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学习路线 01 · 从 Schmidt 到变分扫描

建议顺序：张量网络与 Schmidt 谱 → MPS 范数与局部优化 → 四自旋往返扫描。Ising 奇偶谱提供精确对角化训练，但该课的周期边界不能直接套进本页开放链。目标是交出一份可复核的计算记录。

1. 四道入口题，分别检查四种能力

先在纸上作答，再展开答案。不要用“看过 MPS”替代以下具体证据。

入口题	应交的证据	卡住时回到哪里
A：Schmidt 权重为 0.9、0.1，截到 χ=1，平方保真度是多少？	分清振幅、权重和归一化截断态	Schmidt 与截断
B：ψ=Wa 时，a†a=1 能保证物理态归一吗？	写出正确分母，并给出 N=I 的条件	范数与局部优化
C：四站开放链有几条最近邻键？更新第 2 站应使用哪个第 1 站？	Hamiltonian 与更新顺序明确	往返扫描
D：局部残差为零，能宣布全局最优吗？	同一表示家族内的反例	扫描中的坐标陷阱

入口核对与回课建议

A：丢弃权重 ε=0.1；归一化截断态与原态的 overlap amplitude 为 \(\sqrt{0.9}\)，平方保真度为 0.9。B：不能；物理范数是 \(a^\dagger W^\dagger Wa\)，W 的列正交归一时 N=I。C：三条键；第 2 站必须使用刚更新后的第 1 站。D：不能；g=1、全体角度为 0° 时，每站都停住，但把全体角度改成 30° 就得到更低能量，仍是 χ=1 的态。

若 A、B 不会解释，先补相应页面再做下面的联合作业；若只在 D 卡住，从本页第三站开始，并保留同一模型和单位。

把表示容量、坐标规范和能量优化分开记录，最后共同进入扫描验收；每一步标明能证明与不能证明的结论。

2. 先登记约定，避免把不同实验拼成一个系统

符号或操作	本路线约定	容易混淆的地方
σᵢ 与 pᵢ	Schmidt 系数与其平方，pᵢ=σᵢ²	熵用 pᵢ，丢弃权重也用 pᵢ
F 与 F²	归一化态的重叠模与平方保真度	不把两种口径都简称“保真度”
χ	MPS 虚拟键维数	改坐标不增加 χ，QR 不等于截断
ϑ	下文两维坐标模型的基矢夹角	原实验滑块记 θ；它不是自旋 Bloch 角
φⱼ、θ	扫描态的各站 Bloch 角、统一初始角	单自旋振幅里用半角 φⱼ/2
X、Z	Pauli 矩阵，本征值 ±1；J=1	若改用自旋算符 S=σ/2，要同步改系数

第一站检验表示，第二站检验坐标，第三站才优化四站能量。它们承担不同任务：第二站的两维 Hamiltonian 不是第三站四自旋 Hamiltonian 的同一个局部块，不能把两个实验的能量直接比较。

3. 第一站：一条切口上的误差能告诉你多少？

给归一化态

\[|\psi\rangle=\sqrt{0.9}|00\rangle+\sqrt{0.1}|11\rangle.\]

交卷要求。 写 χ=1 的未归一化截断态和归一化截断态，计算两种误差。解释能否据此得到任意 Hamiltonian 下的精确能量误差。

第一站题解：两种误差不能混用

未归一化截断态为 \(|\tilde\psi\rangle=\sqrt{0.9}|00\rangle\)，其范数平方为 0.9，与原态的差范数平方为 ε=0.1。归一化后为 \(|\hat\psi\rangle=|00\rangle\)，所以

\[F=|\langle\psi|\hat\psi\rangle|=\sqrt{0.9},\quad F^2=0.9, \quad\|\psi-\hat\psi\|^2=2-2\sqrt{0.9}\approx0.102633.\]

截断丢弃权重 ε 与归一化后的态差范数平方不是同一个量。能量误差还依赖 Hamiltonian；仅凭 ε 不能报出一个通用的精确能量差。对长链也不能只检查一个切口便宣布所有切口都可精确表示；连续截断的误差需另作估计。

4. 第二站：让坐标变差，物理问题应不应该变？

固定

\[H_0=\begin{pmatrix}-1&-\lambda\\-\lambda&1\end{pmatrix}, \quad R=\begin{pmatrix}1&\cos\vartheta\\0&\sin\vartheta\end{pmatrix}, \quad N=R^TR,\quad H_{\rm eff}=R^TH_0R.\]

交卷要求。 令 λ=0，分别在 ϑ=90°、60°、30° 检查最低物理能量是否改变。列出 N 的条件数，解释 ϑ=0° 为何不属于同一可逆换坐标问题。

第二站题解：不变的是 Rayleigh 商的最小值

只要 \(\sin\vartheta\ne0\)，令 y=Ra，就有

\[\frac{a^T H_{\rm eff}a}{a^TNa}=\frac{y^TH_0y}{y^Ty}.\]

λ=0 时，三个角度的最低物理能量都为 −1。\(\kappa_2(N)=(1+\cos\vartheta)/(1-\cos\vartheta)\)，因此分别为 1、3、\(7+4\sqrt3\approx13.9282\)。条件数变大不等于真实基态变低。

ϑ=60° 时忽略 N 得到普通最低本征值 \((−1−\sqrt{13})/4\approx−1.151388\)，违反 −1 的变分下界，原因是分母错误。ϑ=0° 时 R 降秩，不能再用可逆变换论证。实际数值实现还应检查近线性相关方向和分解稳定性。

先作预测，再核验。 本实验滑块用 θ 表示上文的坐标夹角 ϑ，λ 表示两维耦合。默认 θ=60°、λ=0.5：正确最低能量 −1.118034，忽略 N 的数值约 −1.541275，错误候选的实际能量约 −1.074769。请先把 λ 改为 0，再检查 90°、60°、30°。本题静态答案已列在上方。

无脚本时，按上方输入约定和可展开的完整题解核对静态计算。

5. 第三站：用新参数完成一次扫描记录

以下固定四站开放链

\[H=-\sum_{j=1}^3X_jX_{j+1}-g\sum_{j=1}^4Z_j,\qquad g=1.5.\]

取 χ=1 的实乘积态，\(x_j=\sin\phi_j,z_j=\cos\phi_j\)。初始全体 θ=60°。交卷要求。 独立算出初始能量、第 1 站更新及更新后的完整能量，再运行两轮，记录轮数、残差与精确参照。另从 θ=0° 重跑。

第三站题解：先手算一站，再核对整个运行

初始 \(x_j=\sqrt3/2,z_j=1/2\)，所以 \(E=-3(3/4)-1.5(4/2)=-5.25\)。第 1 站仅有一个邻居，\(b_1=\sqrt3/2\)，局部最低本征值为

\[-\sqrt{b_1^2+g^2}=-\sqrt3,\quad x_1^{\rm new}=1/2,\quad z_1^{\rm new}=\sqrt3/2.\]

未涉及第 1 站的两条键贡献 −1.5，后三站横场贡献 −2.25，所以 \(E_{\rm env}=-3.75\)。完整能量为 \(-3.75-\sqrt3\approx-5.482050808\)。第 2 站接着使用 \(b_2=1/2+\sqrt3/2\)，不能仍用原始的 \(\sqrt3\)。

每轮顺序为 1→2→3→4→4→3→2→1。独立参照记录如下，数值单位都是 J：

g	初始 θ	轮数	最终能量	局部更新残差	同一模型的精确 E₀
1.5	60°	2	−6.009574551	0.024270313	−6.503891557
1.5	60°	8	−6.014395827	0.000943418	−6.503891557
1.5	0°	2 或 8	−6	0	−6.503891557

θ=0° 的残差虽更小，能量却更高。θ=60° 的两轮结果已经在同一 χ=1 家族中反驳了“零残差就是族内最优”。它仍未达到精确基态；单靠剩余能量差，无法分离表示限制和优化未完成的贡献。

复现实验。 默认是 g=1、θ=30°、两轮，最终能量 −4.403606895。请改为本题 g=1.5、θ=60°、两轮，再比较 8 轮及 θ=0°。记录输入后再记录输出，避免把默认设置的数值当作新题答案。无脚本时可用上表与第一站手算核验。

无脚本时，按上方输入约定和可展开的完整题解核对静态计算。

6. 退出题：统一转动没有降能，是否排除了陷阱？

仍取 g=1.5，从全体 φⱼ=0 出发。若只测试统一小角 φ，

\[E(\phi)=-3\sin^2\phi-6\cos\phi=-6+\tfrac34\phi^4+O(\phi^6).\]

统一小转动没有降低能量。现在独立判断：这能证明该点对所有乘积态扰动都是局部最小值吗？ 提示：四个站点不必转相同角度。

退出题推导：邻接矩阵给出漏测的下降方向

令四个小角组成向量 φ，展开完整能量：

\[E(\boldsymbol\phi)=-4g+\frac g2\sum_{j=1}^4\phi_j^2-\sum_{j=1}^3\phi_j\phi_{j+1}+O(\|\boldsymbol\phi\|^4) =-4g+\tfrac12\boldsymbol\phi^T(gI-A)\boldsymbol\phi+O(\|\boldsymbol\phi\|^4),\]

其中 A 是四顶点路径的邻接矩阵，仅 \(A_{j,j+1}=A_{j+1,j}=1\)。记 \(\tau=(1+\sqrt5)/2\)，取 \(v=(1,\tau,\tau,1)^T\)。逐项乘法给出

\[Av=(\tau,1+\tau,1+\tau,\tau)^T=\tau v,\]

因为 \(\tau^2=1+\tau\)。因此沿 φ=δv，二次能量改变量为 \(\tfrac12\delta^2(g-\tau)\|v\|^2\)。g=1.5 小于 τ≈1.618，所以足够小的非零 δ 会降能。δ=0.1 rad 时，直接计算得到 E≈−6.003946243，已低于 −6。

这说明统一方向的检查漏掉了非均匀方向。单站、统一多站、任意联合扰动是不同的检验范围。实验滑块只指定统一初始角，不能直接输入这组非均匀初值；本题的下降方向由上面的显式能量式手算或自行编程核验。

增大横场后，能否给出真正的族内最优证书？

退出题用了路径邻接矩阵的最大本征值 \(\tau\)。现在把 \(g\) 改成 1.7。仅说 Hessian 为正，还只能得到局部判断；但本模型可以另作一个适用于所有乘积态的能量界。

对每站归一化纯态，令 \(x_j=\langle X_j\rangle,z_j=\langle Z_j\rangle\)。允许复振幅时仍有 \(x_j^2+z_j^2\le1\)，故 \(1-z_j\ge x_j^2/2\)。再用实对称矩阵的最大本征值界，

\[\begin{aligned} E+4g&=g\sum_j(1-z_j)-\tfrac12 x^TAx\\ &\ge\tfrac12(g-\tau)\sum_jx_j^2. \end{aligned}\]

因此当 \(g\ge\tau\) 时，所有四站乘积态都有 \(E\ge-4g\)，而全体向上的 \(Z\) 态恰好达到该值。\(g=1.7\) 时 \(E=-6.8\) 确为整个 χ=1 家族的全局最小值；这个证明也覆盖实验未参数化的复乘积态。它没有证明该态是完整 Hilbert 空间中的精确基态。

这一证书来自模型的能量不等式，不能由“扫描停住”替代。可把四站路径换为 \(L\) 站开放链，自行用 \(v_j=\sin[\pi j/(L+1)]\) 核对最大本征值 \(2\cos[\pi/(L+1)]\)；同一界给出相应的乘积态阈值。周期边界的邻接矩阵不同，需要重新计算。

7. 最后提交什么，怎样判断需要回课？

交一份包含以下四项的记录，不以“跑了很多轮”代替论证：

表示记录：σ、p、χ、截断前后归一化与误差口径；第一站的两个误差必须分开。
坐标记录：N 与 H_eff 使用同一个 W；说明 QR 保持态与 SVD 截断改变态的区别。
运行记录：Hamiltonian、边界、单位、初态、更新顺序、轮数、完整能量和残差；精确参照必须属于同一个系统。
结论边界：给出族内反例，解释为什么稳定能量或零残差不足以保证全局最优，以及单一扰动方向会漏掉什么。

若截断误差混淆，回第一站；若能量低于精确下界，先核查范数和模型；若残差小但不同初值给出不同能量，回第三站；若只测试一种方向就宣布局部最优，重做退出题。

隔两三天闭卷复测：把 g 换成 1.6，用同一个 v 判断全零初态是否仍有联合下降方向。再说明这和单站更新停住是否矛盾。答案的关键是 1.6<τ，而不是机械重复 g=1.5 的数值。自行保存初答、错误理由与复测日期；本页不采集作答，也没有据此测出学习效果。

速查与下一步

完成本路线说明你能复核最小 MPS 优化链。一般 χ 还需要左右环境收缩、有效 Hamiltonian 作用、两站点更新、截断误差与收敛检查，不能由 χ=1 扫描自动覆盖。进一步读 Schollwöck 的 MPS／DMRG 综述，或返回张量网络课对照每一步的位置。

继续计算：MPS 环境与八维中心求解。

继续训练：两站点更新与 SVD 截断把环境、规范与 Schmidt 分解合在一次可复算更新中，并比较截断前后的物理能量。

继续训练：两站点完整往返逐步重建当前态的块基，记录候选接受与拒绝，并用非零残差识别能量停滞。

后续实现训练：正交中心与环境缓存，从完整小系统的验证走向真正存储与收缩 MPS 张量。

后续计算：MPO与Krylov把算符也组织成张量，通过 Hv 接口接回缓存扫描；显式局部残差与SVD丢弃权重分开检查。

后续诊断：全链方差与初态用双层MPO测H²，比较四个初态；两站点零方差激发态解释为何局部残差不能充当基态证书。