X\) 是压缩（存在 \(\theta < 1\) 使 \(d(Tx, Ty) \leq \theta\, d(x, y)\)），则 \(T\) 有唯一不动点 \(x^*\)，且从任意 \(x_0\) 出发迭代 \(x_{n+1} = Tx_n\) 收敛于它，误差有先验估计 \(d(x_n, x^*) \leq \frac{\theta^n}{1 - \theta}d(x_1, x_0)\)。
证明（四行，全站被引最多的证明）：迭代列相邻距离 \(d(x_{n+1}, x_n) \leq \theta^n d(x_1, x_0)\)，三角不等式加几何级数 ⇒ Cauchy 列；完备性给极限 \(x^*\)；\(T\) 连续（压缩⇒Lipschitz）故 \(Tx^* = \lim Tx_n = x^*\)；唯一性：两个不动点的距离 \(\leq \theta \times\) 自身 ⇒ 为零。\(\blacksquare\)
三张欠条一并清偿：ODE 解的存在唯一（Picard 迭代，ode-01——\(T\) 是积分算子，小区间上压缩）；数值求根的不动点迭代（num-03——\(|g'| < 1\) 即局部压缩）；隐函数定理的现代证明（数分 V）。同一定理，三个学科的引擎——抽象的回报率在此具象化。
3. 赋范空间与 Banach 空间
定义 线性空间 + 范数 \(\|\cdot\|\)（正定、齐次、三角）⇒ 赋范空间；\(d(x,y) = \|x - y\|\) 成度量空间；完备的赋范空间 = Banach 空间。
主力例子清单：\(\mathbb{R}^n\)（任意范数）、\(C[a,b]\) 配 \(\|f\|_\infty = \max|f|\)（一致收敛的空间语言：按此范数收敛 ⟺ 一致收敛——数分 IV 的概念在此获得几何身份）、\(L^p\) 与 \(\ell^p\)（实变 III）。
范数等价：有限维空间上一切范数等价（诱导同样的收敛与拓扑）——所以高代不用操心用哪个范数；无穷维上范数不等价（\(C[0,1]\) 上 \(\|\cdot\|_\infty\) 与 \(\|\cdot\|_1\) 给出不同的收敛概念）——选范数=选拓扑=选问题，泛函分析的第一自觉。
4. 有限维与无穷维的分水岭
定理（Riesz 引理引出的判据） 赋范空间的闭单位球紧 \(\iff\) 空间有限维。
——数分 I 的 Bolzano–Weierstrass（有界列必有收敛子列）在无穷维失效：\(L^2\) 中的标准正交列 \(\{e_n\}\) 有界（\(\|e_n\| = 1\)）却两两距离 \(\sqrt2\)——永无收敛子列。后果深远：无穷维上"有界闭集上连续函数取最值"不再免费（最优化的存在性要重新奋斗——变分法直接法、弱收敛等概念因此而生，知其动机即可）。这是"无穷维不是有限维的简单放大"的第一声警钟。
级数与完备性的等价刻画：赋范空间完备 \(\iff\) 绝对收敛级数必收敛（\(\sum\|x_n\| < \infty \Rightarrow \sum x_n\) 收敛）——数分 IV"绝对收敛⇒收敛"原来是完备性的化身。
5. 典型例题
例 1（压缩映像应用：积分方程） 证明 \(f(x) = \frac12\int_0^1 \sin(xt)f(t)\,dt + e^x\) 在 \(C[0,1]\) 中有唯一解。 解：右端定义 \(T: C[0,1] \to C[0,1]\)；\(\|Tf - Tg\|_\infty \leq \frac12\max\int|\sin(xt)||f - g|dt \leq \frac12\|f - g\|_\infty\)——压缩系数 \(\frac12\)，完备空间 + 压缩映像 ⇒ 唯一解，且迭代可数值逼近。（第二类 Fredholm 积分方程的标准操作。）
例 2（不完备的体感） 多项式空间 \(P[0,1]\) 配 \(\|\cdot\|_\infty\)：Taylor 部分和 \(\sum_0^n \frac{x^k}{k!}\) 是 Cauchy 列（一致收敛于 \(e^x\)）但极限不是多项式——洞就在那里。Weierstrass 逼近定理（多项式在 \(C[0,1]\) 稠密）说：\(P\) 的完备化恰是 \(C[0,1]\)。
例 3（范数不等价实例） \(f_n = x^n\) 在 \(C[0,1]\)：\(\|f_n\|_1 = \frac{1}{n+1} \to 0\) 但 \(\|f_n\|_\infty \equiv 1\)——按 \(L^1\) 范数趋零、按一致范数原地不动。"收敛了吗"在无穷维必须先问"按哪个范数"。\(\blacksquare\)
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