拓扑 II · 紧致、连通与分离性

为什么闭区间上的连续函数能取到最值，而开区间上可能不能？为什么一个集合连在一起，却可能找不到从一端走向另一端的连续路径？本页从开覆盖、序列和路径三个可检验的问题出发，说明紧致、连通与分离性的作用和适用条件。

1. 紧致说的是任意开覆盖，不是图画有多大

开覆盖是一族开集 \(\{U_i\}_{i\in I}\)，满足 \(X=\bigcup_{i\in I}U_i\)。空间 \(X\) 紧致，是指每个开覆盖都能选出有限个成员仍覆盖 \(X\)。指标集 \(I\) 不必可数；空空间也紧致。下文谈连续实函数取最值时另要求空间非空。

定义的量词不能省略：给某个空间画出一组有限覆盖，不能证明它紧致；要证明不紧致，找到一组没有有限子覆盖的开覆盖则足够。

例如 \((0,1)\) 的相对开集 \(U_n=(1/n,1)\)，\(n\ge2\)，覆盖整个空间。给定 \(x>0\)，选 \(n>1/x\) 即可覆盖它。但任意有限子族都有最大指标 \(N\)，它们的并就是 \((1/N,1)\)，点 \(1/(2N)\) 仍在空间里却被漏掉。因此它不紧致。取越来越多的集合只会把漏掉的范围缩小，不能把“每次还有漏点”变成某次有限覆盖成功。

实验的闭区间模型使用中心 \(j/m\) 与半径 \(r=k/(20m)\) 的开邻域：

当 \(k>10\) 时相邻区间有重叠，端点也被包含，构成覆盖；\(k=10\) 时，相邻区间只在各自被排除的端点相接，中点仍漏掉；\(k<10\) 更有间隙。工作台保留严格不等号，给出真正的漏点。删去冗余成员得到的是这组给定覆盖的子覆盖，不是对紧致性的普遍证明。

对非空空间，等价语言是闭集的有限交性质：若一族闭集的每个有限子族都有非空交，则整族也有非空交。对补集使用 De Morgan 律即可在它与开覆盖定义之间互换。它常把“不断缩小但还没空”的局部条件转成一个真实存在的点。

2. 紧致性怎样给出存在性定理？

连续像紧致

若 \(X\) 紧致、\(f:X\to Y\) 连续，像 \(f(X)\) 的每个开覆盖拉回到 \(X\)；在源端选有限子覆盖，再把对应的目标开集保留下来，即得 \(f(X)\) 紧致。这里不要求 \(Y\) Hausdorff。反过来不成立：任意非空空间的常值像都是单点紧集，源却可能不紧致。

非空紧空间上的连续实函数因此有紧的实数像。实线中的紧集闭且有界，它的上确界、下确界都在集合中，所以最大值与最小值真的能取到。只有“函数有界”不保证取到最值；例如 \(f(t)=t\) 在 \((0,1)\) 上。

哪一边需要闭，哪一边需要 Hausdorff？

紧空间的闭子集 \(F\) 紧致：给它的相对开覆盖补上 \(X\setminus F\)，得到 \(X\) 的开覆盖，抽有限后删掉补集即可。

在 Hausdorff 空间 \(Y\) 中，紧子集 \(K\) 是闭集。固定 \(y\notin K\)，每个 \(x\in K\) 都有与 \(y\) 的邻域不交的开邻域 \(U_x\)。从 \(\{U_x\}\) 取有限覆盖，把对应的有限个 \(y\) 邻域取交，就得到一个避开整个 \(K\) 的开邻域。故 \(Y\setminus K\) 开。

这证明了一个常用同胚判据：紧空间到 Hausdorff 空间的连续双射是同胚。源的闭集紧，像也紧，目标 Hausdorff 使像闭；于是映射是闭映射，其逆连续。若去掉 Hausdorff，上一页有限离散空间到同一集合的较粗拓扑的恒等映射就能成为反例。

度量空间的三种等价刻画

对度量空间，

全有界指对每个 \(\varepsilon>0\)，有限个半径 \(\varepsilon\) 的球就能覆盖空间；它比有界强得多。例如 \(\ell^2\) 的单位球闭、有界且完备，但标准正交向量 \(e_n\) 两两距离为 \(\sqrt2\)，不能由有限个半径 \(1/2\) 的球覆盖，因而不紧致。

下面保留等价的证明路线，避免只记三个名词：

1. 紧致 \(\Rightarrow\) 全有界且完备。半径固定的所有开球本来就是开覆盖，抽有限得全有界。对 Cauchy 序列，尾集的闭包形成有有限交性质的闭集族，紧致性给一个共同点；Cauchy 条件再保证整个序列趋向它。
2. 全有界且完备 \(\Rightarrow\) 序列紧致。依次用半径 \(2^{-j}\) 的有限球覆盖，选一个含无穷多项的球，再在这些项中继续选；对角选出的子列是 Cauchy 列，完备性给空间内极限。
3. 序列紧致 \(\Rightarrow\) 紧致。若不全有界，可逐个选出彼此距离至少为某个 \(\varepsilon\) 的序列，没有收敛子列，矛盾。再对任意开覆盖证明下面的 Lebesgue 数性质，用全有界的有限小球覆盖即可选出有限子覆盖。

Lebesgue 数性质的关键证明。若不存在一个统一的 \(\delta>0\) 使每个球 \(B_\delta(x)\) 都落在某个覆盖成员中，可选 \(x_n\)，使 \(B_{1/n}(x_n)\) 不落在任何一个成员中。取收敛子列 \(x_{n_j}\to x\)，选包含 \(x\) 的某个覆盖成员，再取 \(B_\varepsilon(x)\) 落入其中。充分大时 \(d(x_{n_j},x)+1/n_j<\varepsilon\)，那个“小球无法落入任何成员”的断言就矛盾了。

这也给出紧度量空间上连续实函数的一致连续性。先给每点选一个使函数值与中心相差小于 \(\varepsilon/2\) 的邻域；由 Lebesgue 数，足够接近的两点能落在同一个这样的邻域，用三角不等式得到函数差小于 \(\varepsilon\)。直接把有限个原始球半径取最小值，未必保证两点落在同一只球里，不能跳过这一步。

在 \(\mathbb R^n\) 中，闭集完备、有界集全有界，得到 Heine–Borel：紧致当且仅当闭且有界。不能把“全有界”在所有度量空间中都改写成“有界”。

3. 一般拓扑中，两种紧致性可以向两个方向分离

序列紧致只检验可数序列；紧致允许任意大小的开覆盖。度量空间的等价依赖上一节证明中的结构。

序列紧致但不紧致：\([0,\omega_1)\)

\(\omega_1\) 是第一个不可数序数，\([0,\omega_1)\) 是全部可数序数，取序拓扑。图上的有限几格不能模拟这个不可数空间，实验用的是下面的符号论证。

任一序列 \(\alpha_n\) 的上确界 \(\beta=\sup_n\alpha_n\) 仍是可数序数，因为可数个可数集合的并可数。因此整个序列落在某个可数初段 \([0,\beta]\) 中。任一序数序列有单调子列；严格下降不可能无限持续，所以可取常值或非递减子列，后者在序拓扑中趋于它的上确界。这给出空间内的收敛子列。

另一方面，\(\{[0,\alpha):0<\alpha<\omega_1\}\) 是开覆盖。任意有限子族的并只是 \([0,\alpha_{\max})\)，漏掉仍在空间内的 \(\alpha_{\max}\)，所以不紧致。它也不连通：孤立点 \(\{0\}\) 既开又闭，且是非空真子集。

紧致但不序列紧致：一个巨大二点积

取

的积拓扑；每个坐标由一个自然数子集 \(A\) 标号。每个二点离散因子都紧致，Tychonoff 定理说明整个积紧致。这里使用通常的 ZFC 框架下的一般积定理，不把有限积的直觉当成证明。

定义点列 \(x_n\)，令它在坐标 \(A\) 上的值为 \(x_n(A)=1\) 当且仅当 \(n\in A\)。任取子列 \(x_{n_k}\)，选择坐标 \(A=\{n_2,n_4,n_6,\ldots\}\)，这一坐标上的值永远交替为 \(0,1\)，不收敛。而积收敛必须每个坐标都收敛，所以没有任何收敛子列。这个空间不序列紧致，因而也不可能是紧度量空间。

两个例子分别否定两个方向，不能拿 \([0,\omega_1)\) 一例就说两个方向都已经证明失败。

4. 连通与路径连通：闭包能连起来，却未必能走过去

连通指空间不能写成两个非空不交开集的并；等价地，既开又闭的子集只有空集和全空间。路径连通要求任意两点都能由一条连续映射 \(\gamma:[0,1]\to X\) 接起来。

连续像保持连通，因为目标中的分离可以拉回源中。实线的连通子集恰为区间（包括单点和空集的相应惯例），所以连通空间上的连续实函数具有介值性质。路径连通推出连通：否则连接分离两侧的那条路径会把连通区间分成两侧。

若一族连通集有一个公共点，它们的并连通：一旦并被分离，公共点决定每个成员只能落在哪一侧。连通集的闭包也连通：若闭包被两侧相对开集分离，每一非空侧都必须碰到原集合，否则违反稠密性；这又分离了原集合。

把拓扑学家正弦曲线的范围写完整

本页固定

图像部分是区间 \((0,1]\) 的连续像，连通；其闭包恰为 \(S\)，故 \(S\) 连通。它在 \(\mathbb R^2\) 中闭且有界，所以紧致，亦序列紧致。若不限制 \(x\le1\)，就不能直接说有界。

它却不路径连通。假设路径 \(\gamma(t)=(u(t),v(t))\) 从竖直段走到图像。取相对开集 \(\{t:u(t)>0\}\) 的一个连通分支，记左端为 \(a\)，有 \(u(a)=0\)，而 \(a\) 右侧一段时间内 \(u>0\)。在 \(a\) 右侧任意小时间段内，连续的 \(u\) 从 \(0\) 到达某个正值，介值定理迫使它经过使 \(\sin(1/u)=1\) 和 \(-1\) 的任意小正数。于是 \(v\) 在任意这样的时间段内都取到 \(1\) 和 \(-1\)，不可能在 \(a\) 连续，矛盾。竖直段自身路径连通，图像自身也路径连通，二者是不同的路径连通分支。

图中的有限折线只画 \(x\ge\varepsilon\) 的采样，\(0<x<\varepsilon\) 的振荡尾部明确标为未画。不能把截断留下的空白误读成真实空间中有固定宽度的断裂，更不能用连线软件替代上面的证明。

局部条件什么时候补足全局？

在局部路径连通空间中，每个路径连通分支是开集；其他分支的并也开。因此如果整个空间连通，只能有一个分支，便路径连通。\(\mathbb R^n\) 的开子集有小开球这样的路径连通邻域，满足此条件。“每点附近看起来像一块”必须落实为这个定义，才有结论。

有理数空间的连通子集只有单点：任意两个不同有理数之间选一个无理数 \(r\)，左右两侧给出分离。特别地 \(\mathbb Q\cap[0,1]\) 不连通、也不路径连通；但“有理点在实线中稠密”仍然成立，稠密和连通不是同一性质。

5. 分离性决定哪些极限、闭集和函数工具可用

本页约定 Hausdorff 要求不同的两点有不交开邻域。它等价于对角线 \(\Delta=\{(x,x):x\in X\}\) 在 \(X\times X\) 中闭：若两点不同，用不交邻域矩形避开对角线；反向在对角线补集里取一个基本矩形，就得到两点的不交邻域。

Hausdorff 空间的网（因而序列）极限唯一，紧子集闭。连续商映射却可能丢失这条性质。例如 \(\mathbb R/\mathbb Q\) 把相差有理数的点视作同一点。设 \(O\subseteq\mathbb R\) 是非空、开且有理平移饱和的集合，取其中一个开区间 \(I\)。给任意 \(y\in\mathbb R\)，可选有理数 \(q\) 使 \(y-q\in I\)，所以 \(y\in I+q\subseteq O\)。于是 \(O=\mathbb R\)，商空间只有平庸拓扑。仅说“非空原像稠密”不够，关键是开区间加上全部有理平移覆盖实线。

更高的分离性质也要交代惯例。本页把“正则”写成 \(T_1\) 且点与不含它的闭集可用不交开集分离；“正规”写成 \(T_1\) 且两个不交闭集可用不交开集分离。

• Urysohn 引理：正规空间中，不交闭集 \(A,B\) 可由连续函数 \(f:X\to[0,1]\) 分开，使 \(f|_A=0,f|_B=1\)。这里说的是连续，不保证光滑；一般拓扑空间甚至没有导数概念。
• Tietze 延拓定理的有界版本：正规空间的闭子集 \(A\) 上，连续函数 \(f:A\to[-1,1]\) 可连续延拓到整个 \(X\)，仍取值于 \([-1,1]\)。
• Urysohn 度量化定理：在上述含 \(T_1\) 的正则惯例下，第二可数正则空间可度量化。标准的 Hausdorff、第二可数拓扑流形满足它的条件。

这些一般定理的完整证明放在进阶教材中。本页的具体有限检查没有覆盖所有正规空间。

6. 三道迁移题

题 1：闭、有界、完备，为何还没有最值保证？

在 \(\ell^2\) 的闭单位球上，考虑

证明 \(f\) 连续、上确界为 \(1\)，但取不到最大值。它违背紧空间上的最值定理吗？

题 2：为什么从连通的闭包里不能推出一条路？

对上述 \(S\)，写出它的两个路径连通分支，并判断它们是否都是 \(S\) 中的开集。用这一点解释 \(S\) 不可能局部路径连通。

题 3：紧性和像的紧性是哪一个方向？

给出一个非紧空间的紧连续像；再证明一个非空紧空间不可能连续满射到 \((0,1)\)。若有人只用“像有界”作第二问的证明，缺了什么？

进一步学习

基本群与同调会提供比“紧、连通、Hausdorff”更细的不变量，例如区分球面与环面；这不表示点集拓扑完全无法描述二者的差别，只表示本页列出的几个性质恰好相同。接着进入曲线与曲率，需先确认其中的弧长与曲率定义建立在哪些正则性前提上。

完整的紧致、连通及分离性证明可读 Allen Hatcher, Notes on Introductory Point-Set Topology 第 2—3 章。实验表区分一般定理、已证明的具体空间性质与有限绘图近似。

两个一般空间的反例可对照 Yao-Liang Yu：Various Notions of Compactness，第 3 页 的序数空间讨论，以及 UW–Milwaukee 拓扑讲义，习题 III.6 的不可数二点积构造。这里的坐标集写成自然数幂集，与用二进制序列作坐标等价。