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时间序列 II · 非平稳、GARCH 与预测纪律

真实数据的三大额外挑战：趋势（非平稳——先处理再建模，否则伪回归吃人）、波动聚集（金融数据的方差本身在动——GARCH 的地盘）、评估（时序预测的验证纪律与截面数据完全不同）。本页每一节都直接对着金融数据与你的预测层。

1. 单位根与 ARIMA

随机游走 \(X_t = X_{t-1} + \varepsilon_t\)（AR(1) 的 \(\phi = 1\)，"单位根"）：方差 \(= t\sigma^2\) 线性发散、冲击永不消退（对比平稳 AR 的指数遗忘）——布朗运动的离散版（sde 线对账）。股价的对数近似随机游走（有效市场的弱式表述）；预测 \(\hat X_{t+h} = X_t\)：随机游走的最优预测就是"今天的值"——任何跑不赢这个 naive 基线的花哨模型都是负资产（预测实务第一军规）。

处理：差分。\(d\) 次差分后平稳则称 \(I(d)\)；对差分序列建 ARMA = ARIMA(p, d, q)（金融标配：对数价格 \(I(1)\) ⇒ 收益率 \(\Delta\ln P\) 平稳，一切建模在收益率上进行）。判别：ADF 单位根检验（\(H_0\): 有单位根/非平稳——注意方向：不拒绝 ≠ 证明非平稳，统计 IV 的老规矩）。趋势平稳（确定性趋势+平稳扰动，去趋势即可）与差分平稳（随机趋势，必须差分）是两种病要对症——误诊会造出人工相关。

2. 伪回归：时序统计的头号陷阱

现象（Granger–Newbold 实验）：两个独立的随机游走互相回归，约 75% 的概率得到"显著"系数、\(R^2\) 常高达 0.2+——全是幻觉：非平稳序列各自漫游产生的巧合趋势被回归当成了关系。

病理：统计 V 回归的 t 检验假设残差平稳，单位根序列违反前提——p 值失效（统计 IV"检验的前提"一课的惨案现场）。防身三则：回归前先验平稳性（ADF）；非平稳序列用差分/收益率回归；若确要在水平值上谈长期关系，走协整（两个 \(I(1)\) 序列的某线性组合平稳——"醉汉与狗"：各自漫游但不走散；配对交易的统计学基础，知其名与含义）。

🔗 研报防身术：宏观变量对资产价格的"显著相关"大多是水平值伪回归 + 多重检验（统计 IV）的合成品——看到回测/相关性结论先问三件事：平稳吗？几个假设检验里挑出来的？出样本验证了吗？

3. GARCH：给波动率建模

GARCH 波动聚集

图 2.1GARCH 捕捉"波动聚集"：大波动扎堆、平静期也扎堆——收益率序列（上）的波动 \(\sigma_t\)（下）自身有惯性。

金融收益率的三大典型事实：收益本身近似不可预测（ACF≈0）；收益的平方显著自相关——波动聚集（大波动扎堆出现）；分布尖峰厚尾（正态低估极端风险——B–S 页 IV 微笑的统计学根源）。

ARCH 的洞察（Engle，诺奖）：建模条件方差。GARCH(1,1)（实务九成场合够用）：

\[ r_t = \sigma_t \varepsilon_t, \qquad \sigma_t^2 = \omega + \alpha\, r_{t-1}^2 + \beta\, \sigma_{t-1}^2 \]

——今天的方差 = 底噪 + 昨天冲击的平方 + 昨天的方差（方差的 ARMA）。\(\alpha + \beta < 1\) 保平稳，长期方差 \(= \frac{\omega}{1 - \alpha - \beta}\)；\(\alpha + \beta\) 常估到 0.95+——波动的记忆很长（冲击半衰期数周）。副产品：即使 \(\varepsilon_t\) 正态，\(r_t\) 的无条件分布自动厚尾（方差混合——概率 III 的连续混合分布机制）✓ 典型事实全命中。

用途：波动率预测（风险管理 VaR、期权定价的 \(\sigma\) 输入——sde-03 对账：GARCH 预测的波动与期权 IV 的比较本身就是交易信号）；"收益不可测、风险可测"——时序分析在金融最诚实的结论。

4. 预测纪律（本页的实务收束）

  1. 切分必须按时间：训练在前、测试在后——随机切分让模型偷看未来（数据泄漏），回测虚高（forward-only 不是偏好是数学要求——你预测层的铁律在此是教科书条目）；
  2. 滚动评估：walk-forward（逐步扩窗/滑窗重估再预测下一步）模拟真实使用；
  3. 基线必须在场：naive（昨天值）、历史均值、季节 naive——跑不赢基线的模型没有存在权（§1 军规）；
  4. 区间随视野膨胀：报告点预测必配区间；长视野预测收敛到无条件分布（ts-01）——"模型的信息半衰期"要如实交代；
  5. 制度变化（regime change）：平稳性是局部假设——结构断点（政策、危机）之后旧参数作废；滚动窗口与"模型也会过期"的自觉是最后的防线。

5. 典型例题

例 1（差分定 d） 序列 ACF 衰减极慢近似线性 ⇒ 单位根嫌疑；一阶差分后 ACF 一步截尾 ⇒ ARIMA(0,1,1) 候选（= 简单指数平滑的统计身份，顺带认亲）。

例 2（GARCH 更新手算） \(\omega = 0.00001, \alpha = 0.08, \beta = 0.9\)，昨日 \(\sigma_{t-1} = 1\%\)、收益 \(r_{t-1} = -3\%\)（大跌）：\(\sigma_t^2 = 0.00001 + 0.08(0.0009) + 0.9(0.0001) = 0.000172\) ⇒ \(\sigma_t \approx 1.31\%\)——一次冲击把日波动率从 1% 抬到 1.31%，并将按 \(\alpha+\beta = 0.98\) 的速率缓慢消退。

例 3（伪回归自检设计） 用代码各生成两条独立随机游走各 200 点，回归看 t 值——重复 100 次统计"显著"比例（预期 ~3/4）；再对差分序列重跑（显著比例回落到 ~5% = 名义水平）。十行代码看清一个百年陷阱，值得真跑一次。\(\blacksquare\)

时间序列两页完工。最后一门：图论与组合——离散世界的计数与结构。