本页目录

数分 IV · 级数

级数回答"无限个数/函数加起来是什么意思"。本页三层：数项级数（收敛判别工具箱）→ 函数项级数（一致收敛——本页乃至下册分析的分水岭概念）→ 两大特殊家族（幂级数与 Fourier 级数）。

学习层：跳跃也能被正弦拼出来吗？

1. 具体谜题：平滑的波，怎样合成有棱角的信号？

先看周期方波

\[ f(x)=\operatorname{sign}(\sin x). \]

它在每个整数倍的 \(\pi\) 处跳跃，却据说可以由一串连续的正弦波相加得到。这里有三个不同的问题，不能用一个“越来越像”含糊带过：系数从哪里来？跳跃点到底收敛到什么数？增加谐波之后，边缘的过冲是否真的消失？

再把同一把尺子交给周期锯齿波 \(f(x)=x\)（先在 \((-\pi,\pi)\) 定义，再周期延拓）。它在周期端点从 \(\pi\) 跳回 \(-\pi\)，但系数会换成另一种明确的交替衰减规律。两种信号的差异，正好把“投影”“收敛”和“Gibbs 现象”拆开。

2. 先预测：动手之前写下四个答案

先不要拖动实验，预测：

  1. 方波是奇函数；在 \(\{1,\cos nx,\sin nx\}\) 中，哪些系数应该自动为零？方波的 \(b_1,b_3,b_5\) 谁大谁小？
  2. 在方波的跳跃点 \(x=0\)，部分和应当趋向 \(1\)、\(-1\)，还是左右极限的平均？在连续点 \(x=\pi/2\) 呢？
  3. 把 \(N\) 变大时，Gibbs 过冲的高度会不会趋于零？如果高度不消失，为什么肉眼仍会觉得图像更贴近？
  4. 锯齿波的周期端点是同一个点：在 \(x=\pi\) 处，Fourier 级数会选择左极限 \(\pi\)，右极限 \(-\pi\)，还是它们的平均？

把预测写下来再看图，能防止把有限项图像的视觉印象误当成收敛定理。

3. 最小模型：系数就是正交投影

在 \([-\pi,\pi]\) 上取归一化内积

\[ \langle g,h\rangle=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}g(x)h(x)\,dx. \]

\(\cos nx\) 与 \(\sin mx\) 的不同成员彼此正交，且各自范数为 \(1\)；常数函数 \(1\) 的平方范数为 \(2\)。所以把 \(f\) 投影到三角函数方向上，得到

\[ a_n=\langle f,\cos nx\rangle,\qquad b_n=\langle f,\sin nx\rangle, \]

而常数方向的投影是 \(\langle f,1\rangle/2=a_0/2\)。这不是“把图像拟合得像”的经验公式，而是正交投影的坐标公式。截断在第 \(N\) 个谐波就是

\[ S_N(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{N}\bigl(a_n\cos nx+b_n\sin nx\bigr). \]

两个可手算的系数表如下：

  • 方波 \(f(x)=\operatorname{sign}(\sin x)\) 是奇函数，所以 \(a_0=a_n=0\)；直接积分给出
\[ b_n=\begin{cases}\dfrac{4}{\pi n},&n\text{ 为奇数},\\[4pt]0,&n\text{ 为偶数}.\end{cases} \]
  • 锯齿波在 \((-\pi,\pi)\) 上取 \(f(x)=x\)，也是奇函数，所以 \(a_0=a_n=0\)；分部积分给出
\[ b_n=\frac{2(-1)^{n+1}}{n}. \]

两者的 \(1/n\) 衰减也提醒我们：跳跃带来的高频尾巴并不会很快消失。

4. 动手验证：把目标、部分和、频谱放在同一张实验台

下面的原生 SVG 实验可以切换方波和锯齿波，拖动谐波数 \(N\)，并用滑块或直接拖动图中的观察点 \(x_0\)。蓝线是目标函数，金线是 \(S_N\)；下图画有符号的 \(b_n\)，所以锯齿波的交替符号不会被频谱的高度藏掉。

先试默认状态：方波、\(N=5\)、\(x_0=\pi/2\)。再把观察点吸附到 \(x_0=0\)，比较一个连续点和一个跳跃点的读数。

无 JavaScript 时的静态读法：默认状态为方波、\(N=5\)、\(x_0=\pi/2\)。此时

\[ S_5(x)=\frac4\pi\left(\sin x+\frac{\sin3x}{3}+\frac{\sin5x}{5}\right), \qquad S_5\left(\frac\pi2\right)=\frac{52}{15\pi}\approx1.103. \]

因为 \(f(\pi/2)=1\)，\(1.103\) 说明有限截断即使在方波的平坦区也可以超过平台值；经典 Gibbs 过冲应当在跳跃邻域观察，而不是把精确跳跃点的平均值读成过冲。在跳跃点 \(x_0=0\)，\(S_5(0)=0\)，正好是左右极限 \((-1+1)/2\)。方波的 \(b_1=4/\pi,b_3=4/(3\pi),b_5=4/(5\pi)\)，偶数项为零；切换到锯齿波时使用 \(b_n=2(-1)^{n+1}/n\)，周期端点的左右极限为 \(\pi\) 与 \(-\pi\)，平均值为 \(0\)。

5. 误区与边界：图像变近，不等于无条件一致收敛

  • 系数不是逐点调参。 \(a_n,b_n\) 是在内积空间里沿正交方向的投影；正交性消除了其他频率，才得到积分公式。
  • 连续点与跳跃点要分开读。 在满足 Dirichlet 条件的周期函数的连续点，\(S_N(x)\to f(x)\)；在跳跃点，极限是 \((f(x^-)+f(x^+))/2\)。锯齿波在 \(x=\pi\) 的 Fourier 极限是 \(0\)，不是 \(\pi\)。
  • Gibbs 过冲的高度不因 \(N\to\infty\) 而消失。 对固定跳跃，局部缩放后过冲高度趋向约 \(0.08949\) 倍的跳跃幅度；但显著过冲集中在宽度约为 \(1/N\) 的窄区域里，所以整体图像会显得更贴近。
  • 不能把“看起来更接近”写成一致收敛。 每个有限 \(N\) 的 \(S_N\) 都是连续函数；若它们在包含跳跃的区间上一致收敛，连续函数的一致极限仍应连续，这与方波或周期锯齿波的不连续性矛盾。因此含跳跃时，连续部分和不可能在整个周期上一致收敛到不连续极限。

6. 回到定理：Dirichlet 收敛定理究竟保证什么？

对周期延拓按段 \(C^1\)、且每点左右极限存在的 \(f\)，Fourier 部分和满足

\[ \lim_{N\to\infty}S_N(x)=\frac{f(x^-)+f(x^+)}2. \]

连续点上两侧极限都等于 \(f(x)\)，于是得到函数值；跳跃点上得到平均值。这个结论是逐点（更准确地说，逐点按上述值）收敛的结论，并没有在含跳跃的整段上承诺一致收敛。方波和锯齿波正是同一个定理的两个可视化样本：跳跃位置不同，平均值规则相同。

7. 迁移题：换函数，仍然先投影再判断极限

  1. 设 \(g(x)=1+2\cos x-\sin2x\)。按本页的系数约定写出 \(a_0,a_1,b_2\) 以及其余系数，并说明为什么这一步不需要“拟合”：答案应为 \(a_0=2,a_1=2,b_2=-1\)，其余系数为零。
  2. 对周期锯齿波 \(h(x)=x\)，在 \(x=\pi\) 处写出 \(h(\pi^-)\)、\(h(\pi^+)\) 和 Fourier 极限；再解释为什么把端点的函数值改成 \(0\) 不会改变积分系数，却会让“级数收敛到函数值”的表述更准确。
  3. 最后给自己一个反例检查：如果某个周期函数连续但只有有限个角点，为什么“部分和连续”不再自动阻止一致收敛？还需要回到具体的光滑性、系数衰减或一致收敛判别，而不是从“有 Fourier 级数”直接推出一致收敛。
迁移题核对：端点值与一致收敛的不同作用

第 1 题由正交性给 \(a_0=2,a_1=2,b_2=-1\)。第 2 题两侧极限分别为 \(\pi,-\pi\)，平均为 \(0\)；改变一个点不改变积分系数。第 3 题没有了“不连续极限”这一障碍，但仍需要充分条件。例如周期三角波 \(|x|\) 的非零余弦系数按 \(1/n^2\) 衰减，M 判别法给一致收敛；仅凭“部分和连续”不能直接作结论。

再试 \(u_n(x)=x^n/n\)：在任意 \([-r,r]\)（\(r<1\)），导数尾项由几何级数控制，且 \(u_n(0)=0\)，所以可以逐项求导；把区间扩大到包含 \(1\)，原级数在 \(1\) 就是调和级数，条件失效。

先修回链：积分与微积分基本定理；后续：L² 与正交展开。

1. 数项级数

部分和数列收敛到级数和

图 4.1级数收敛 = 部分和数列 \(S_N\) 收敛：几何级数与交错调和级数分别趋于 \(1\) 与 \(\ln 2\)。

定义 \(\sum a_n\) 收敛指部分和 \(S_n = \sum_{k=1}^n a_k\) 收敛。必要条件：\(a_n \to 0\)（不充分！调和级数 \(\sum\frac1n\) 发散——用 \(S_{2n} - S_n > \frac12\) 或积分判别看穿）。Cauchy 准则：\(\forall\varepsilon\,\exists N:\ \left|\sum_{k=n+1}^{m} a_k\right| < \varepsilon\)。

1.1 正项级数（部分和单调，收敛 \(\iff\) 有界）

判别法 内容 适用直觉
比较法（含极限形式） \(a_n \leq C b_n\)，\(\sum b_n\) 收敛 ⇒ \(\sum a_n\) 收敛 与标尺比阶
标尺：\(p\)-级数 \(\sum \frac{1}{n^p}\) 收敛 \(\iff p > 1\) 一切比较的基准
比值法（d'Alembert） \(\frac{a_{n+1}}{a_n} \to q\)：\(q<1\) 收，\(q>1\) 发，\(=1\) 失效 含 \(n!\)、\(a^n\)
根值法（Cauchy） \(\sqrt[n]{a_n} \to q\)（严格形式用 \(\varlimsup\)）同上 含 \(n\) 次幂
积分判别法 \(f\) 正、减：\(\sum f(n)\) 与 \(\int_1^\infty f\,dx\) 同敛散 \(\frac{1}{n\ln n}\) 型（发散！）

（比值/根值对 \(p\)-级数全部失效——它们本质是"与几何级数比"，只能分辨指数级差异。）

1.2 任意项级数

2. 函数项级数与一致收敛

问题：\(S(x) = \sum u_n(x)\) 逐点收敛时，连续性/可积性/可导性能否从 \(u_n\) 传给 \(S\)？答案：逐点收敛不够（反例：\(f_n(x) = x^n\) 在 \([0,1]\) 逐点收敛到不连续函数）。需要更强的收敛：

定义（一致收敛） \(S_n \rightrightarrows S\) 于 \(D\) \(\iff \sup_{x \in D}|S_n(x) - S(x)| \to 0\)——一个 \(N\) 管住所有 \(x\)（对比逐点：每个 \(x\) 各配各的 \(N\)）。

判别工具：

三大传递定理（一致收敛买到的东西）：

  1. 连续性：\(u_n\) 连续 + 一致收敛 ⇒ \(S\) 连续（极限可交换 \(\lim_x \lim_n = \lim_n \lim_x\)）；
  2. 逐项积分：若各 \(u_n\) 在有限闭区间 \([a,b]\) 上 Riemann 可积，且原级数一致收敛，则 \(S\) 可积且 \(\int_a^b S = \sum \int_a^b u_n\)；
  3. 逐项求导：若各 \(u_n\in C^1[a,b]\)，\(\sum u_n'\) 在 \([a,b]\) 一致收敛，且 \(\sum u_n(x_*)\) 在至少一个 \(x_*\in[a,b]\) 收敛，则原级数在 \([a,b]\) 一致收敛，和函数在内部可导且 \(S'=\sum u_n'\)。这里给的是便于使用的充分条件。

为什么需要那个锚点 \(x_*\)？对 \(C^1\) 项，有

\[ \sum_{n=N}^{M}u_n(x)=\sum_{n=N}^{M}u_n(x_*)+\int_{x_*}^{x}\sum_{n=N}^{M}u_n'(t)\,dt. \]

锚点控制常数项；导数尾和的一致小量再乘区间长度，控制所有 \(x\)。若漏掉锚点，\(u_n(x)\equiv1\) 的导数级数恒为零，原级数却发散。对一般可导项也有更广版本，见Waterloo 讲义定理 3.16。

🔗 AI 衔接：一致收敛是"函数序列极限保性质"的通行证——万能逼近定理（ai 课 04 讲）里"一致稠密"的"一致"就是它。

3. 幂级数

定理（Abel） \(\sum a_n x^n\) 在 \(x_0 \neq 0\) 收敛 ⇒ 在 \(|x| < |x_0|\) 内绝对收敛。⇒ 收敛域是以原点为心的区间。

收敛半径（Cauchy–Hadamard）：

\[ R = \frac{1}{\varlimsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}} \qquad \Big(\text{或常用 } R = \lim \Big|\frac{a_n}{a_{n+1}}\Big|\Big) \]

端点 \(x = \pm R\) 单独代入检验。内闭一致收敛：在 \([-r, r]\ (r < R)\) 上一致收敛 ⇒ 和函数在 \((-R, R)\) 内连续、可逐项积分、可逐项求导任意次（且求导积分不改变收敛半径）——幂级数是"性质最好的函数项级数"。

Taylor 级数：\(f\) 的 Taylor 级数收敛到 \(f\) \(\iff\) 余项 \(R_n \to 0\)（光滑不保证！反例 \(e^{-1/x^2}\) 各阶导数在 0 全为 0，Taylor 级数恒 0 ≠ 原函数）。求和函数套路：逐项积分/求导化归到几何级数 \(\sum x^n = \frac{1}{1-x}\)（例：\(\sum n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}\) 由逐项求导得）。

4. Fourier 级数

目标：用三角函数系 \(\{1, \cos nx, \sin nx\}\)（在 \([-\pi, \pi]\) 上正交：不同成员乘积积分为零）展开周期函数：

\[ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos nx + b_n \sin nx), \qquad a_n = \frac1\pi \int_{-\pi}^{\pi} f\cos nx\,dx, \quad b_n = \frac1\pi \int_{-\pi}^{\pi} f\sin nx\,dx \]

（系数公式的来历：假设可逐项积分，两边乘 \(\cos nx\) 积分，正交性杀掉其余所有项——系数 = 在正交基上的投影，这是高代 VI 内积空间观点的直接应用，两页对照读。）

定理（Dirichlet 收敛定理） 对周期延拓按段 \(C^1\)、且每点左右极限存在的 \(f\)，Fourier 级数处处收敛到 \(\frac{f(x^+) + f(x^-)}{2}\)（连续点即 \(f(x)\)）。

Parseval 等式：\(\dfrac{a_0^2}{2} + \sum(a_n^2 + b_n^2) = \dfrac1\pi\int_{-\pi}^{\pi} f^2\,dx\)——"能量守恒"：函数的能量 = 各频率分量能量之和。

奇偶函数正弦/余弦展开；周期 \(2l\) 的伸缩版本。🔗 AI 衔接：Fourier 是"信号 → 频域"的原型，声谱图（comfy 课 19 讲 mel 谱）、位置编码的三角函数族（ai 课 06 讲）都是它的后代；Parseval 在泛函页升格为 Hilbert 空间的普遍定理。

5. 典型例题

例 1（判敛综合） 判别 \(\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{n!}{n^n}\)。 解：比值法 \(\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!\,n^n}{(n+1)^{n+1} n!} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \to \frac1e < 1\)，收敛。（顺带记住 \(\frac{n!}{n^n}\) 的衰减本质是 \(e^{-n}\) 级。）

例 2（幂级数求和） 求 \(\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{x^n}{n}\) 的和函数。 解：\(R = 1\)；逐项求导得 \(\sum x^{n-1} = \frac{1}{1-x}\)，积分回去 \(S(x) = -\ln(1-x)\)，\(x \in [-1, 1)\)（\(x = -1\) 端点由 Leibniz 收敛 + Abel 第二定理续上）。

例 3（Fourier 数值副产品） 把 \(f(x) = x^2,\ x\in[-\pi,\pi]\) 展开：\(x^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2}\cos nx\)。代 \(x = \pi\) 得

\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \]

——Basel 问题，Fourier 级数最著名的免费赠品。\(\blacksquare\)

下一页进入多元世界：偏导数、梯度与"可微"的真正含义——机器学习数学的主产地。