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实变 III · \(L^p\) 空间

实变的收官动作是"升维视角"：不再看单个函数，而把可积函数全体组织成空间——\(L^p\)。两把不等式（Hölder、Minkowski）给它范数，完备性定理（Riesz–Fischer）给它 Banach 空间身份，\(L^2\) 更兼得内积成为 Hilbert 空间——泛函分析的三大主角原型全部在此出场，本页即两门课的交接仪式。

1. 定义与两把不等式

定义 \(1 \leq p < \infty\)：

\[ L^p(E) = \Big\{f \text{ 可测}: \|f\|_p = \Big(\int_E |f|^p\Big)^{1/p} < \infty\Big\} \]

（\(p = \infty\)：\(\|f\|_\infty\) = 本性上确界——a.e. 意义的最大值。a.e. 相等视为同一元素，实变 II 的等价类约定。）

Hölder 不等式（\(\frac1p + \frac1q = 1\)，共轭指数）：

\[ \int |fg| \leq \|f\|_p\, \|g\|_q \]

（\(p = q = 2\) 时即 Cauchy–Schwarz——高代 VI/概率 IV 那把不等式的积分版；证明用 Young 不等式 \(ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}\)，凸性的一行应用——优化 I。）

Minkowski 不等式（\(L^p\) 的三角不等式）：\(\|f + g\|_p \leq \|f\|_p + \|g\|_p\)（由 Hölder 推出）。至此 \(\|\cdot\|_p\) 是合法范数，\(L^p\) 是赋范线性空间。

包含关系（仅在有限测度空间上）：\(p < q \Rightarrow L^q \subset L^p\)（Hölder 一行证；\([0,1]\) 上平方可积必可积）。⚠️ 全直线上不成立（长尾与尖峰各管一头：\(\frac{1}{\sqrt x}\mathbb{1}_{(0,1)} \in L^1\setminus L^2\)，\(\frac1x\mathbb{1}_{(1,\infty)} \in L^2 \setminus L^1\)）。

2. 完备性：Riesz–Fischer 定理

定理 \(L^p\)（\(1 \leq p \leq \infty\)）是完备的赋范空间（Banach 空间）：Cauchy 列必收敛到空间内的元素。

证明思路：Cauchy 列抽子列使相邻距离 \(< 2^{-k}\)，级数比较 + MCT（实变 II）造出极限函数，再 Fatou 收尾。这条定理是 Lebesgue 积分对 Riemann 的决定性胜利：Riemann 可积函数按 \(\|\cdot\|_p\) 不完备（极限会漏出去），Lebesgue 把洞全部补上——正如实数完备化有理数（数分 I 的故事在函数空间重演，这个类比是理解实变全课的钥匙）。

稠密性（逼近工具箱）：简单函数、连续函数、光滑紧支函数都在 \(L^p\)（\(p < \infty\)）中稠密——"证明对 \(L^p\) 成立"的标准套路：先对好函数证，再稠密性过极限（DCT 押运）。

3. \(L^2\)：万王之王

\(L^2\) 是唯一自带内积的 \(L^p\)：

\[ \langle f, g\rangle = \int f\,\bar g, \qquad \|f\|_2 = \sqrt{\langle f, f\rangle} \]

完备内积空间 = Hilbert 空间——几何直觉（长度、角度、正交、投影）在无穷维完整复活的唯一舞台：

正交系：\(\{\frac{e^{inx}}{\sqrt{2\pi}}\}\) 是 \(L^2[-\pi,\pi]\) 的标准正交基——Fourier 级数 = \(L^2\) 中的正交展开（数分 IV 的收敛难题在 \(L^2\) 范数下烟消云散：对一切 \(L^2\) 函数,级数按 \(\|\cdot\|_2\) 收敛）；
Parseval 等式 \(\|f\|_2^2 = \sum |c_n|^2\)——无穷维勾股定理（数分 IV 的预告兑现）；
概率语境：\(L^2(\Omega, P)\) = 方差有限的随机变量空间，\(\langle X, Y\rangle = E[XY]\)，条件期望 = 正交投影（概率 IV"最佳预测"的几何真身——投影定理的照面在泛函 II）。

🔗 AI 衔接：均方损失的最小化天然生活在 \(L^2\)；核方法的 RKHS（ai 课 02 Mercer 定理的舞台）是带再生核的 Hilbert 空间；"函数空间上的优化"（泛函分析视角的机器学习）以本页为起点。

4. 收官一瞥：依测度收敛与收敛关系图

四种收敛的关系（陈述级，考试画图题）：\(L^p\) 收敛 ⇒ 依测度收敛（Chebyshev 式不等式）；a.e. 收敛（有限测度上）⇒ 依测度收敛（Egorov 定理背书：a.e. 收敛 = 去掉任意小测度集后一致收敛——"几乎一致"）；依测度收敛 ⇒ 有 a.e. 收敛的子列。与概率 V 那张收敛关系表逐条对应（依概率收敛就是依测度收敛的概率方言）——两张图合成一张记。

5. 典型例题

例 1（Hölder 实战） \([0,1]\) 上证明 \(\|f\|_1 \leq \|f\|_2\)：\(\int|f|\cdot 1 \leq \|f\|_2\|1\|_2 = \|f\|_2\)。（有限测度上"高指数控制低指数"的一行版。）

例 2（归属判定） \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}(1 + |\ln x|)}\) 在 \((0,1)\)：\(p = 2\) 时 \(\int_0^1 \frac{dx}{x(1+|\ln x|)^2}\) 换元 \(u = \ln x\) 得 \(\int_{-\infty}^0\frac{du}{(1+|u|)^2} < \infty\) ⇒ \(f \in L^2\)；\(p\) 略大于 2 即发散——对数因子是 \(L^p\) 归属的裁边料。

例 3（\(L^2\) 正交展开） 在 \(L^2[-\pi, \pi]\) 中把 \(f(x) = x\) 展开：\(c_n\) 即 Fourier 系数 \(b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}\)，Parseval 给 \(\sum \frac{4}{n^2} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2 dx = \frac{2\pi^2}{3}\) ⇒ \(\sum\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\)——Basel 和的第三种证法（数分 IV、实变 II 之后），三条路线在此会师。\(\blacksquare\)

实变三页完工：测度（长度的公理化）→ 积分（换序的自由）→ \(L^p\)（函数成为空间中的点）。下一门泛函分析顺势接棒：研究这些无穷维空间本身。