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宇宙学 IV · 两种加速时代：暴胀与晚期暗能量

宇宙在加速膨胀，并不意味着哈勃参数一定增大；共动哈勃半径正在缩小，也不意味着光已经走过的路程缩短。本页先把这些几何量分清，再用一个真实的标量场模型计算早期加速怎样结束，最后比较晚期暗能量的背景。前置：FRW 与距离、热历史、结构增长。

学习层：先判断变化，再选择机制

层次 本页的可算问题 需要另加的信息
运动学 给定 \(\epsilon_H\)，\(a\)、\(H\)、光程如何变化？ 什么物质或引力理论产生这个背景？
场动力学 二次势中的场从给定位置和速度出发，何时停止加速？ 与哪些粒子耦合，怎样产生热浴？
晚期背景 给定物质比例和常数 \(w\)，何时开始加速？ 扰动、偏置、系统误差以及真实观测数据

先作四个预测，再揭示实验。改变一个量时，留意哪些假设仍然成立。二次势模式包含完整场方程，并保留四种步长的对照；它是解释动力学的模型，不因“可以算”就获得观测支持。

无脚本也能复算的参考账本

几何例取常 εH=0、N=60；场例取初始 φ/Mpl=15、初始 d(φ/Mpl)/dN=0；晚期例取今天 Ωm=0.3、ΩDE=0.7、w=−1、a=1。Mpl 是约化 Planck 质量。这些是指定的教学输入。

量 数值 含义
几何例的尺度因子比 1.14200739e+26 e^60
几何例的共动哈勃半径比 8.75651076e-27 e^−60
几何例的累计光程比 1 1−e^−60，双精度显示约1
场背景退出 N 57.1219781 完整场方程，ΔN=0.025
场背景退出 φ/Mpl 1.00934278 由 εH=1 定位
场背景 H结束/H初始 0.0824124915 独立积分 lnH
场的慢滚总 N 估计 55.75 近似 (15²−2)/4
晚期今天 q -0.55 负值表示加速
晚期今天 εH 0.45 正值表示 H 仍下降
晚期加速转折 a 0.598408481 ρm=2ρΛ
晚期等密度 a 0.753947441 发生在加速开始之后

场的退出时刻由 εH=1 的首次交点定位。二分误差只描述交点在一个数值步内的位置，不能替代整条轨道的步长误差。

常哈勃参数背景中的尺度与光程、二次势场的完整轨道和退出，以及晚期物质加暗能量的加速转折
几何模型按经过的 e-fold 数计时，场模型积分到实际退出，晚期模型以今天 a=1 归一化。三者的起点不能直接混用。

1 · 加速与 H 增大是两个问题

本页动力学公式使用 \(\hbar=c=1\)，\(\rho\) 表示能量密度，\(p\) 表示压强；约化 Planck 质量定义为 \(M_{\rm Pl}=(8\pi G_N)^{-1/2}\)。它与使用 \(G_N^{-1/2}\) 的非约化质量相差 \(\sqrt{8\pi}\)，公式系数也要相应改变。写出光传播尺度时会显式恢复 \(c\)。

由 \(H=\dot a/a\) 直接求导：

\[ \dot H=\frac{\ddot a}{a}-H^2,\qquad q=-\frac{\ddot a}{aH^2},\qquad \epsilon_H=-\frac{\dot H}{H^2},\qquad \boxed{q=\epsilon_H-1.} \]

在膨胀支 \(H>0\)，\(q<0\) 表示尺度因子加速增长。可是 \(\epsilon_H>0\) 又意味着 \(H\) 下降。因此 \(0<\epsilon_H<1\) 同时满足“加速膨胀”和“哈勃参数下降”，无需矛盾。

令向未来增加的 \(N=\ln(a/a_i)\)，则

\[ \frac{d\ln H}{dN}=-\epsilon_H,\qquad \frac{d\ln r_H}{dN}=\epsilon_H-1=q, \qquad r_H=\frac{c}{aH}. \]

\(r_H\) 是共动哈勃半径。其增减恰好跟 \(q\) 的符号一致。在固定空间曲率 \(K\ne0\) 时，\(\Omega_K=-Kc^2/(a^2H^2)\) 还满足

\[ \frac{|\Omega_K(N)|}{|\Omega_K(0)|} =\left[\frac{r_H(N)}{r_H(0)}\right]^2. \]

这解释了加速阶段如何降低曲率项的相对重要性；若 \(K=0\)，两端都为零，不能把比值写成 \(0/0\)。几何变化本身也不是“任意初始条件必然演化到我们的宇宙”的证明。

2 · 常 εH 的精确几何例子

若 \(\epsilon_H=\epsilon\) 为常数，积分得到

\[ \frac{a}{a_i}=e^N,\qquad \frac{H}{H_i}=e^{-\epsilon N},\qquad \frac{r_H}{r_{H,i}}=e^{(\epsilon-1)N}. \]

真实经过的时间与从指定起点积累的共动光程分别为

\[ H_i(t-t_i)=\int_0^Ne^{\epsilon n}\,dn =\begin{cases}(e^{\epsilon N}-1)/\epsilon,&\epsilon\ne0,\\N,&\epsilon=0,\end{cases} \]
\[ \frac{\chi(t_i,t)}{r_{H,i}} =\frac{\int_{t_i}^t c\,dt'/a(t')}{c/(a_iH_i)} =\int_0^Ne^{(\epsilon-1)n}\,dn =\begin{cases} (e^{(\epsilon-1)N}-1)/(\epsilon-1),&\epsilon\ne1,\\ N,&\epsilon=1. \end{cases} \]

光程始终增加。以 \(\epsilon=0\) 为例，\(r_H/r_{H,i}=e^{-N}\) 缩小，而 \(\chi/r_{H,i}=1-e^{-N}\) 增加并趋近 1。这一有限积分从指定的 \(t_i\) 开始，不等同于已经知道宇宙全部过去历史后的粒子视界。实验把光程画成 \(\log_{10}(1+\chi/r_{H,i})\)，以便保留起点的零；这与其它曲线的普通对数纵轴已分别标注。

当 \(\epsilon>0\)，消去 \(N\) 可得 \(a/a_i=[1+\epsilon H_i(t-t_i)]^{1/\epsilon}\)。\(\epsilon<1\) 的幂指数大于 1，仍会加速。\(\epsilon=0\) 的指数膨胀没有自动退出机制；增加一个结束时刻只是指定背景的终点，还没有说明怎样回到热宇宙。

3 · 标量场如何真正驱动背景

考虑平直 FRW 中一个最小耦合、标准正动能的标量场。用度规号差 \((-,+,+,+)\)，作用量是

\[ S=\int d^4x\sqrt{-g}\left[ \frac{M_{\rm Pl}^2}{2}R-\frac12g^{\mu\nu}\partial_\mu\phi\,\partial_\nu\phi-V(\phi) \right]. \]

对均匀背景，能量密度、压强及方程为

\[ \rho_\phi=\frac12\dot\phi^2+V,\quad p_\phi=\frac12\dot\phi^2-V,\quad 3M_{\rm Pl}^2H^2=\rho_\phi,\quad \ddot\phi+3H\dot\phi+V_{,\phi}=0. \]

将最后一式乘 \(\dot\phi\)，立即得到 \(\dot\rho_\phi=-3H\dot\phi^2=-3H(\rho_\phi+p_\phi)\)，说明场方程与能量守恒一致。再对 Friedmann 约束求导：

\[ \dot H=-\frac{\dot\phi^2}{2M_{\rm Pl}^2},\qquad \epsilon_H=\frac{\dot\phi^2}{2M_{\rm Pl}^2H^2} =\frac{3\dot\phi^2}{\dot\phi^2+2V}. \]

所以加速需要 \(\dot\phi^2<V\)。这比完整慢滚条件弱：慢滚通常还要求 \(\dot\phi^2/2\ll V\)，以及 \(\ddot\phi\) 相对 \(3H\dot\phi\) 可忽略。不能只看到负压，就把全部慢滚近似都当成已成立。背景推导与质量约定可对照 PDG 暴胀综述第 23.2 节。

实验选择 \(V=\tfrac12m^2\phi^2\)，令

\[ u=\frac{\phi}{M_{\rm Pl}},\qquad v=\frac{du}{dN},\qquad \epsilon_H=\frac{v^2}{2}. \]

利用 \(\ddot\phi=M_{\rm Pl}H^2(v_N-\epsilon_Hv)\)，将场方程和约束合起来：

\[ \boxed{ u_N=v,\qquad v_N=-(3-v^2/2)\left(v+\frac2u\right),\qquad \frac{d\ln(H/H_i)}{dN}=-\frac{v^2}{2}. } \]

约束另给出

\[ \frac{H}{m}=\frac{u}{\sqrt{2(3-v^2/2)}},\qquad \left(\frac H{H_i}\right)_{\rm constraint} =\frac u{u_i}\sqrt{\frac{3-v_i^2/2}{3-v^2/2}}. \]

\(m\) 决定绝对能量和时间尺度，但这些以 \(N\) 为时间、以 \(H_i\) 为归一化的背景曲线不需要先指定 \(m\)。程序同时积分 \(\ln(H/H_i)\)，并与代数约束比较；两条计算路线的差为数值误差提供诊断。

4 · 退出要由方程找到，不能预先画在 √2

程序从给定的 \(u_i,v_i\) 出发，逐步积分至第一次 \(\epsilon_H=1\)。若初始 \(v_i>0\)，场可以先向势能更高处运动，再掉头下落；同一个起始位置并不保证相同的总膨胀。比较的四种步长为 \(\Delta N=0.1,0.05,0.025,0.0125\)，完整图和阶段表使用 \(0.025\)。

每个 RK4 步都保留起点、三组中间状态、四个导数和终点。一旦跨过 \(\epsilon_H=1\)，固定该步起点，对步长二分，重新积分每个试探；用首次交点结束这条轨道。二分区间宽小于 \(10^{-11}\)，表示交点在这一条数值轨道中的定位精度；它不能让前面几千步的离散误差一起消失。最细步长也是数值结果，不是精确答案。

参考 \(u_i=15,v_i=0\) 得到 \(N_{\rm end}\approx57.121978\)、\(u_{\rm end}\approx1.00934\)。为什么常见慢滚估计给的不是这个值？在慢滚近似中

\[ 3H\dot\phi\simeq-V_{,\phi},\qquad 3M_{\rm Pl}^2H^2\simeq V,\qquad \epsilon_V=\frac{M_{\rm Pl}^2}{2}\left(\frac{V_{,\phi}}V\right)^2,\quad \eta_V=M_{\rm Pl}^2\frac{V_{,\phi\phi}}V. \]

二次势给出 \(\epsilon_V=\eta_V=2/u^2\)、\(u_N\simeq-2/u\)，因此

\[ u(N)^2\simeq u_i^2-4N,\qquad u_{\rm end,SR}\simeq\sqrt2,\qquad N_{\rm end,SR}\simeq\frac{u_i^2-2}{4}=55.75. \]

最后一步是用 \(\epsilon_V\simeq\epsilon_H\) 估计退出，而退出附近慢滚已经不精确；初始静止也不是慢滚吸引子上的速度。这些差别都有物理来源。实验同时画 \(\epsilon_H\) 和 \(\epsilon_V\)，让误差显现出来。它在首次退出后停止，尚未计算再热。

5 · 涨落从哪里来：先解一个量子模式

背景方程只告诉我们均匀场怎样动，还没有产生上一课的随机密度场。先考虑一个明确的可解近似：精确 de Sitter 背景中的自由、无质量标量测试场 \(\varphi\)，忽略其对背景的反作用。它不必就是驱动背景的场。

共形时间满足 \(d\tau=dt/a\)，取 \(\tau<0\) 且 \(a=-1/(H\tau)\)。将傅里叶模式重标度为 \(v_k=a\varphi_k\)，运动方程成为

\[ v_k''+\left(k^2-\frac{a''}{a}\right)v_k=0, \qquad \frac{a''}{a}=\frac2{\tau^2}. \]

撇号在本节专指 \(\tau\) 导数，区别于前面的 \(N\) 导数。对初始处于 \(|k\tau|\gg1\) 的模式，选择趋于平直时空正频率真空的解

\[ v_k(\tau)=\frac{e^{-ik\tau}}{\sqrt{2k}} \left(1-\frac{i}{k\tau}\right). \]

它满足方程及 Wronskian 归一化 \(v_kv_k^{*'}-v_k'v_k^*=i\)。因此

\[ |\varphi_k|^2=\frac{|v_k|^2}{a^2} =\frac{H^2}{2k^3}(1+k^2\tau^2),\qquad \Delta_\varphi^2=\frac{k^3|\varphi_k|^2}{2\pi^2} =\left(\frac H{2\pi}\right)^2(1+k^2\tau^2). \]

当 \(|k\tau|\ll1\)，模式振幅趋于常数，无量纲谱趋于 \((H/2\pi)^2\)，与 \(k\) 无关。这里“冻结”是模式解的行为；仅凭这个计算还没有完成量子到经典随机性的全部解释。

还有一个容易遗漏的因子：在 \(k=aH\) 即 \(|k\tau|=1\) 的瞬间，括号为 2；常用的“在哈勃尺度离开时取 \(H_*\)”是用该时刻背景参数表述之后的冻结谱，并非把精确模式在那个瞬间的振幅当作已达到渐近值。

对于真正驱动背景的场，标量场涨落与度规扰动耦合，不能一律使用测试场方程。设空间度规标量部分为 \(a^2(1+2C)\delta_{ij}\)，时间切片改变 \(t\mapsto t+\delta t\) 时

\[ \delta\phi\mapsto\delta\phi-\dot\phi\,\delta t,\qquad C\mapsto C-H\delta t. \]

于是组合

\[ Q=\delta\phi-\frac{\dot\phi}{H}C,\qquad \mathcal R=C-\frac H{\dot\phi}\delta\phi=-\frac H{\dot\phi}Q \]

不受这一线性切片变换影响。完整线性约束消去后，\(v_k=aQ_k\) 满足 Mukhanov–Sasaki 方程

\[ v_k''+\left(k^2-\frac{z''}{z}\right)v_k=0,\qquad z=\frac{a\dot\phi}{H}. \]

测试场的 \(a''/a\) 与这里的 \(z''/z\) 不能混用。对标准单场、慢滚吸引子、绝热扰动和上述真空选择，得到领先阶冻结谱

\[ \mathcal P_{\mathcal R}(k)\simeq \left(\frac H{\dot\phi}\right)^2\left(\frac H{2\pi}\right)^2 =\frac{H^2}{8\pi^2\epsilon_HM_{\rm Pl}^2}\bigg|_* . \]

这里 \(\mathcal P_{\mathcal R}\) 是无量纲谱，对应上一课的 \(\Delta_{\mathcal R}^2\)。规范变量、模式方程与适用条件见 PDG 暴胀综述第 23.3 节。当 \(\dot\phi=0\)，均匀场不能充当时间标尺，\(\mathcal R=-HQ/\dot\phi\) 的写法退化；不能把精确 de Sitter 模式的 \(\epsilon_H=0\) 代入最后一式，宣称物理曲率谱必然无穷大。本页静止初值也不直接输出曲率谱。

6 · 从时间变化得到谱倾斜

定义向未来的 \(\epsilon_1=\epsilon_H\)、\(\epsilon_2=d\ln\epsilon_1/dN\)。模式离开哈勃尺度时 \(k=aH\)，因此

\[ \frac{d\ln k}{dN}=1-\epsilon_1,\qquad n_s-1\equiv\frac{d\ln\mathcal P_{\mathcal R}}{d\ln k} \simeq-2\epsilon_1-\epsilon_2. \]

最后一式保留慢滚的一阶项。由 \(\epsilon_V\propto(V'/V)^2\) 和 \(\phi_N\simeq-M_{\rm Pl}^2V'/V\)，

\[ \epsilon_2\simeq4\epsilon_V-2\eta_V,\qquad n_s-1\simeq-6\epsilon_V+2\eta_V. \]

所以只写 \(n_s-1=-2\epsilon\) 通常漏掉了曲率谱中 \(1/\epsilon\) 的时间变化。标准单场的张量谱按两个偏振的通常总谱约定为

\[ \mathcal P_t\simeq\frac{2H^2}{\pi^2M_{\rm Pl}^2},\qquad r=\frac{\mathcal P_t}{\mathcal P_{\mathcal R}}\simeq16\epsilon_V,\qquad n_t\simeq-2\epsilon_V\simeq-\frac r8. \]

这些是指定理论与状态下的关系，不是所有早期宇宙模型共有的恒等式。

以二次势为例，若一个模式离开哈勃尺度后还剩 \(N_*\) 个 e-fold，慢滚给出

\[ u_*^2\simeq4N_*+2,\qquad n_s\simeq1-\frac2{N_*+1/2},\qquad r\simeq\frac8{N_*+1/2}. \]

\(N_*\) 向结束倒数，与实验从开始向前计数的 \(N\) 不同。取 \(N_*=60\)，得到 \(n_s\simeq0.96694\)、\(r\simeq0.13223\)。这说明模型能给出具体、可被否定的预言。作为有固定版本的历史比较，2021 年发表的 BK18 联合分析 在其模型与前景假设下给出 \(r_{0.05}<0.036\) 的 95% 置信上限；该二次势例的 \(r\) 已明显过大。这里不把历史分析冒充持续更新的最新联合约束。

7 · 退出不等于再热

场停止加速，只表示能量分配跨过一个阈值。要恢复热历史，还需要把场能转移给粒子并使其达到热平衡。在二次势最低点附近，若振荡频率远高于膨胀率，周期平均动能与势能相等，故 \(\langle p_\phi\rangle\simeq0\)，场平均起来像无压物质。

再作弱耦合、微扰衰变、常衰变率 \(\Gamma\) 的近似，可写

\[ \dot\rho_\phi+3H\rho_\phi=-\Gamma\rho_\phi,\qquad \dot\rho_r+4H\rho_r=\Gamma\rho_\phi. \]

相加后内部能量交换抵消，剩下总能量守恒。若辐射已热化，\(\rho_r=(\pi^2/30)g_*T^4\)，并以 \(H\sim\Gamma\) 估计转化阶段的尺度，就有

\[ T_{\rm reh}\sim \left(\frac{90}{\pi^2g_*}\right)^{1/4}\sqrt{\Gamma M_{\rm Pl}}. \]

这不是只凭“发生了暴胀”就确定的温度；耦合、非微扰预热、热化时间和自由度都可能改变过程。本页场实验没有求解这些能量交换方程。

从某个枢轴模式到今天的尺度连接也包含再热：

\[ \frac{k}{a_0H_0} =e^{-N_*}\frac{a_{\rm end}}{a_{\rm reh}} \frac{a_{\rm reh}}{a_0}\frac{H_*}{H_0}. \]

若再热阶段可用平均常数 \(w_{\rm reh}\) 表示，则 \(\rho\propto a^{-3(1+w_{\rm reh})}\)；热化后还需使用熵自由度连接温度与尺度因子。改变这一段历史，会改变同一个今日 \(k\) 对应的 \(N_*\)。因此 \(N_*=60\) 是例题条件，不能由“暴胀”一词直接推出来。

8 · 晚期暗能量：先从守恒算密度

对不与其它成分交换能量的暗能量，\(\dot\rho_{\rm de}+3H(1+w)\rho_{\rm de}=0\)。一般解为

\[ \frac{\rho_{\rm de}(a)}{\rho_{\rm de}(1)} =\exp\left[-3\int_1^a(1+w(a'))\,d\ln a'\right]. \]

常数 \(w\) 时，密度比简化为 \(a^{-3(1+w)}\)。本页晚期模型忽略辐射与曲率，今天的物质比例为 \(\Omega_m\)，其余明确取 \(\Omega_{\rm de}=1-\Omega_m\)：

\[ E^2(a)=\Omega_m a^{-3}+(1-\Omega_m)a^{-3(1+w)}, \qquad q(a)=\frac12\left[1+3w\,\Omega_{\rm de}(a)\right]. \]

由 \(q=0\) 可得加速转折条件

\[ \rho_m=-(1+3w)\rho_{\rm de},\qquad a_{\rm tr}= \left[\frac{-\Omega_m}{(1+3w)(1-\Omega_m)}\right]^{-1/(3w)}. \]

这个正转折要求存在暗能量，且 \(w<-1/3\)。纯物质或 \(w\ge-1/3\) 没有这样的有限加速转折。等密度则是另一个条件：

\[ a_{\rm eq,de}=\left[\frac{\Omega_m}{1-\Omega_m}\right]^{-1/(3w)}. \]

对 \(\Omega_m=0.3,w=-1\)，得到 \(a_{\rm tr}\simeq0.598408\)，等密度点约为 \(0.753947\)。随 \(a\) 增加，先开始加速，再达到等密度。因为 \(d\ln r_H/d\ln a=q\)，晚期图上共动哈勃半径的最高点正对应加速转折。

两种条件在特殊参数下也可能重合：\(w=-2/3\) 时 \(-(1+3w)=1\)，加速恰在两种密度相等时开始。实验把重合的标记合并，同时保留两种条件的账本。

\(w<-1\) 时暗能量密度随膨胀增大，足够晚时 \(\dot H\) 也可为正。但标准正动能标量场满足 \(\rho_\phi+p_\phi=\dot\phi^2\ge0\)，在 \(\rho_\phi>0\) 时不能得到 \(w_\phi<-1\)。实验中的这一参数区只规定现象学背景，不能悄悄套用前面的同一标量场解释。

距离是对 \(1/H\) 的积分，增长还需要扰动方程，单一背景曲线不唯一决定暗能量机制。有关守恒、背景与增长的分工，见 PDG 暗能量综述第 28.2 节。本实验没有把任何参数输入当成新观测结果。

9 · 四道迁移题与完整解答

题 1：N=60 时，εH=0.1 与恒 H 的半径收缩相同吗？

两者的尺度因子都增长 \(e^{60}\)，但 \(\epsilon_H=0.1\) 时 \(H/H_i=e^{-6}\approx0.00247875\)，所以

\[ \frac{r_H}{r_{H,i}}=e^{-54}\approx3.53263\times10^{-24}, \qquad q=-0.9. \]

恒 \(H\) 的结果是 \(e^{-60}\approx8.75651\times10^{-27}\)。前者的末半径是后者的 \(e^6\approx403.429\) 倍，两者都在缩小，只是收缩程度不同。累计光程分别为 \((1-e^{-54})/0.9\) 与 \(1-e^{-60}\)，都增加。

当 \(\epsilon_H\to1\)，用 \(e^x=1+x+O(x^2)\) 可得光程表达式连续趋于 \(N\)；不能因分母出现零就判成发散。

题 2：二次势在 φ=√2 Mpl 退出，是精确命题吗？

精确条件是 \(\epsilon_H=v^2/2=1\)，即下坡轨道首次到达 \(v=-\sqrt2\)；它并不规定 \(u\)。只有使用 \(v\simeq-2/u\) 的慢滚近似，才得到 \(u\simeq\sqrt2\)。同理，\(N\simeq(u_i^2-2)/4\) 还依赖这段近似能持续成立。

参考实验 \(u_i=15,v_i=0\) 的慢滚估计为 \(55.75\)，真实背景数值积分约为 \(57.121978\)，退出 \(u\) 约为 \(1.00934\)。这里“真实”指求解完整背景方程，数值结果仍有离散误差。将步长逐次减半，退出位置趋于稳定；把二分区间做得再窄也不能修复粗步长传播误差。

初始 \(v_i=1\) 还会先上坡，进一步改变退出前的总膨胀。仅指定势函数和场位置，不足以确定二阶场方程的全部初值。

题 3：为什么精确 de Sitter 的测试场谱有限，却不能直接令曲率谱公式 εH=0？

测试场方程给出

\[ \Delta_\varphi^2=\frac{H^2}{4\pi^2}(1+k^2\tau^2) \longrightarrow\frac{H^2}{4\pi^2}. \]

这个极限不需要用背景场作时钟。要把 \(Q\) 换成曲率扰动，却使用了 \(\mathcal R=-HQ/\dot\phi\)；\(\dot\phi=0\) 时，均匀场切片不再给出唯一时间标记。失效的是这一步变量转换的条件，不能将除零结果当成可观测无穷大。

另外，在 \(|k\tau|=1\) 的瞬间，测试场谱是最终冻结谱的两倍。引用冻结谱时在星号处取背景 \(H_*\)，与声称模式恰在交点瞬间就完全冻结，是两件不同的事。

题 4：晚期模型若改成 w(a)=w0+wa(1−a)，密度与加速方程怎样变？

先积分守恒，而不是把常数 \(w\) 的幂指数直接替换为 \(w(a)\)：

\[ \int_1^a[1+w(a')]\,d\ln a' =(1+w_0+w_a)\ln a-w_a(a-1). \]

因此

\[ \frac{\rho_{\rm de}(a)}{\rho_{\rm de}(1)} =a^{-3(1+w_0+w_a)}e^{3w_a(a-1)}. \]

再把它代入 \(E^2\)。若同时保留辐射和曲率，

\[ E^2=\Omega_ra^{-4}+\Omega_ma^{-3}+\Omega_Ka^{-2} +\Omega_{\rm de}a^{-3(1+w_0+w_a)}e^{3w_a(a-1)}, \]
\[ q(a)=\frac{ 2\Omega_ra^{-4}+\Omega_ma^{-3} +[1+3w(a)]\Omega_{\rm de}\rho_{\rm de}(a)/\rho_{\rm de}(1) }{2E^2(a)}. \]

曲率没有直接进入加速度方程的分子，却通过 \(E^2\) 改变分母。\(w_a=0\) 才恢复实验的常 \(w\) 形式；\(w_0=-1,w_a=0\) 才回到 \(\Lambda\)。这种参数化主要用来描述有限红移范围，不能凭它对遥远未来的外推宣布一种确定结局。

10 · 用哪些观测区分机制？

超新星距离、BAO 标尺和 CMB 几何帮助约束膨胀史；结构增长、红移空间畸变与透镜检查同一背景下的扰动。早期模型还需同时面对标量谱、张量谱、非高斯性和再热历史。把相同的 \(q\) 拟合出来，只完成了这些检验中的一部分。

这条宇宙学路线到这里连接了背景、热历史、结构增长和两种加速机制。继续可进入 规范场与相互作用、场论的正则量子化，或 蒙特卡洛与格点方法；前沿模型要在相应动力学和观测条件下另行训练。