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复变 II · 复积分：Cauchy 定理与积分公式

复变的主定理全在本页：Cauchy 积分定理（解析函数沿闭路积分为零）与 Cauchy 积分公式（边界值决定内部一切）。由它们像多米诺一样倒出：解析⇒无穷可导、Liouville 定理、代数基本定理——高代 I 欠下的那张证明欠条，在这里用三行还清。

1. 复积分与第一块基石

定义沿曲线 \(C\)：\(\int_C f(z)\,dz = \int_a^b f(z(t))\,z'(t)\,dt\)（数分 VI 第二型曲线积分的复打包）。基本估计（ML 不等式）：\(\big|\int_C f\,dz\big| \leq \max_C|f| \cdot \mathrm{len}(C)\)——复变证明里出镜率最高的一行。

基础例（一切计算的原子）：绕 \(z_0\) 的圆周上

\[ \oint \frac{dz}{(z - z_0)^n} = \begin{cases} 2\pi i & n = 1 \\ 0 & n \neq 1 \end{cases} \]

——只有 \(\frac{1}{z - z_0}\) 留下痕迹（"留数"之名的预告）。

定理（Cauchy 积分定理） \(f\) 在单连通域 \(D\) 解析，则沿 \(D\) 内任何闭曲线

\[ \oint_C f(z)\,dz = 0 \]

证明思路：写开实虚部化成两个第二型曲线积分，Green 公式（数分 VI）+ C–R 方程（复变 I）恰好让两个被积函数双双归零——C–R 就是"复平面的无旋无散条件"。推论：单连通域内解析函数的积分与路径无关、原函数存在（数分 III 的 Newton–Leibniz 在复平面复活）。多连通版：围道可跨越的区域必须解析——绕奇点的积分不为零，但可自由变形（不穿过奇点即等值）：把复杂围道缩成绕各奇点的小圆——复变 III 留数定理的几何底座。

2. Cauchy 积分公式：边界决定内部

定理 \(f\) 在闭曲线 \(C\) 内及其上解析，\(z_0\) 在 \(C\) 内，则

\[ f(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0}\,dz \]

（思路：把围道缩到 \(z_0\) 的小圆上，\(f(z) \approx f(z_0)\) 提出，剩下基础例的 \(2\pi i\)。）读法：解析函数是"全息"的——边界上的值完全决定内部每一点（实函数完全没有的刚性；调和函数的平均值性质是它的实影子）。

高阶导数公式（对 \(z_0\) 求导，积分号下合法）：

\[ f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}}\,dz \]

推论（本页最大惊雷）：解析（可导一次）⇒ 无穷可导——实函数世界"可导一次未必两次"的阶梯在复平面塌缩成一级。顺带 Cauchy 估计：\(|f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!\,M}{R^n}\)（\(M\) = 半径 \(R\) 圆上的最大模）。

3. 三连推论：多米诺

Liouville 定理：有界整函数（全平面解析）必为常数。 证明一行：Cauchy 估计 \(|f'(z_0)| \leq \frac{M}{R} \xrightarrow{R\to\infty} 0\)——处处 \(f' = 0\)。\(\blacksquare\)（对照实函数：\(\sin x\) 有界不常数——复平面上 \(\sin z\) 无界（复变 I），世界是自洽的。）

代数基本定理：复系数 \(n \geq 1\) 次多项式必有根。 证明三行（还高代 I 的欠条）：若 \(p(z)\) 无根，则 \(\frac{1}{p(z)}\) 是整函数；又 \(|p(z)| \to \infty\)（\(|z| \to \infty\)）故 \(\frac1p\) 有界；Liouville ⇒ \(\frac1p\) 常数 ⇒ \(p\) 常数，与 \(n \geq 1\) 矛盾。\(\blacksquare\)

最大模原理（陈述）：非常数解析函数的 \(|f|\) 在区域内部取不到最大值（最大值必在边界）——"解析函数内部不鼓包"；工程上界估计、唯一性论证的常客。Morera 定理（Cauchy 定理之逆，陈述）：连续且闭路积分全零 ⇒ 解析——"解析性的积分判据"，证明极限函数解析时的标准工具。

4. 典型例题

例 1（积分公式直取） \(\oint_{|z|=2}\frac{e^z}{z - 1}\,dz\)：\(z_0 = 1\) 在圈内，\(= 2\pi i\, e^1 = 2\pi i e\)。

例 2（高阶公式） \(\oint_{|z|=1}\frac{\cos z}{z^3}\,dz\)：\(n = 2\) 情形，\(= \frac{2\pi i}{2!}(\cos z)''\big|_0 = \pi i \cdot(-\cos 0) = -\pi i\)。

例 3（围道内外之分） \(\oint_{|z|=1}\frac{dz}{z^2 + 4}\)：奇点 \(\pm 2i\) 都在圈外——被积函数在圈内解析，Cauchy 定理直接给 \(0\)。动笔前先定位奇点——复积分的第一反射。\(\blacksquare\)

下一页：级数与留数——Laurent 展开给奇点分类，留数定理把"算围道积分"变成"数系数"，再反手收割一批实积分。