抽代 I · 群论

抽象代数把"数的运算"抽象成"集合 + 运算满足的公理"，研究结构本身。第一站是群——"对称性的数学"：任何对象的全体对称操作天然成群。本页走完群论主干：子群、Lagrange 定理、正规子群与商群、同态基本定理——最后这个定理的形态你在高代 IV（商空间）见过，还会在环论再见，它是代数学的通用语法。

1. 从可以撤销的操作，走到群公理

把正方形绕中心逆时针转 \(90^\circ\) 记作 \(r\)。连续转动对应运算，转四次回到原位，即 \(r^4=e\)；反向转动是逆操作。我们关心的是每个操作如何作用于整个对象，而不只是“看起来相同”的一幅截图。

群是集合 \(G\) 配上二元运算 \(G\times G\to G\)，满足结合律、单位元和每个元素都有逆。运算已取值于 \(G\) 就包含封闭性；不要求交换。由公理立刻得到几个可用于计算的规则：

• \(ab=ac\) 时左乘 \(a^{-1}\)，得到 \(b=c\)；右消去同理。
• 两个单位元 \(e,f\) 必须满足 \(e=ef=f\)。若 \(b,c\) 都是 \(a\) 的逆，则 \(b=b(ac)=(ba)c=c\)。
• \((ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}\)，因为相乘后中间的 \(bb^{-1}\) 或 \(a^{-1}a\) 先消去；一般不能保持原顺序。

整数加法、模 \(n\) 加法、非零实数乘法、可逆矩阵乘法都是群。整数乘法不是群，因为2没有整数乘法逆。有限群的阶 \(|G|\) 是元素个数；元素 \(g\) 的阶是最小正整数 \(m\) 使 \(g^m=e\)，若不存在则称无限阶，例如整数加法群中的1。

置换为什么是基本模型？

本页约定 \(ab\) 表示先做右边的 \(b\)，再做左边的 \(a\)。在 \(S_3\) 中记 \(r=(123)\)、\(s=(12)\)，计算得

这显示两个可逆操作可以不交换。循环记号 \((123)\) 表示 \(1\mapsto2\mapsto3\mapsto1\)，不是三元数组相加。\(S_n\) 是 \(n\) 个标签的全部双射，群阶为 \(n!\)；本页记正 \(n\) 边形的二面体群为 \(D_n\)，其阶为 \(2n\)，以免与另一种把阶写入下标的约定混淆。

每个群都能作用于自身：令 \(L_g(x)=gx\)。它是双射，满足 \(L_gL_h=L_{gh}\)；若 \(L_g=L_h\)，在单位元处求值即得 \(g=h\)。因此 \(g\mapsto L_g\) 是到置换群的单同态，这就是 Cayley 定理；无限群对应无限集合上的置换群。

2. 子群与陪集：为什么每一块一样大？

非空子集 \(H\subseteq G\) 是子群，当且仅当 \(a,b\in H\Rightarrow ab^{-1}\in H\)。充分性的细节是：先取 \(a=b\) 得 \(e\in H\)，再用 \(e,b\) 得 \(b^{-1}\in H\)，最后把 \(b^{-1}\) 当成第二个元素得到 \(ab\in H\)。

循环子群 \(\langle g\rangle=\{g^k:k\in\mathbb Z\}\) 把所有整数幂收集起来。映射 \(\mathbb Z\to\langle g\rangle,k\mapsto g^k\) 是满同态；无限阶时是同构，有限阶 \(m\) 时两整数同像当且仅当相差 \(m\) 的倍数，得到 \(\langle g\rangle\cong\mathbb Z/m\mathbb Z\)。

左陪集 \(aH=\{ah:h\in H\}\) 的相等判据是

若两陪集有交点 \(ah_1=bh_2\)，则 \(b^{-1}a=h_2h_1^{-1}\in H\)，反过来即可推出两块相同。所以左陪集要么相等、要么不交，并覆盖 \(G\)。映射 \(h\mapsto ah\) 的逆是左乘 \(a^{-1}\)，故每块与 \(H\) 等势。

当 \(G\) 有限时，把块数记为指数 \([G:H]\)，便有 Lagrange 定理

因此元素阶整除群阶、素数阶群必循环；对素数 \(p\) 和 \(p\nmid a\)，在 \(\mathbb F_p^\times\) 中得到 \(a^{p-1}\equiv1\pmod p\)。无限群仍有陪集分划和等势结论，不能直接把无限基数当普通有限整数去做这些整除推论。可对照 MIT 陪集讲义。

逆向存在性必须另证：“某整数整除 \(|G|\)”并不保证存在该阶子群。素数阶的存在性由 Cauchy 定理保证，素数幂的最大部分则进入 Sylow 理论，见第5节。

3. 正规性：让块的乘法不依赖代表元

子群 \(H\) 总能产生集合 \(G/H=\{aH:a\in G\}\)，但想定义 \((aH)(bH)=abH\)，就必须允许任意换代表元而结果不变。

若 \(N\) 正规，即 \(b^{-1}Nb=N\)，取 \(a'=an_1,b'=bn_2\)，则

所以乘法良定义。反过来，若这套乘法良定义，\(nN=N=eN\) 就迫使 \(nbN=bN\)，从而 \(b^{-1}nb\in N\)；对 \(b^{-1}\) 再用一次得到集合相等。因此正规性恰好是由原群乘法诱导商群的充要条件。不是说非正规陪集集合绝不可能被人为装上一种别的群运算。

一个看得见的失败

在 \(S_3\) 中取 \(H=\{e,s\}\)。由于 \(eH=sH\)，若商乘法存在，拿 \(e\) 或 \(s\) 代表第一块，再乘同一个 \(rH\)，应该给同一块。但是

两块不同，说明失败发生在“选代表元”这一步。等价地 \(rHr^{-1}=\{e,(23)\}\ne H\)。实验把这两种证书都列出来，并在正规时显示实际商乘法表，而不只写一个“通过”。

交换群中每个子群都正规；指数为2的子群也必正规，因为对 \(g\notin H\)，左右陪集都等于 \(G\setminus H\)。子群正规不等于每个元素都与全群交换：\(A_3\trianglelefteq S_3\)，但非平凡三轮换不与换位交换。

第一同构定理：纤维就是陪集

若 \(\varphi:G\to K\) 是群同态，\(N=\ker\varphi\) 正规，因为 \(\varphi(gng^{-1})=e\)。而且

所以 \(\bar\varphi:G/N\to\operatorname{im}\varphi,aN\mapsto\varphi(a)\) 良定义且单射；按像的定义又满射，并保持乘法。因此

例如模2映射将 \(C_4\) 中的偶数归为一块、奇数归为一块，\(C_4/\{0,2\}\cong C_2\)。核是哪些操作被识别为单位元；有限群时每条非空纤维有 \(|N|\) 个元素，不能把“核的大小”不加条件地称为一般的距离或信息量。

4. 群作用：不同操作可能产生同一个结果

左作用是映射 \(G\times X\to X\)，满足 \(e\cdot x=x\) 与 \((gh)\cdot x=g\cdot(h\cdot x)\)。每个群元素都给 \(X\) 上一个双射；但作用不必忠实，即不同群元素可能对所有 \(x\) 都有相同效果。轨道和稳定子定义为

\(G_x\) 是子群。映射 \(gG_x\mapsto g\cdot x\) 是良定义的双射，因为 \(g\cdot x=h\cdot x\) 当且仅当 \(h^{-1}g\in G_x\)。所以轨道对应的是稳定子的陪集集合，不要求稳定子正规。有限群时得到

四个环形位置各染0或1，着色 \(0011\) 在旋转群 \(C_4\) 下有4个不同结果，稳定子只有单位元；着色 \(0101\) 的轨道只有两个结果，稳定子包含转0和转2步；全0的轨道只有一个结果，稳定子为整个 \(C_4\)。除以群阶之前，必须检查每个对象的稳定子是否一样。

Burnside 引理来自同一集合的两次数数

假设 \(G,X\) 都有限。对集合 \(T=\{(g,x):g\cdot x=x\}\)，先固定操作数不动点，再固定对象数稳定子：

同一轨道中的稳定子互相共轭，大小相同；该轨道对右边的贡献为 \(|Gx||G_x|=|G|\)。因此

对于 \(n\) 个位置的二色环，转 \(k\) 步把位置分成 \(\gcd(n,k)\) 个循环；要保持着色，每个循环内必须同色，所以不动点数为 \(2^{\gcd(n,k)}\)。\(n=4\) 时依次为16、2、4、2，平均得6个旋转轨道，而不是 \(16/4=4\)。实验完整枚举全部着色、轨道、稳定子和不动点，可与这个独立循环分解公式核对。

若允许翻折，要改用阶为 \(2n\) 的 \(D_n\)，不能只把旋转结果再机械除以2。翻折可能固定某些着色。这里的颜色0、1是有身份的，交换两种颜色不是默认允许的对称。

5. 有限群结构的下一座桥：共轭、Cauchy 与 Sylow

群对自身的共轭作用 \(g\cdot x=gxg^{-1}\) 的稳定子是中心化子 \(C_G(x)=\{g:gx=xg\}\)。把轨道分划按大小相加，得到类方程

其中每个非中心共轭类选一个代表。\(S_3\) 的三个共轭类是单位元、三个换位、两个三轮换，大小 \(1+3+2=6\)。这给后续表示论、特征标和守恒对称性分类提供语言。

Cauchy 定理：若素数 \(p\) 整除有限群阶，则存在阶为 \(p\) 的元素。一个能体现群作用的证明是看

前 \(p-1\) 项任取，末项唯一决定，故 \(|Y|=|G|^{p-1}\) 被 \(p\) 整除。循环移动元组仍保持乘积为单位元，因为移动后的乘积是原乘积的共轭。\(C_p\) 的轨道大小只能是1或 \(p\)；固定元组恰好是 \((g,\ldots,g)\) 且 \(g^p=e\)。于是这类元组数量也被 \(p\) 整除；既然包含单位元组，就至少还有一个非单位 \(g\)，其阶只能是 \(p\)。

更进一步，若 \(|G|=p^am\)、\(p\nmid m\)，Sylow 定理保证阶为 \(p^a\) 的子群存在，所有这样的子群共轭，其个数 \(n_p\) 满足 \(n_p\mid m\) 且 \(n_p\equiv1\pmod p\)；它唯一当且仅当正规。这组结论的完整证明需要进一步使用群作用，本页以 Milne《群论》第5章作为进阶阅读，不把小群枚举当成证明。

\(S_3\) 中三阶子群只有 \(A_3\)，二阶子群有三个，正好给出 \(n_3=1,n_2=3\)。反过来，\(A_4\) 阶为12却没有六阶子群：若有则指数2，从而产生非平凡满同态 \(A_4\to C_2\)；所有三轮换必须映到单位元，而三轮换生成 \(A_4\)：其余双换位也可写成两个三轮换的积，例如 \((12)(34)=(132)(134)\)。因此这个同态只能平凡，矛盾。这说明 Lagrange 的逆命题为何失败。

与物理的联系也要保留条件：Noether 定理联系的是适当可微的连续对称与作用量不变，不是任意一个有限对称操作都自动产生一条连续守恒律。在线性表示中，抽象群被送到可逆线性变换；等变模型满足 \(f(g\cdot x)=g\cdot f(x)\)，前提是输入、输出的作用都已明确。这些都是本页“作用与同态”的继续应用。

6. 三个例子与三道迁移题

\(\mathbb Z_{12}\) 中 \(\langle8\rangle=\{0,8,4\}\)，阶为 \(12/\gcd(12,8)=3\)；一般地，模 \(n\) 元素 \(a\) 的阶为 \(n/\gcd(n,a)\)，因为这是使 \(n\mid ka\) 的最小正整数 \(k\)。

模5映射 \(\mathbb Z\to\mathbb Z_5\) 的核是 \(5\mathbb Z\)，因此 \(\mathbb Z/5\mathbb Z\cong\mathbb Z_5\)。3个位置染2色且只允许旋转时，Burnside 给 \((8+2+2)/3=4\) 类，分别由 \(000,001,011,111\) 代表。

题1： \(C_4\) 与 \(V_4\) 都有4个元素，且各有商群 \(C_2\)，它们同构吗？

题2： 在 \(S_3\)、\(H=\{e,(12)\}\) 中，用 \(e\) 与 \(s=(12)\) 代表同一左陪集，分别右乘 \(r=(123)\)。两个结果落在同一左陪集吗？为什么这不违反陪集分划定理？

题3： 6个环形位置染2色，分别只允许旋转、允许旋转与翻折，有多少类？

下一页：环、域与 Galois 理论，把加法、乘法和保持它们的映射放在一起。