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随机微积分 III · Black–Scholes 与期权定价

金融数学的皇冠：给"未来的权利"定价。本页从无套利原理出发，用 Itô 引理与 Delta 对冲推出 Black–Scholes 方程，解出期权定价公式，并讲清那个最反直觉的结论——股票的预期收益率不进公式。最后落到实务语言：希腊字母与隐含波动率（你 IBKR 期权页上的每个数字）。

1. 舞台设定

GBM 价格路径与看涨期权收益 — 图 3.1金融的两块地基：几何布朗运动的价格路径（左）与欧式看涨期权到期的"曲棍球杆"收益 \(\max(S_T-K,0)\)（右）。

市场模型：股价走几何布朗运动 \(dS = \mu S\,dt + \sigma S\,dB\)（上上页已解出）；无风险利率 \(r\)（银行账户 \(dM = rM\,dt\)）；无摩擦、可做空、连续交易。

欧式看涨期权（call）：到期日 \(T\) 以行权价 \(K\) 买入股票的权利，到期收益 \(\max(S_T - K, 0)\)。问题：今天该值多少钱 \(V(S, t)\)？

定价原理（无套利）：若两个组合未来现金流必然相同，今天必须同价——否则买低卖高白吃午餐（市场会立刻吃掉它）。整门金融数学建立在这一条公理上（对比物理的能量守恒）。

2. Delta 对冲推出 B–S 方程（本页核心推导）

构造组合：持有一份期权，做空 \(\Delta\) 股股票，\(\Pi = V - \Delta S\)。由 Itô 引理（\(V\) 是 \((S, t)\) 的函数）：

\[ d\Pi = dV - \Delta\,dS = \Big(V_t + \mu S V_S + \frac12\sigma^2 S^2 V_{SS} - \Delta\mu S\Big)dt + \big(V_S - \Delta\big)\sigma S\,dB \]

取 \(\Delta = V_S\)：随机项完全消失——组合瞬时无风险！无套利 ⇒ 它只能赚无风险利率 \(d\Pi = r\Pi\,dt\)。代入整理：

\[ \boxed{\;V_t + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 V_{SS} + rSV_S - rV = 0\;} \]

Black–Scholes 方程（1973；Merton 同年补全，1997 诺奖）。两个立即的观察：

\(\mu\) 不见了——推导中被对冲项精确抵消。股票涨跌的预期不影响期权价格：因为你随时可以用股票本身对冲掉方向风险，剩下需要定价的只有"弯曲程度"（\(V_{SS}\) 项）对波动的暴露。这是金融数学最深的一课：能对冲的风险不值钱，定价的是对冲不掉的部分；
变量代换后它就是热方程（倒着走：从到期收益向今天扩散）——pde-02 的全部理论直接接管（解的存在唯一、光滑化：不管到期收益多尖，今天的价格曲线是光滑的）。

3. B–S 公式与风险中性定价

解方程（或用下述概率法）得欧式 call 公式：

\[ C = S_0\,\Phi(d_1) - K e^{-rT}\,\Phi(d_2), \qquad d_{1,2} = \frac{\ln(S_0/K) + (r \pm \frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt{T}} \]

（\(\Phi\) = 标准正态分布函数——概率 II 的老朋友坐镇华尔街。）读法：第一项 = 到期拿到股票的"期望现值"，第二项 = 付出行权价的期望现值；\(\Phi(d_2)\) 恰是（风险中性世界里）行权的概率。

风险中性定价（第二条推导路，更深的视角）：存在一个"风险中性测度" \(Q\)（把 GBM 的漂移 \(\mu\) 换成 \(r\)），使得

\[ V = e^{-rT}\, E^{Q}\big[\text{payoff}\big] \]

——定价 = 在假想世界里算期望再贴现：那个世界里所有资产都只赚 \(r\)（投资者不要求风险补偿）。\(\mu\) 消失的第二种解释：换测度换掉了它（Girsanov 定理的入门陈述，知其名）。工程意义巨大：任何复杂衍生品都可以"在 \(Q\) 下 Monte Carlo 模拟 payoff 取平均"定价（数值线 + 概率 V 的方法直接变成生产工具）。Put–call 平价：\(C - P = S_0 - Ke^{-rT}\)（无套利一行论证：两边到期payoff 恒等——不依赖任何模型，比 B–S 更硬）。

4. 希腊字母与隐含波动率（实务接口）

希腊	定义	语义	备注
Delta \(\Delta = V_S\)	对股价敏感度	对冲比率（§2 的主角）	call 的 \(\Delta = \Phi(d_1) \in (0,1)\)
Gamma \(\Gamma = V_{SS}\)	Delta 的变化率	对冲需要再平衡的频率	平值临近到期最大
Vega \(= V_\sigma\)	对波动率敏感	"买期权 = 买波动"	B–S 里唯一不可观测参数的敏感度
Theta \(= V_t\)	时间衰减	持有期权每天的"房租"	通常为负

隐含波动率（IV）：市场价反解 \(\sigma\)——期权市场其实在交易波动率。若 B–S 完全正确，各行权价的 IV 应是同一常数；实际画出来是微笑/偏斜曲线——市场在给模型没有的东西定价（肥尾、跳跃、崩盘恐惧——时间序列页 GARCH 的厚尾在此以价格形式显形）。IV 曲面是"模型失效的地图"，也是市场情绪的温度计（VIX 指数即 S&P 期权 IV 的加权——"恐慌指数"的数学身份）。

5. 典型例题

例 1（B–S 计算） \(S_0 = 100, K = 100, r = 5\%, \sigma = 20\%, T = 1\)：\(d_1 = \frac{0.05 + 0.02}{0.2} = 0.35\)，\(d_2 = 0.15\)；\(C = 100\Phi(0.35) - 95.12\,\Phi(0.15) \approx 100(0.637) - 95.12(0.560) \approx 10.4\)——平值一年期期权约值股价的 10%（这个量级值得记住：\(C \approx 0.4\,\sigma\sqrt{T}\,S\) 的速算式）。

例 2（平价套利） 市场上 \(C = 12, P = 5, S_0 = 100, Ke^{-rT} = 95\)：\(C - P = 7 \neq 100 - 95 = 5\)——违反平价 2 元：卖 call 买 put 买股票借钱，锁定无风险 2 元。无套利不是假设是警察。

例 3（Delta 对冲演练） 持有 100 份 \(\Delta = 0.6\) 的 call，对冲需做空 60 股；股价涨后 \(\Delta \to 0.7\)，需再空 10 股——Gamma 决定了你追着市场调仓的忙碌程度（对冲是动态过程,不是一锤子买卖——§2 推导里"连续交易"假设的实务代价）。\(\blacksquare\)

随机微积分三页完工：Itô 演算 → SDE 与分布演化 → 无套利定价。扩散模型与期权定价共享同一套数学的事实，是"抽象的回报"最好的当代例证。下一门：时间序列分析。