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解几 II · 二次曲面
同样三个特征值，为什么能得到柱面、抛物面、直线甚至空集？本页把配方、主轴和截面连接起来：先判断整个方程，再判断一张切片。六类常见曲面是入口，零方向与一次项让分类完整。
学习层：符号、平移、主轴与截面各回答不同问题
1. 一个具体的椭球与截面
先看已经在主轴坐标中的曲面
它的二次矩阵特征值符号是 \(+,+,+\)，所以在右端为正且无退化的条件下是有界椭球。若加入中心 \(\mathbf c=(.4,-.3,.2)\)，方程写成
展开会出现一次项，配方只是把中心移回 \(\mathbf c\)，不会改变特征值符号。若主动绕世界 \(z\) 轴旋转曲面，世界主轴方向随之转动；本实验的二维坐标架随主轴一起转，因此轮廓不变，世界截平面读数会变化。
先回到开头未平移、未旋转的模型，在 \(z=s\) 的截面中，方程变为
因此 \(|s|<1/\sqrt3\) 时是椭圆，等号时退化为一点，超出时没有截点；这一张二维图只回答该平面里的问题。
2. 先预测：全局类型还是一张截面？
打开实验台前，先写下三个预测：
- 三个正特征值、右端为正的中心二次曲面，整体是有界还是会沿某个方向无限延伸？
- 平移配方会不会改变二次矩阵的特征值符号；旋转主轴会不会改变曲面本身？
- 对上式取 \(z=0,z=1/\sqrt3,z=1\)，三张截面分别是椭圆、点、空集吗？仅凭一张 \(2\)D 截图能否证明整个三维分类？
提交预测后，实验台才揭示特征值符号、中心与旋转后的主轴，以及指定平面的截面 SVG 和方程表。它会把“全局分类账”和“当前截面账”分开显示。
3. 正式桥：先配方，再旋转，最后切片
一般二次曲面写作
在非退化可中心化情形，解 \(A\mathbf c=-\mathbf b\) 后有
再取 \(A=Q\Lambda Q^\mathsf{T}\)，令 \(\mathbf x-\mathbf c=Q\mathbf y\)，就得到主轴方程 \(\sum_i\lambda_i y_i^2=\rho\)。特征值符号告诉我们正、负、零方向的供给；\(\rho\)、秩、一次项和切片位置共同决定实际是哪一种标准脸谱或退化情形。
JavaScript 失效时的静态 fallback：对 \(x^2+2y^2+3z^2=1\) 取水平截面，记 \(r(s)=1-3s^2\)。
| 截面 \(z=s\) | \(r(s)\) | 截面方程 | 实际截面 | 读取边界 |
|---|---|---|---|---|
| \(0\) | \(1\) | \(x^2+2y^2=1\) | 椭圆 | 只描述 \(z=0\) 这一片 |
| \(1/\sqrt3\) | \(0\) | \(x^2+2y^2=0\) | 一点 | 是退化截面，不是整面 |
| \(1\) | \(-2\) | \(x^2+2y^2=-2\) | 空集 | 不代表三维曲面为空 |
这里的表只针对未平移、未旋转模型。实验使用主轴切片 \(y_j=s\)，世界平面由 \(e_j^T(x-c)=s\) 给出。出现零特征值时，中心可能不存在，也可能不唯一，不能继续机械套用可逆矩阵公式。
4. 定理级结论与失败边界
- 定理级：实对称二次矩阵可正交对角化；在配方和主轴变换条件满足时，特征值符号、右端常数与秩共同给出曲面的全局分类。
- 层次边界：平移处理可消的一次项（核上非零一次项保留），旋转消交叉项并暴露主轴；两者都不是“看见一张截面图”本身。实际截面还要代入切平面方程并检查右端符号。
- 二维证据边界：一个或几个 \(2\)D 截面不能证明三维曲面的全局连通性、是否有第二片或是否沿某轴延伸；实验图是局部证据，不是分类定理。
- 退化边界：零特征值、零右端、奇异中心方程和退化截面需要单独处理。忽略一次项、切片位置或零方向，会把抛物面/柱面误认成椭球或双曲面。
1. 分类前先问：能否把一次项全部消掉？
空间中的一个二次方程可以写成
交叉项 \(2a_{12}x_1x_2\) 在矩阵两个对称位置各放 \(a_{12}\)。我们使用三维欧氏空间中的正交单位坐标；先取 \(A=Q\Lambda Q^T\)，令 \(x=Qy\)，再把 \(\beta=Q^Tb\) 代入：
对于每个 \(\lambda_i\ne0\) 的方向，可以配方
但 \(\lambda_i=0\) 时没有平方项可配。如果这个方向上 \(\beta_i\ne0\)，一次项就必须留下。这是抛物面与中心曲面的分界，不是“原方程里有没有一次项”的分界。
中心方程及其可解条件
平移 \(x=h+u\) 后，一次项系数是 \(2(Ah+b)\)。因此能消掉全部一次项当且仅当
对于对称矩阵，\(\operatorname{range}(A)=\ker(A)^\perp\)，所以条件等价于 \(b\) 在每个零特征方向上的分量均为零。若 \(A\) 可逆，中心唯一，\(h=-A^{-1}b\)；若 \(A\) 奇异且方程可解，所有中心为 \(h+\ker A\)，未必只有一个。这里“中心”指平移后多项式没有一次项的对称中心；空点集等极端情形不从点集对称性反推唯一中心。
以任意一个这样的 \(h\) 配方，可得
可逆时才可进一步写 \(\rho=b^TA^{-1}b-c\)。例如 \(x^2+y^2=1\) 的所有中心是 \(z\) 轴上的点；\(x^2+y^2-z=0\) 的零特征方向仍有 \(-z\)，没有中心，原点是顶点。零特征值本身既不意味着空集，也不意味着抛物面。
正交、旋转与拉伸的区别
\(Q^TQ=I\) 保持距离和夹角，允许旋转，也允许含反射的变换。通过改变一个特征向量的符号，可以选取 \(\det Q=1\) 的右手主轴架。重特征值对应子空间中的正交基不唯一，例如球面没有唯一的三条主轴。
把方程中的坐标改写为主轴坐标是被动换坐标，空间点集不动；固定世界坐标而改变 \(Q\)，则主动转动曲面，形状保持但位置方向可能改变。最后把 \(y_i\) 除以半轴长度是一般线性缩放，会改变度量，不能把“变成单位球”解释为原椭球本来就是球。参见主轴对角化的教材讲义。
2. 六类代表曲面：标准形与截面条件一起记
下表中 \(a,b,c>0\)，坐标已经平移、转到主轴。写“椭圆截面”时要同时说明切片高度，不能省略点和空集。
| 类型 | 标准方程 | 指定截面的完整结果 |
|---|---|---|
| 椭球 | \(u^2/a^2+v^2/b^2+w^2/c^2=1\) | \(w=s\)：\(\lvert s\rvert<c\) 是椭圆，等号一点，超出为空 |
| 单叶双曲面 | \(u^2/a^2+v^2/b^2-w^2/c^2=1\) | 任意 \(w=s\) 都是椭圆，半轴随 \(\sqrt{1+s^2/c^2}\) 增大 |
| 双叶双曲面 | \(u^2/a^2-v^2/b^2-w^2/c^2=1\) | \(u=s\)：\(\lvert s\rvert>a\) 是椭圆，等号一点，中间为空 |
| 椭圆抛物面 | \(w=u^2/a^2+v^2/b^2\) | \(w=s\)：正值椭圆、零一点、负值为空 |
| 双曲抛物面 | \(w=u^2/a^2-v^2/b^2\) | \(w=s\ne0\) 是双曲线；\(s=0\) 是两条相交直线 |
| 二次锥面 | \(u^2/a^2+v^2/b^2=w^2/c^2\) | \(w=s\ne0\) 是椭圆，\(s=0\) 是锥顶一点；过轴竖切可得直线对 |
三维连通性还需要理由。单叶双曲面可参数化为
参数域连通且映满整个曲面，所以它连通。双叶双曲面要求 \(u\ge a\) 或 \(u\le-a\)，连续路径不能越过中间的空区；每片可用 \((v,w)\) 连续参数化，因此恰好两片。锥面两瓣在锥顶相接，整个锥面连通；删掉锥顶后才分成两片。
这些代表方程与基本截痕可对照 OpenStax 二次曲面。
3. 一个真正包含退化情形的分类流程
完成非零特征方向的配方后，设 \(r=\operatorname{rank}A\)。只数正负号还不够：要看核上的一次项和剩余常数 \(\rho\)。
若核上的一次项不为零：在核内部再转动坐标，让它只沿一个方向出现，就能解出该方向坐标。
- \(r=2\)：两个非零特征值同号给椭圆抛物面，异号给双曲抛物面。
- \(r=1\)：一个平方方向和一个一次方向给抛物柱面，剩下一个方向可自由平移。
- \(r=0\)：方程实际降为一次，给出平面。
若核上的一次项为零：方程是 \(\sum_{i=1}^r\lambda_i y_i^2=\rho\)，零方向自由。可整体乘 \(-1\)，但必须同时改变右端；标准形右端归一为1以后才能使用“一负单叶、两负双叶”的口诀。
| 秩与符号 | 剩余常数的作用 | 实际点集 |
|---|---|---|
| \(r=3\)，正定 | \(\rho>0,=0,<0\) | 椭球、单点、空集 |
| \(r=3\)，不定 | \(\rho=0\) | 二次锥面 |
| \(r=3\)，不定 | \(\rho\ne0\) | 与 \(\rho\) 同号的特征值有两个则单叶，有一个则双叶 |
| \(r=2\)，正定于值域 | \(\rho>0,=0,<0\) | 椭圆柱面、一条直线、空集 |
| \(r=2\)，不定于值域 | \(\rho\ne0\) 或 \(=0\) | 双曲柱面，或两个相交平面 |
| \(r=1\)，正系数 | \(\rho>0,=0,<0\) | 两个平行平面、一个平面（重数2）、空集 |
| \(r=0\)，无一次项 | \(\rho=0\) 或 \(\ne0\) | 全空间或空集 |
表中的正定/正系数情形，若整体为负，先乘 \(-1\) 再读表。例如 \(x^2+y^2=0\) 在三维是一条直线，而 \(x^2-y^2=0\) 是平面 \(x=y\) 与 \(x=-y\) 的并集；不能把二维的“相交直线对”原封不动搬到三维。
“退化”也不只一种含义：矩阵 \(A\) 奇异、曲面上有奇点、某一个切片退化是不同判断。抛物面 \(x^2+y^2-z=0\) 的 \(A\) 奇异，但梯度 \((2x,2y,-1)\) 从不为零，曲面处处光滑；锥面梯度在锥顶为零；椭球本身光滑却可以有退化为一点的切片。
4. 截面应该从哪个坐标系代入？
若模型是 \(x=c+Qy\)，实验选择 \(y_j=s\)，那么世界坐标中的切平面是
截面另外两个坐标沿剩余两条主轴。改变旋转角时，曲面、切平面和绘图坐标一起转动，内在的二维轮廓当然不变；世界切平面的法向与常数会变化。实验同时显示这个世界平面，避免把坐标架不变的图误读成“旋转没有发生”。
例如 \((x-.4)^2+2(y+.3)^2+3(z-.2)^2=1\) 未旋转时，世界水平面 \(z=s\) 留下的右端是 \(1-3(s-.2)^2\)，截面中心为 \((.4,-.3)\)；主轴切片 \(w=s\) 则对应世界 \(z=.2+s\)，右端为 \(1-3s^2\)。二者不能共用同一个 \(s\) 而省略解释。
对任意切平面，可以取平面上一点 \(p\) 和两条正交单位基组成矩阵 \(B\in\mathbb R^{3\times2}\)，用 \(x=p+B\xi\) 参数化。代入原方程得到
这是一个二维二次方程，仍可用配方与旋转分类。它说明斜切也可处理，但实验只实现注明的主轴平行切片，并没有声称枚举所有斜切。
对切点按钮，\(w=1/\sqrt3\) 是符号定义，代入后右端精确为零；滑块输入只是有限精度数值，极近切点时仍可能是很小的椭圆或空集。本实验分开标记这两种输入，不用一个固定阈值把附近切片全部改成“点”。
5. 从生成曲面到直纹：曲面上为什么能铺直线？
方程缺少某个坐标意味着沿那个方向平移不变，点集是二维解集与 \(\mathbb R\) 的直积；二维解集可能是曲线，也可能是点或空集。齐次方程 \(F(tx)=t^dF(x)\) 的零集沿过原点的伸缩不变，形成广义锥。生成旋转面时，把到旋转轴的距离代入原平面曲线，还要保留原曲线的支和定义域；偶次方例子中正负号通常自动合并。
单叶双曲面 \(u^2+v^2-w^2=1\) 包含两族直线。固定 \(\theta\)，取任意实数 \(t\)：
前两坐标平方和为 \(1+t^2\)，恰好减去 \(w^2=t^2\)；所以整条直线都在面上，而非仅几个采样点。任意面上点都能落入两族中的各一条（可由其 \(w\) 反解 \(t\) 再旋回单位圆）。这给出直纹结构的代数证明。
双曲抛物面 \(w=u^2-v^2\) 令 \(p=u+v,q=u-v\)，化为 \(w=pq\)。固定 \(p\) 时 \((u,v,w)=((p+q)/2,(p-q)/2,pq)\) 对 \(q\) 一次，固定 \(q\) 同理，得到两族直线。这里变换后的 \(p,q\) 没有按单位长度归一，不能用其坐标差直接读原空间距离。这些直纹模型启发结构设计，但实际承载能力还需材料和力学分析。
6. 例题与迁移
截痕例： \(x^2/4+y^2-z^2/9=1\) 的每个水平截面都是椭圆；换成 \(x^2/4-y^2-z^2/9=1\) 后，必须 \(\lvert x\rvert\ge2\) 才有点，形成双叶。连通性的严格理由见上面的参数化与空区论证。
旋转例： \(xz\) 平面内双曲线 \(x^2/a^2-z^2/c^2=1\) 绕 \(z\) 轴生成 \((x^2+y^2)/a^2-z^2/c^2=1\)，为单叶；绕 \(x\) 轴则生成 \(x^2/a^2-(y^2+z^2)/c^2=1\)，为双叶。
主轴例： \(x^2+y^2+z^2+2xy=1\)，令 \(u=(x+y)/\sqrt2,v=z,w=(x-y)/\sqrt2\)，得到 \(2u^2+v^2=1\)，是沿 \(w\) 的椭圆柱面。缺失的变量对应原坐标方向 \((1,-1,0)\)，并非世界 \(z\) 轴。
题1： 分类 \(x^2+y^2+z^2+2xy-4x-4y+3=0\)，求全部中心和横截面的半轴。
展开推导
沿上一例主轴，方程为 \(2u^2+v^2-4\sqrt2u+3=0\)，配方得 \(2(u-\sqrt2)^2+v^2=1\)。因此是椭圆柱面，横截面半轴为 \(1/\sqrt2\) 与1。全部中心为 \(u=\sqrt2,v=0,w\) 任意，即 \((x,y,z)=(1,1,0)+t(1,-1,0)\)。一次项可以被消掉，所以“出现一次项就必是抛物面”在这里错误。
题2： 同样二次矩阵 \(A=\operatorname{diag}(1,1,0)\)，比较 \(x^2+y^2=1\)、\(x^2+y^2=0\)、\(x^2+y^2=-1\) 与 \(x^2+y^2-z=0\)。
展开推导
前三者分别是圆柱面、\(z\) 轴、空集；最后是椭圆抛物面。前三者核方向上没有一次项，第四式核上的 \(-z\) 不能配方消掉，中心方程不相容。它们有完全相同的特征值符号 \(+,+,0\)，因此惯性指数不是全局点集分类的全部资料。
题3： 对 \(w=u^2-v^2\)，求 \(w=0\) 的截面；再求 \(u+v=1\) 与 \(u+v=-1\) 两个斜平面留下的曲线。只画 \(w=0\) 能说明整张曲面是两个平面吗？
展开推导
\(w=0\) 给出 \(u=v\) 与 \(u=-v\) 两条直线。令 \(p=u+v\)，在 \(p=\pm1\) 上用 \(q=u-v\) 参数化，得到 \(((p+q)/2,(p-q)/2,pq)\)，各是一条直线；但整个面为 \(w=pq\)，不是两个平面。一个退化截面不能替代三维分类。实际上梯度 \((-2u,2v,1)\) 始终非零，鞍面没有由这两条截线“相交”造成的奇点。
下一页：群论。坐标变换保持哪些结构，会自然引出变换群与不变量。