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实变 III · \(L^p\) 空间

实变的收官动作是"升维视角"：不再看单个函数，而把可积函数全体组织成空间——\(L^p\)。两把不等式（Hölder、Minkowski）给它范数，完备性定理（Riesz–Fischer）给它 Banach 空间身份，\(L^2\) 更兼得内积成为 Hilbert 空间——泛函分析的三大主角原型全部在此出场，本页即两门课的交接仪式。

学习层：同一个向量，换测度会换几何

1. 预测门：p 增大到底往哪边走？

在三点空间 \(E=\{1,2,3\}\) 上固定 \(f=(1,2,4)\)、\(g=(2,1,3)\)。先预测再揭晓：概率测度 \(\mu_i=1/3\) 与计数测度 \(\nu_i=1\) 下的 \(L^p\) 曲线是否同向？\(p\to\infty\) 会留下什么？Hölder/Minkowski 何时取等？交互实验逐项回答后才显示数值 SVG 和账本。

2. 纯几何账本：归一化不能藏在记号里

各点权重严格为正的有限离散测度，统一写法是

\[ \|f\|_{p,\omega}=\left(\sum_{i=1}^n\omega_i|f_i|^p\right)^{1/p}, \qquad \|f\|_{\infty,\omega}=\max_i|f_i| \]

其中概率测度取 \(\omega_i=1/n\)，计数测度取 \(\omega_i=1\)。更一般地，在 \(\mu(E)<\infty\) 且 \(p<q\) 时，Hölder 给出明确因子

\[ \|f\|_{p,\mu}\leq \mu(E)^{1/p-1/q}\|f\|_{q,\mu}. \]

所以 \(\mu(E)=1\) 时范数随 \(p\) 增大单调不减；\(n\) 点计数测度则带着 \(n^{1/p-1/q}\) 的维数因子，不能把概率空间的直觉逐字搬过来。对均匀概率/计数这两个版本，逐个 \(p\) 都满足

\[ \|f\|_{p,\mathrm{count}}=n^{1/p}\|f\|_{p,\mathrm{prob}}; \]

而 \(p\to\infty\) 两者都回到 \(\max_i|f_i|\)。

3. Hölder、Minkowski 与等号条件

实验以 \(q=p/(p-1)\)（端点 \(1\leftrightarrow\infty\)）同时检查

\[ \sum_i\omega_i|f_ig_i|\leq\|f\|_p\|g\|_q, \qquad \|f+g\|_p\leq\|f\|_p+\|g\|_p. \]

在 \(1<p,q<\infty\) 且两边非零时，Hölder 取等当且仅当归一化的 \(|f|^p\) 与 \(|g|^q\) 在测度意义下相同（等价地 \(|f|^p=c|g|^q\) a.e.，并处理共同支撑）；\(p=1,\infty\) 要改用支撑/上确界条件。对实值 \(1<p<\infty\)，Minkowski 取等的典型条件是 \(f,g\) a.e. 同向的非负倍数；端点 \(p=1\) 的等号条件更宽。实验的等号预设只验证这些条件在有限模型中的充分/必要数值表现，不替代一般证明。

4. 边界、反例与迁移

  • 有限离散图形只示范范数、支撑和等号的几何；它不证明 Riesz--Fischer 完备性，后者仍需一般测度空间中的抽子列、级数控制与 Fatou 论证。
  • “简单、连续、光滑都稠密”必须带底空间条件：简单函数在 \(L^p\)（\(1\leq p<\infty\)）中一般可用来逼近；若 \(E\) 是合适拓扑空间、测度是 Radon/正则，\(C_c(E)\) 才有相应稠密性；在开集 \(E\subset\mathbb R^d\) 的 Lebesgue 测度上，\(C_c^\infty(E)\) 在 \(L^p\)（\(p<\infty\)）中稠密。\(L^\infty\) 的范数稠密性另有边界，不能顺手补上。
  • 无限测度空间没有统一的“高指数控制低指数”结论：\((0,1)\) 上的尖峰与 \((1,\infty)\) 上的长尾可分别破坏包含关系。迁移到一般 \(L^p(E,\mu)\) 时，先写出 \(\mu(E)\)、测度正则性与 \(p\) 的端点，再决定哪一条有限维直觉还保留。

JavaScript 失效时的静态 fallback：默认 \(f=(1,2,4)\)、\(g=(2,1,3)\)、\(p=q=2\)。概率测度下

\[ \|f\|_2=\sqrt7\approx2.646,\quad \|g\|_2=\sqrt{14/3}\approx2.160,\quad \sum_i\mu_i|f_ig_i|=16/3\approx5.333 \]

而计数测度下对应的三项是 \(\sqrt{21}\approx4.583\)、\(\sqrt{14}\approx3.742\)、\(16\)；两种测度的范数比为 \(3^{1/2}\)。两边都满足 Hölder 与 Minkowski，且 \(p=\infty\) 时都回到 \(4\)。常数向量 \((1,1,1)\) 是归一化反例：概率范数在 \(p=1,2,\infty\) 都是 \(1\)，计数范数依次是 \(3,\sqrt3,1\)。等号预设分别使用同向向量检验 Hölder/Minkowski；答案、维数因子和每一行 gap 会在预测门通过后由 SVG/账本显示。

5. 迁移题：每次先写测度和坐标约定

  1. 在 \([0,4]\) 上取 Lebesgue 测度，常数 \(f=1\) 的 \(L^1,L^2,L^\infty\) 范数是多少？改为均匀概率测度呢？
  2. 对 \(f(x)=x\)，实正弦系数 \(b_n=2(-1)^{n+1}/n\) 如何换成归一化复系数 \(c_n\)？
  3. 单点概率空间里 \(L^p\) 的范数都是绝对值。这是否推翻“\(p\ne2\) 的通常 \(L^p\) 范数一般不是内积范数”？
展开核对：因子来自测度和基向量
  1. Lebesgue 测度下分别是 \(4,2,1\)，概率测度下全为 \(1\)；有限测度因子不能被省略。
  2. 对 \(n>0\)，\(c_n=-i\sqrt{\pi/2}\,b_n=i\sqrt{2\pi}(-1)^n/n\)，\(c_{-n}=\overline{c_n}\)、\(c_0=0\)。因此复系数平方和为 \(4\pi\sum_{n\ge1}n^{-2}\)，等于 \(\int_{-\pi}^{\pi}x^2dx=2\pi^3/3\)；与实坐标版同得 Basel 和。
  3. 不推翻；它是必须明说的一维退化例外。两个独立、互不相交方向的指示函数才会给出排除一般 \(p\ne2\) 的平行四边形反例。

先修：Lebesgue 积分、Fourier 系数；后续：Hilbert 投影。

1. 定义与两把不等式

定义 \(1 \leq p < \infty\)：

\[ L^p(E) = \Big\{f \text{ 可测}: \|f\|_p = \Big(\int_E |f|^p\Big)^{1/p} < \infty\Big\} \]

（\(p = \infty\)：\(\|f\|_\infty\) = 本性上确界——a.e. 意义的最大值。a.e. 相等视为同一元素，实变 II 的等价类约定。）

Hölder 不等式（\(\frac1p + \frac1q = 1\)，共轭指数）：

\[ \int |fg| \leq \|f\|_p\, \|g\|_q \]

（\(p = q = 2\) 时即 Cauchy–Schwarz——高代 VI/概率 IV 那把不等式的积分版；证明用 Young 不等式 \(ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}\)，凸性的一行应用——优化 I。）

Minkowski 不等式（\(L^p\) 的三角不等式）：\(\|f + g\|_p \leq \|f\|_p + \|g\|_p\)（由 Hölder 推出）。至此 \(\|\cdot\|_p\) 是合法范数，\(L^p\) 是赋范线性空间。

包含关系（仅在有限测度空间上）：若 \(p < q\)，则

\[ \|f\|_{p}\leq \mu(E)^{1/p-1/q}\|f\|_{q},\qquad L^q(E)\subset L^p(E). \]

在概率空间 \(\mu(E)=1\) 上这给出“高指数范数不小于低指数范数”；在 \(n\) 点计数测度上必须保留 \(n^{1/p-1/q}\)。⚠️ 全直线上不成立（长尾与尖峰各管一头：\(\frac{1}{\sqrt x}\mathbb{1}_{(0,1)} \in L^1\setminus L^2\)，\(\frac1x\mathbb{1}_{(1,\infty)} \in L^2 \setminus L^1\)）。

2. 完备性：Riesz–Fischer 定理

定理 \(L^p\)（\(1 \leq p \leq \infty\)）是完备的赋范空间（Banach 空间）：Cauchy 列必收敛到空间内的元素。

证明思路：Cauchy 列抽子列使相邻距离 \(< 2^{-k}\)，级数比较 + MCT（实变 II）造出极限函数，再 Fatou 收尾。这条定理是 Lebesgue 积分对 Riemann 的决定性胜利：在有限区间，Riemann 可积函数按 \(\|\cdot\|_p\)（\(1\le p<\infty\)）不完备（极限会漏出去），Lebesgue 把洞全部补上——正如实数完备化有理数（数分 I 的故事在函数空间重演，这个类比是理解实变全课的钥匙）。

上面的积分证明思路针对 \(p<\infty\)。当 \(p=\infty\)，先把可数个范数控制所对应的零测集并起来；在剩下的公共满测度集合上，Cauchy 列是一致 Cauchy 的函数列，逐点极限仍满足同一一致误差界，故在本性上确界范数中收敛。

稠密性（带底空间条件的逼近工具箱）：简单函数在 \(L^p\)（\(1\leq p<\infty\)）中一般稠密；若 \(E\) 带合适拓扑且测度正则/Radon，则 \(C_c(E)\) 才有相应稠密性；若 \(E\subset\mathbb R^d\) 是开集并取 Lebesgue 测度，\(C_c^\infty(E)\) 在 \(L^p\)（\(p<\infty\)）中稠密。不能把连续或光滑紧支函数的结论无条件推广到任意测度空间，也不能顺手声称它们在 \(L^\infty\) 范数中稠密。

3. \(L^2\)：万王之王

\(L^2\) 的通常范数由以下内积诱导；在含两个互不相交、正且有限测度集合的非退化情形，其他 \(p\) 的通常范数不满足平行四边形法则。一维空间等退化例外要单独看：

\[ \langle f, g\rangle = \int f\,\bar g, \qquad \|f\|_2 = \sqrt{\langle f, f\rangle} \]

完备内积空间 = Hilbert 空间——几何直觉（长度、角度、正交、投影）在无穷维完整复活的唯一舞台：

🔗 AI 衔接：均方损失的最小化天然生活在 \(L^2\)；核方法的 RKHS（ai 课 02 Mercer 定理的舞台）是带再生核的 Hilbert 空间；"函数空间上的优化"（泛函分析视角的机器学习）以本页为起点。

4. 收官一瞥：依测度收敛与收敛关系图

四种收敛的关系（陈述级，考试画图题）：\(L^p\) 收敛 ⇒ 依测度收敛（Chebyshev 式不等式）；a.e. 收敛（有限测度上）⇒ 依测度收敛（Egorov 定理背书：a.e. 收敛 = 去掉任意小测度集后一致收敛——"几乎一致"）；依测度收敛 ⇒ 有 a.e. 收敛的子列。与概率 V 那张收敛关系表逐条对应（依概率收敛就是依测度收敛的概率方言）——两张图合成一张记。

5. 典型例题

例 1（Hölder 实战） \([0,1]\) 上证明 \(\|f\|_1 \leq \|f\|_2\)：\(\int|f|\cdot 1 \leq \|f\|_2\|1\|_2 = \|f\|_2\)。（有限测度上"高指数控制低指数"的一行版。）

例 2（归属判定） \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}(1 + |\ln x|)}\) 在 \((0,1)\)：\(p = 2\) 时 \(\int_0^1 \frac{dx}{x(1+|\ln x|)^2}\) 换元 \(u = \ln x\) 得 \(\int_{-\infty}^0\frac{du}{(1+|u|)^2} < \infty\) ⇒ \(f \in L^2\)；\(p\) 略大于 2 即发散——对数因子是 \(L^p\) 归属的裁边料。

例 3（\(L^2\) 正交展开） 在 \(L^2[-\pi, \pi]\) 中把 \(f(x) = x\) 展开：使用实正弦坐标 \(b_n=2(-1)^{n+1}/n\)（\(n\ge1\)），不要与归一化复指数坐标 \(c_n\) 混同。实 Fourier 的 Parseval 给 \(\sum \frac{4}{n^2} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2 dx = \frac{2\pi^2}{3}\) ⇒ \(\sum\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\)——Basel 和的第三种证法（数分 IV、实变 II 之后），三条路线在此会师。\(\blacksquare\)

实变三页完工：测度（长度的公理化）→ 积分（换序的自由）→ \(L^p\)（函数成为空间中的点）。下一门泛函分析顺势接棒：研究这些无穷维空间本身。