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数分 II · 一元微分学

主线一句话：导数是局部线性近似的斜率；中值定理链把"导数的局部信息"转化为"函数的整体性质"；Taylor 公式把线性近似升级为多项式近似。本页的主梁是 Fermat → Rolle → Lagrange → Cauchy 这条链，几乎所有应用（单调性、极值、凸性、洛必达）都挂在它上面。

学习层：切线到底承诺了多少精度？

1. 先把导数看成一个可审计的局部模型

在点 \(a\) 附近，导数不是“把曲线画直”的装饰，而是线性主部

\[ L_a(a+h)=f(a)+f'(a)h,\qquad f(a+h)=L_a(a+h)+o(h). \]

若 \(f\) 在邻域内二阶可导且 \(|f''|\) 有界，Taylor--Lagrange 余项进一步给出

\[ |f(a+h)-L_a(a+h)|\leq \frac{M}{2}h^2,\qquad \left|\frac{f(a+h)-f(a)}h-f'(a)\right|\leq \frac{M}{2}|h|. \]

前一条是函数值的线性化误差，后一条是割线斜率对导数的误差；不要把“差商趋于导数”误读成任意有限 \(h\) 已经等于导数。

2. 三项预测：先写下阶数与边界

  1. 当 \(f''\) 在 \(a\) 附近有界时，割线斜率与 \(f'(a)\) 的误差是 \(O(|h|)\) 还是 \(O(h^2)\)？
  2. 同一条件下，\(f(a+h)\) 与切线 \(L_a(a+h)\) 的误差是 \(O(|h|)\) 还是 \(O(h^2)\)？
  3. 对 \(|x|\) 在 \(0\) 与 \(x^2\) 在 \(0\)，能否不加条件地使用“导数”和“反函数导数为 \(1/f'\)”的口诀？

交互实验固定 \(f(x)=x^2\)、\(x^3\) 的光滑模型，再把 \(|x|\) 的尖角与 \(x^2\) 的零导数反例放进同一本账。先作答，才会揭示曲线、切线、割线和 \(h\) 减半时的观测阶。

3. 静态 fallback：默认模型的两本误差账

当 \(f(x)=x^2\)、\(a=1\) 时，\(f'(1)=2\)、\(L_1(1+h)=1+2h\)，并且

\[ \frac{f(1+h)-f(1)}h=2+h,\qquad f(1+h)-L_1(1+h)=h^2. \]

因此 \(h=0.1,0.05,0.025\) 时，割线误差分别为 \(0.1,0.05,0.025\)，线性化误差分别为 \(0.01,0.0025,0.000625\)。误差比在 \(h\) 减半时分别约为 \(1/2\) 与 \(1/4\)，这是当前解析模型的有限账本，不是对任意函数的无条件阶数证明。

无 JavaScript 时的静态读法：表中“割线误差”比较差商与真实导数；“线性化误差”比较函数值与切线；\(|x|\) 的导数栏应写“不存在”，\(x^2\) 在 \(0\) 的反函数差商则随 \(y\downarrow0\) 像 \(1/\sqrt y\) 发散。脚本揭示后可切换模型和步长，但每一行仍只对应所选解析模型。

模型 \(f'(a)\) \(h=0.1\) 的割线读数 \(h=0.1\) 的线性化误差 边界
\(x^2\) at \(a=1\) \(2\) \(2.1\)，误差 \(0.1\) \(0.01\) 一阶 / 二阶缩放
\(x^3\) at \(a=1\) \(3\) \(3.31\)，误差 \(0.31\) \(0.031\) 仍需 \(C^2\) 邻域控制
\(\lvert x\rvert\) at \(a=0\) 不存在 左 \(-1\)、右 \(+1\) 无单一切线 不可导，不能补一个导数
\(x^2\) at \(a=0\) \(0\) \(0.1\)，误差 \(0.1\) \(0.01\) 取 \(y=h^2\) 时，反函数差商 \(1/\sqrt y=1/\lvert h\rvert\) 发散

4. 定理假设与失效边界

  • 均值定理/Taylor 的条件：上述误差阶需要在包含 \(a\) 与 \(a+h\) 的邻域内有相应的连续性、可导性或二阶导数有界；单个网格上看到斜率并不提供这些条件。
  • 尖角不是“数值噪声”：\(|x|\) 的左右导数不相等，任何有限差分方案都只能报告方向依赖，不能制造经典导数。
  • 逆函数定理的非退化条件：一元公式 \((f^{-1})'(f(a))=1/f'(a)\) 要求局部一一对应并且 \(f'(a)\ne0\)。\(x^2\) 在 \(0\) 的右侧有逆分支 \(\sqrt y\)，但其导数发散；在整个邻域还不是一一映射。
  • 数值与定理分层：误差表和 SVG 是固定函数、固定步长的有限数值证据；“\(O(|h|)\) / \(O(h^2)\)”是带假设的定理级陈述，不能由一张表外推到不可导或更差正则性的函数。

5. 迁移与核对：换了条件，结论还在吗？

  1. 对 \(f(x)=\sin x\) 在 \(a=0\) 的切线，函数值误差和割线误差各是什么阶？是否与上面的二阶上界矛盾？
  2. 为什么 \(f(x)=x\) 在 \([0,1]\) 的最小值点 \(0\) 不满足 \(f'(0)=0\)？
  3. 设 \(f'(x)/g'(x)\) 没有极限，应该立即放弃求 \(f/g\) 的极限吗？给出本页之外的例子。
展开核对：上界不要求每个模型都恰好达到
  1. \(\sin h-h=-h^3/6+O(h^5)\)，故函数值误差为 \(O(|h|^3)\)，割线误差为 \(O(h^2)\)。这比一般 \(C^2\) 模型的上界更小；因 \(f''(0)=0\)，二阶项消失。
  2. \(0\) 是端点；只有一侧可行扰动，Fermat 的两侧差商夹逼不适用。
  3. 取 \(f(x)=x+\tfrac12\sin(2x)\)、\(g(x)=x\)，当 \(x\to+\infty\)，原比趋于 \(1\)，导数比 \(1+\cos(2x)\) 不收敛。法则的充分条件失效，不等于原极限不存在。

先修回链：极限与连续；继续到多元线性化和求根停止条件。

1. 导数与微分

定义 \(f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\)。等价说法（微分）：\(f(x_0 + \Delta x) = f(x_0) + A\,\Delta x + o(\Delta x)\)，\(A = f'(x_0)\)——可微 = 可用线性函数局部逼近，这个视角推广到多元时才是本体（数分 V）。

割线随 h 趋于 0 转成切线

图 2.1割线随 \(h\to 0\) 转成切线，斜率从差商 \(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) 趋于导数 \(f'(a)\)——"可微 = 局部线性逼近"的几何本相。

求导法则：四则、复合（链式法则 \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx}\)）、反函数（\([f^{-1}]{}' = 1/f'\)）、参数方程 \(\frac{dy}{dx} = \frac{y'_t}{x'_t}\)、隐函数（两边求导）、对数求导法（幂指函数 \(u^v\)）。

基本导数表（默写级）：\((x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha-1}\)，\((e^x)' = e^x\)，\((\ln x)' = \frac1x\)，\((\sin x)' = \cos x\)，\((\cos x)' = -\sin x\)，\((\tan x)' = \sec^2 x\)，\((\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)，\((\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}\)。

高阶导数：Leibniz 公式 \((uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}\)（形如二项式）。

2. 中值定理链（本页主梁）

中值定理：存在 c 使切线平行于割线

图 2.2Lagrange 中值定理：割线 \(a\to b\) 的斜率，必在某个内点 \(c\) 处被切线复现——\(f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)。

定理（Fermat 引理） \(x_0\) 是定义区间的内部极值点且 \(f'(x_0)\) 存在 \(\Rightarrow f'(x_0) = 0\)。思路：极大值处左差商 \(\geq 0\)、右差商 \(\leq 0\)，夹出 \(0\)。——"内部极值点导数为零"，一切优化的第一性原理。

定理（Rolle） \(f \in C[a,b]\)，在 \((a,b)\) 可导，\(f(a) = f(b)\) \(\Rightarrow \exists \xi \in (a,b),\ f'(\xi) = 0\)。思路：最值定理取到最值；若最值都在端点则 \(f\) 恒常；否则内部极值点用 Fermat。

定理（Lagrange 中值） \(f \in C[a,b]\)，\((a,b)\) 内可导 \(\Rightarrow \exists \xi \in (a,b)\)：

\[ f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a) \]

思路：对 \(F(x) = f(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x - a)\) 用 Rolle（把弦"扳平"）。用法心法：见到"\(f(b)-f(a)\) 与导数挂钩"就上它。

定理（Cauchy 中值） 双函数版：\(\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\)（\(g' \neq 0\)）。思路：对 \(F = f - \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g\) 用 Rolle。是洛必达法则的引擎。

推论：\(f' \equiv 0 \Rightarrow f\) 恒常；\(f' = g' \Rightarrow f = g + C\)（不定积分理论的根据）。

定理（L'Hôpital，单侧版本） 令 \(x\to a^+\)；\(f,g\) 在 \((a,a+\delta)\) 可导，且该区间内 \(g'(x)\ne0\)。若 \(f(x),g(x)\to0\)，或 \(|g(x)|\to\infty\)，并且 \(f'(x)/g'(x)\to L\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\}\)，则 \(f(x)/g(x)\to L\)。左侧和 \(x\to\pm\infty\) 有相应版本；双侧极限要两侧一致。分母趋于无穷的版本不要求分子也趋于无穷，但不能省去可导性和 \(g'\ne0\)。

每用一次都要重新验条件。反向推理不成立：当 \(x\to+\infty\)，\((x+\sin x)/x=1+\sin x/x\to1\)，而导数比 \(1+\cos x\) 在 \(0\) 与 \(2\) 之间振荡。这里的趋向必须写出；若改成 \(x\to0\)，原式和导数比都趋于 \(2\)，就不再是反例。能用等价无穷小或 Taylor 时，先比较所需余项阶数。

3. Taylor 公式

定理（Taylor） \(f\) 在 \(x_0\) 处 \(n\) 阶可导，则

\[ f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x - x_0)^k + R_n(x) \]

余项两种（用途不同，务必分清）：

常用 Maclaurin 展开（默写级，\(x \to 0\)）：

\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n), \qquad \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \]
\[ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots, \qquad \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots, \qquad (1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots \]

🔗 AI 衔接：一阶 Taylor 解释负梯度为何局部下降；固定步长的下降保证还要控制余项，它是梯度下降的重要依据（ai 课 04 讲）；二阶 Taylor + Hessian 是 Newton 法与凸优化的语言（数分 V、运筹页）。

4. 导数的应用

单调性：\(f' > 0\) 于区间 ⇒ 严格递增（Lagrange 直接得）。极值判别：一阶（\(f'\) 变号）；二阶（\(f'(x_0)=0, f''(x_0)>0\) ⇒ 极小）。

凸性：\(f\) 凸 \(\iff \forall \lambda \in [0,1]:\ f(\lambda x + (1-\lambda)y) \leq \lambda f(x) + (1-\lambda)f(y)\) \(\iff f'' \geq 0\)（若二阶可导）\(\iff\) 图像在任意切线上方。拐点：凸性改变的点。

定理（Jensen 不等式） \(f\) 凸，\(\lambda_i \geq 0, \sum \lambda_i = 1\)：

\[ f\Big(\sum_i \lambda_i x_i\Big) \leq \sum_i \lambda_i f(x_i) \]

思路：归纳，或对每点用"切线在下方"。它是一整族名不等式的母机：AM–GM（对 \(-\ln\) 用）、Cauchy–Schwarz、以及 🔗 信息论里 KL 散度非负（ai 课 07 讲交叉熵的地基）、期望的不等式（概率页）。

渐近线：水平（\(\lim_{x\to\infty} f\)）、垂直（无穷间断点）、斜（\(k = \lim \frac{f}{x},\ b = \lim(f - kx)\)）。函数作图五步：定义域→对称/周期→单调极值→凸性拐点→渐近线。

5. 典型例题

例 1（中值定理构造辅助函数） \(f \in C[0,1]\) 可导，\(f(0)=0, f(1)=1\)，证明 \(\exists \xi:\ f(\xi) + \xi f'(\xi) = 1\)。 解：观察 \(f + x f' = (xf)'\)，令 \(F(x) = x f(x) - x\)，则 \(F(0) = F(1) = 0\)，Rolle 给出 \(F'(\xi) = f(\xi) + \xi f'(\xi) - 1 = 0\)。心法：把目标式认成某个 \(F\) 的导数（常见模板：\(xf \pm x\)、\(e^{\pm x}f\)、\(e^{\lambda x} f\)）。

例 2（Taylor 算极限） 求 \(\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\cos x - e^{-x^2/2}}{x^4}\)。 解：\(\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)\)，\(e^{-x^2/2} = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{8} + o(x^4)\)，相减得 \(-\frac{x^4}{12} + o(x^4)\)，极限 \(= -\frac{1}{12}\)。（洛必达四连做这题是灾难——展开到"分母阶数"一步到位。）

例 3（Lagrange 余项证不等式） 证明 \(x > 0\) 时 \(e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2}\)。 解：\(e^x\) 在 \(0\) 处二阶 Taylor + Lagrange 余项：\(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{e^\xi}{6}x^3\)，\(\xi \in (0,x)\)，末项 \(> 0\)。\(\blacksquare\)

下一页：微分的逆运算与面积问题在微积分基本定理处会师——一元积分学。