粒子 V · 对撞机、探测器与统计证据

探测器看到的是留下的信号；粒子性质需要重建和检验

屏幕上的一个峰并不自带“新粒子”标签。我们先从轨迹、能量沉积等读数重建对象，再计算质量等变量，最后比较不同物理假设预测的分布。每一步都可能丢失信息、引入偏差，也提供可以独立校准的量。

本页实验分成两个明确的教学设置。第一部分生成有真值标签的固定条数模板，用来观察四动量、响应和选择；第二部分单独指定信号区与控制区的观测计数，用来研究推断。改变模板中的“信号条数”不会改变下方计数似然。这种分开能避免把模拟里已经知道的答案，当成数据本身告诉我们的结论。

1. 束流能量、部分子碰撞和可见末态

在质子对撞中，硬散射的入射对象通常是携带动量份额 \(x_1,x_2\) 的部分子。忽略质子质量、取共线入射时，部分子质心能量满足 \(\hat s=x_1x_2s\)；这里 \(s\) 是两束质子的总质心能量平方。即使每次束流能量相同，硬散射能量也会变化。

对适用的硬过程，可示意写成因子化形式

\(f_a\) 是部分子分布，\(\hat\sigma_{ab}\) 是相应硬过程的截面；因子化尺度 \(\mu_F\) 和重整化尺度 \(\mu_R\) 在有限阶计算中留下理论不确定度。它还不是探测器输出：辐射、强子化、衰变和探测器响应都会影响重建对象。喷注算法和选择条件也是观测量定义的一部分。

一个有用的顺序是“硬散射预测 → 粒子级末态 → 探测器信号 → 重建对象 → 选择后的数据”。理论和数据比较必须约定处于哪一层，以及如何连接两层。本页的两对象模板直接从理想末态开始，不模拟部分子分布、喷注簇射或强子化。

2. 为什么横向量特别有用

束流沿 \(z\) 轴。入射部分子的纵向动量份额未知，但理想共线碰撞的初始总横动量为零；这使横动量平衡成为有用线索。真实分析还须处理初态辐射、束流效应、额外碰撞及未完全测量的能量。

用 \(p_T=\sqrt{p_x^2+p_y^2}\)、方位角 \(\phi\)、快度 \(y=\frac12\ln[(E+p_z)/(E-p_z)]\) 描述对象。赝快度 \(\eta=-\ln\tan(\theta/2)\) 只依赖方向。只有无质量极限才有 \(y=\eta\)。 对质量不能忽略的对象，应使用 \(E=m_T\cosh y\)、\(p_z=m_T\sinh y\)，其中 \(m_T=\sqrt{m^2+p_T^2}\)。

本实验的两个对象按无质量处理，四动量按 \([E,p_x,p_y,p_z]\) 保存：

共同纵向boost使每个快度增加同一个数，横动量与方位角保持不变。两对象的快度差也不变；但它们可能被推到探测器覆盖范围之外。运动学不变量和探测器接受度是两种不同的性质。

3. 不变质量：从四动量内积推导，而不从峰形猜测

对两个无质量对象，\(m_{12}^2=(p_1+p_2)^2=2p_1\cdot p_2\)。把上一节的分量代入，用 \(\cosh a\cosh b-\sinh a\sinh b=\cosh(a-b)\)，得到

这不是额外的经验公式，而是同一个四向量内积的另一种写法。实验同时保存两种计算，便于核对符号、角度约定和数值舍入。若对象有不可忽略的质量，则要保留相应质量项并使用快度。

自己检查：取 \(p_{T1}=p_{T2}=50\) GeV，\(\eta_1=\eta_2=0\)，\(\Delta\phi=\pi\)。再整体施加 \(y=1\) 的纵向boost，质量和总能量分别怎样变化？

实验的共同boost对照固定两体方向 \(\eta^*=\pm0.7\)、\(p_T=M/(2\cosh0.7)\)；扫描共同快度 \(-2\) 到2。模板事件的方向则从另一套明确的分布生成，不要把这条对照曲线误当模板里每条事件的轨迹。

4. 探测器怎样测量：每种读数约束什么

带电粒子在磁场中的弯曲帮助测量动量与电荷符号。对均匀轴向磁场，垂直磁场的轨迹半径近似满足 \(p_T[\mathrm{GeV}/c]\simeq0.2998\,|q/e|\,B[\mathrm T]R[\mathrm m]\)。追踪器实际拟合多点轨迹，同时处理材料中的多重散射、能损和对准误差。高动量轨迹曲率很小，测量微小弯曲会更困难。

量能器通过簇射和能量沉积估计能量。电磁与强子响应、非补偿性、死材料和泄漏等因素都可能影响结果。常见分辨率参数化 \(\sigma_E/E=a/\sqrt{E}\oplus b\oplus c/E\) 是选定能量单位与适用范围中的经验表达，\(\oplus\) 表示平方和开根号；它不是所有探测器通用的精确公式。缪子系统、粒子鉴别和时间信息还提供互补约束。原理与具体实现可查 PDG加速器实验探测器综述。

缺失横动量定义为重建可见对象总横动量的负值：

中微子可以产生真实的可见动量不平衡；测量偏差、未覆盖区域和错误重建同样可以。本实验的两体真值横动量平衡，但两个响应不同就会产生非零重建缺失横动量，完全不需要加入不可见粒子。

5. 正响应模型：pT无偏为何仍能造成质量偏差

为避免简单高斯扰动给出负动量，本实验取独立标准正态数 \(z_1,z_2\)，对每个对象使用正响应

\(r\) 是单对象响应对数的标准差，由滑块整数除以100得到；\(c\) 是共同校准百分比。响应自身的相对标准差是 \(\sqrt{e^{r^2}-1}\)，并不严格等于 \(r\)。由于 \(E[e^{rz}]=e^{r^2/2}\)，这里 \(E[R_i]=1\)。\(g=1\) 时每个 \(p_T\) 的均值无偏。

本模型保持方向不变，所以由质量公式直接得到 \(m_{\rm rec}=gM\sqrt{R_1R_2}\)。于是

展宽、共同能标移动和非线性变换的均值偏移已经是三件不同的事。上述质量分布还假定两个响应独立、角度精确且没有施加选择；真实探测器可能需要相关响应、角分辨率和非高斯尾。

6. 响应矩阵、接受度和丢失的事件

对真值质量 \(M_j\)，响应矩阵元素可定义为 \(R_{ij}=P(m_{\rm rec}\in I_i\mid M_j)\)。本实验的质量区间是 \([20,500)\) GeV内48个宽10 GeV的格，另保留下溢和上溢。对数正态核用累计分布在格边界的差精确积分；\(r=0\) 时退化为位于 \(gM_j\) 的点质量，不能继续除以零宽度。

实验另施加严格条件：两个对象均满足 \(|\eta|<\eta_{\max}\) 且 \(p_T^{\rm rec}>10\) GeV。这会改变分布和通过率。响应核图尚未包含这些条件，所以不要把它直接乘模板总条数后当成已选事件预测。一般可以定义联合矩阵 \(A_{ij}=P(m_{\rm rec}\in I_i,\text{通过选择}\mid M_j)\)，将损失事件列为额外输出类别，或使可见列和等于相应效率。

简化的预测计数可以写成 \(\mu_i=\sum_j A_{ij}t_j+b_i\)。\(t_j\) 是真值层的期望计数，\(b_i\) 是重建层背景；若使用 \(\mathcal L\sigma_j\) 替代 \(t_j\)，必须约定积分亮度、截面、分支比和相空间范围。\(\mu_i\) 才是统计模型的均值，模拟事件的固定条数本身不必等于它。

自己检查：若响应矩阵所有可见格的概率只加到0.85，这一定是程序算错了吗？

模板背景取20至500 GeV内正规化的截断指数分布，通过逆累计分布生成；没有把超过边界的样本硬压在某个质量上造成人工峰。每个事件固定消耗四个伪随机数，随机流和真值标签均可下载。

分箱统一采用左闭右开区间。浮点计算可能把理论上恰好等于100的质量算成99.99999999999999；只有距离边界不超过 \(128\epsilon\max(1,|m|)\)（数值质量以GeV表示）的分类值才对齐到边界，\(\epsilon=2^{-52}\)。原始四动量、质量和微调量仍完整保留，这个机器精度规则不改变物理响应。诊断窗口也采用同样规则，并且只统计模板。

7. 控制区：背景期望是参数，观察次数是数据

现在开始一个独立的计数实验。设信号区观察到 \(n\) 条，控制区观察到 \(m\) 条，信号期望为 \(s\ge0\)，信号区背景期望为 \(b\ge0\)。控制区被假定不含信号，且其背景期望为 \(\tau b\)，其中 \(\tau>0\) 精确已知。两区独立时，联合似然为

这里两个Poisson项相乘，不是相加。\(\ell\) 的“常数”只指固定数据下与参数无关的阶乘项。计算采用 \(0\ln0=0\) 的连续约定；若正计数对应零均值，则该模型给零概率，\(\ell=-\infty\)。

控制区告诉我们 \(b\) 的信息，却不让 \(b\) 突然变成精确常数。把 \(m/\tau\) 直接代入并冻结，会丢掉有限控制区的计数不确定度。若 \(\tau\) 有不确定度、控制区有信号污染或两区不独立，还要扩展联合模型。这些假设可对照 Cowan等的计数实验示例，式94至97 与 PDG统计学综述的控制测量及profile似然。

8. Profile似然：每个信号假设都重新拟合背景

在物理约束 \(s,b\ge0\) 下，联合最大似然估计为

本实验的曝光比由整数 \(t_\tau\) 给出，\(\tau=t_\tau/10\)，因此先用整数交叉乘积 \(n t_\tau\le10m\) 判断是否在 \(s=0\) 边界，再计算浮点似然。例如 \(n=55,m=484,t_\tau=88\) 满足精确等式，信号估计严格为0；不能由 \(n-m/\tau\) 的微小舍入残差把它标成内部点。

后一种情况的最优点在 \(s=0\) 边界。观察到比背景估计更少的事件，不应强行报告一个负的信号期望；但亏损本身仍是数据，不能删除。

固定某个 \(s\) 时，让背景取使 \(\ell\) 最大的 \(\hat b(s)\)，称为profile。令内部驻点的导数为零，\(n/(s+b)+m/b-(1+\tau)=0\)；乘开得到

取非负根并检查边界即可得到 \(\hat b(s)\)。程序根据符号改用等价的稳定根式，避免两个接近的大数相减丢失精度。profile曲线是 \(q(s)=2[\ell(\hat s,\hat b)-\ell(s,\hat b(s))]\)。它对干扰参数做最大化；贝叶斯边缘化则要指定先验并积分，两者不是同一操作。

9. 精确条件检验与渐近Z为什么不必相等

检验零信号假设 \(H_0:s=0\) 时，\(n,m\) 是均值分别为 \(b,\tau b\) 的独立Poisson计数。给定总数 \(N=n+m\)，背景强度 \(b\) 消去：

这是针对信号区过量的条件二项上尾。它在这些模型假设下适用于有限样本；“精确”指使用相应有限样本分布，不表示离散检验恰好在所有显著性阈值上取等号，也不表示计算机没有舍入误差。实验用对数概率和log-sum-exp求极小尾部，并保留完整概率项及自然对数。

另一条常用路线从发现统计量 \(q_0\) 出发。在适当的大样本正则条件和单侧边界处理下，常用 \(Z_{\rm asym}=\sqrt{q_0}\)，再给正态上尾 \(1-\Phi(Z_{\rm asym})\)。本页同时展示它和精确条件尾，不把前者冒充后者的精确换算。当 \(\hat s=0\) 时实验设 \(q_0=0\)，其正态映射为0.5；这只是所展示的渐近约定。

10. 多重搜索、校准数据与发现声明

如果先观察许多质量窗口，再挑最高的峰报告，搜索规则已经改变了问题。单窗口局部p值不等于“整段质量范围中至少出现一次同等异常”的全局p值。

作为可计算的对照，若恰有20个独立、同分布的连续检验，在固定局部阈值 \(p\) 下，全局概率为 \(1-(1-p)^{20}\)；不要求独立的Bonferroni上界为 \(\min(1,20p)\)，前提是各局部p值有效。对于离散检验，该独立公式是把单次越阈概率当成 \(p\) 的示例；实际离散越阈概率可能小于名义阈值。实验以当前尾概率为示例输入，并没有执行20次真实扫描。

实际滑动窗口往往高度相关，不能直接用“窗口数量”套独立公式。可以在背景假设下模拟完整流程，每份伪数据都重复相同的扫描、优化和选择，比较最大统计量的分布。若分析方法利用数据调参，校准流程也需要包含相应选择，或保留独立数据作验证。

系统误差不是把一个误差条随意加到p值上。能标、分辨率、背景形状、效率和理论预测可以作为干扰参数进入联合模型，由校准样本约束；模型失配仍需要额外检验。一个可靠的结果要说明数据范围、预先规定的搜索规则、参数约束和验证样本。

11. 六张图和一个可复现实验

先读完整四道预测，再显示结果。质量图比较生成真值、全部重建与通过选择的分布；boost图检查内积；响应图给每格条件概率；profile图比较背景处理；计数图比较两种尾概率；条件分布图把上尾的每一项显示出来。每张图都有完整表，超出图幅或显示阈值的数据也可下载。

建议依次运行零宽度、宽响应、共同校准、boost与窄接受度预设，分别改变一项。接着保持模板不动，比较默认计数、亏损、空计数、零控制区和极小尾预设。最后选择空模板，确认计数实验仍给出同一结果：它由独立输入 \(n,m,\tau\) 定义。

12. 走向前沿：把新方法放在可检验的分析链中

完成这些基础后，可以进入端到端重建、可微探测器模拟、基于模拟的推断、异常检测和开放数据再分析。这些方向并不免除校准：近似模拟需要检查覆盖的相空间与分布外行为；分类器输出需要说明训练样本、背景模型和统计校准；异常分数高不自动等于发现了新物理。

一个循序渐进的项目是将本页质量核扩展为含接受度的联合响应，先用已知真值做闭合检验，再加入一个有明确控制样本的能标干扰参数，比较profile结果。随后可以研究带相关误差的多格似然，或在独立校准伪数据上研究完整扫描的全局统计量。每加一个组件，都保留一个能手算或用独立方法检查的极限。

更深入的任务是考察“展开再拟合”和“将理论折叠到重建层直接拟合”的差别，明确正则化、协方差和模型依赖。课程提供的是进入这类研究的检查方法；本页没有声称实现完整实验链或更新任何真实实验显著性。

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