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实验 IV · 真空、低温与数据采集

对标：真空技术基础、低温实验方法、数据采集与信号处理 ｜ 前置：fl-01（稀薄气体边界）、sm-01（热力学）、opt-01（频域）、exp-01/exp-02（测量与噪声） 低温物理、表面科学和量子器件常被说成“把设备做得更冷、更空、更快地采样”。真正决定实验能否工作的，是三本相互耦合的账：气体负载与有效抽速、热漏与制冷余量、采样率与可辨识频率。每一本账都有硬边界；把它们混成一个“仪器参数”会在最不该出错的地方出错。

学习层：一个读数异常，先查哪一本账？

1. 具体谜题：为什么泵很大，压力仍然降不下去？

设想一个低温真空腔：泵的铭牌抽速是 \(100\ \mathrm{L/s}\)，连接腔体的细导管流导只有 \(25\ \mathrm{L/s}\)。冷台上又有辐射、支撑、引线和测量信号带来的热漏；最后，传感器输出还要经过 ADC。实验失败时，三个现象可能同时出现：

  • 压力比泵的广告数字高，残余气体碰撞使表面实验变差；
  • 冷台温度不再下降，甚至在加一个小电阻后缓慢升温；
  • 时域波形“看起来合理”，但改变采样率后频率却跳到另一个值。

它们不是三个互不相干的故障。流量守恒、能量守恒和采样定理分别给出三条预算；工程上要在各自的边界上留余量，再看接口是否把一个预算的代价转移给另一个预算。

2. 先预测：打开预算前先写下三个数

交互实验的默认输入是：气负载 \(Q=0.012\ \mathrm{Pa\,L/s}\)、泵速 \(S=100\ \mathrm{L/s}\)、导管流导 \(C=25\ \mathrm{L/s}\)；热漏为 \(18+22+7+3=50\ \mathrm{mW}\)，制冷能力 \(80\ \mathrm{mW}\)；采样率 \(f_s=12\ \mathrm{kHz}\)，输入 \(f=2.4\ \mathrm{kHz}\)，4 通道、16 bit、满量程 \(\pm1\ \mathrm V\)。先预测：

  1. 泵与导管串联后，有效抽速是 \(100\)、\(25\) 还是 \(20\ \mathrm{L/s}\)？
  2. 低温预算用 \(80\%\) 制冷能力作为运行线时，\(50\ \mathrm{mW}\) 是有余量、刚好，还是已经超载？
  3. \(12\ \mathrm{kHz}\) 采样一个 \(2.4\ \mathrm{kHz}\) 正弦，会折叠成另一个频率吗？如果把输入换成 \(9\ \mathrm{kHz}\) 呢？

先在实验台中选择答案；揭示后再一次只改变一个参数。预算表会告诉你，哪个边界被触碰，而不是只给一个“好/坏”标签。

3. 真空：抽速不是泵的铭牌数字

先取等温、集中参数、稳态模型：\(Q\) 是以压力乘体积/时间表示的气体吞吐量，不是体积流率本身。若可忽略泵的底压，泵口压力为 \(P\)、该工作点抽速为 \(S\)，则

\[ Q=PS,\qquad P=\frac{Q}{S}. \]

若泵通过流导为 \(C\) 的导管接到腔体，串联系统中的气体流量相同，压力降分别由泵和导管承担。于是

\[ \frac1{S_{\mathrm{eff}}}=\frac1S+\frac1C,\qquad P=\frac Q{S_{\mathrm{eff}}}. \]

这里的 \(P\) 已改指腔体压力。把两个位置写开，就能看清串联公式的来源。若泵的等效底压为 \(P_b\)、泵口压力为 \(P_p\)，则

\[ Q=S(P_p-P_b)=C(P-P_p),\qquad P=P_b+Q\left(\frac1S+\frac1C\right). \]

实验把 \(P_b\) 设为零，并把 \(S,C\) 当作常数。流导 \(C=Q/(P-P_p)\) 的这种压强无关近似通常用于固定气体、温度和几何的分子流；黏滞流中流导随压力改变，应逐工作点计算。导管沿途的分布放气也不能全部塞进“同一流量串联”而不说明近似。

默认值给出

\[ S_{\mathrm{eff}}=\left(\frac1{100}+\frac1{25}\right)^{-1}=20\ \mathrm{L/s},\qquad P=\frac{0.012}{20}=6.0\times10^{-4}\ \mathrm{Pa}. \]

若错误地直接使用泵速，会写成 \(1.2\times10^{-4}\ \mathrm{Pa}\)，低估了五倍。这个差异不是小数舍入，而是连接几何把系统瓶颈改写进了有效参数。真实真空还要把放气、漏率、蒸汽压、泵返流、吸附/解吸和时间常数写进 \(Q\)。

4. 低温：先加热负载，再谈最低温

先区分两个问题：在指定温度下，制冷机的能力够不够？系统最终会停在哪个温度？本实验只回答第一个。固定目标温度 \(T_0\) 下的能力预算是

\[ Q_{\mathrm{in}}=Q_{\mathrm{rad}}+Q_{\mathrm{cond}}+Q_{\mathrm{wires}}+Q_{\mathrm{signal}}+\cdots,\qquad Q_{\mathrm{in}}(T_0)\le Q_{\mathrm{cool}}(T_0). \]

\(Q_{\mathrm{cool}}\) 是该温度下可移走热量的能力，未必等于当前实际移走的 \(Q_{\mathrm{out}}\)。若不靠控制器固定温度，温度动力学满足

\[ C_{\mathrm{th}}(T)\frac{dT}{dt}=Q_{\mathrm{in}}(T)-Q_{\mathrm{out}}(T). \]

稳态 \(T_*\) 必须使两边热流相等。对 \(C_{\mathrm{th}}(T_*)>0\) 的单节点模型，若 \([Q_{\mathrm{in}}'-Q_{\mathrm{out}}'](T_*)<0\)，一个小的升温扰动会带来净冷却，平衡局部稳定；导数为零时一阶判断不够。预算有余量本身不能给出平衡温度，也不能证明多节点控制回路稳定。

在冷物体看到均匀大热壁、视角因子近似为 1 的简化灰体模型下，以有效发射率 \(\varepsilon\) 表示表面作用，辐射热漏满足

\[ Q_{\mathrm{rad}}=\varepsilon\sigma A(T_h^4-T_c^4), \]

支撑和线缆的传导热漏则是 \(Q_{\mathrm{cond}}=\int_{T_c}^{T_h}G(T)\,dT\)；这里一维、均匀截面、无内部发热的导热模型给出 \(G(T)=k(T)A/L\)，单位为 W/K；在 \(G\) 近似常数时才可简写成 \(G\Delta T\)。每条线既可能是电信号通道，也是一根热桥；滤波器、衰减器会改变信号噪声，同时耗散功率并增加 \(Q_{\mathrm{signal}}\)。

实验用更保守的运行线 \(Q_{\mathrm{safe}}=0.8Q_{\mathrm{cool}}\)。默认 \(Q_{\mathrm{in}}=50\ \mathrm{mW}\)、\(Q_{\mathrm{cool}}=80\ \mathrm{mW}\)，所以额定余量是 \(30\ \mathrm{mW}\)，安全线为 \(64\ \mathrm{mW}\)，距离安全线还有 \(14\ \mathrm{mW}\)。这里“安全”只表示通过这个教学预算；它不替代制冷机额定曲线、瞬态热容、温度控制器和厂商规程。

5. DAQ：采样以后，频率可能已经不可逆

以采样周期 \(T_s=1/f_s\) 取样，理想采样信号可以写成

\[ x_s(t)=x(t)\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s). \]

频域中它变成以 \(f_s\) 为间隔的谱副本：

\[ X_s(f)=\frac1{T_s}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(f-kf_s). \]

当输入最高频率低于 \(f_s/2\) 且前端有合适的抗混叠低通时，副本不重叠。否则不同的模拟频率会产生相同的采样序列。单频 \(f\) 的折叠频率可写成

\[ f_{\mathrm{alias}}=\left|f-f_s\operatorname{round}\left(\frac f{f_s}\right)\right|,\qquad 0\le f_{\mathrm{alias}}\le\frac{f_s}{2}. \]

默认 \(f_s/2=6\ \mathrm{kHz}\)，所以 \(2.4\ \mathrm{kHz}\) 不混叠；改成 \(9\ \mathrm{kHz}\) 时，\(f_{\mathrm{alias}}=|9-12|=3\ \mathrm{kHz}\)。这不是软件“识别错了”，而是 ADC 已经把两个模拟世界映射成同一个离散世界。

幅度频率 \(3\ \mathrm{kHz}\) 还不足以画出正确的相位。实验用半开区间 \([-f_s/2,f_s/2)\) 中的有符号频率 \(\tilde f\)，使 \(f-\tilde f=kf_s\)。于是对整数 \(n\)，

\[ \sin(2\pi fn/f_s+\phi)=\sin(2\pi\tilde f n/f_s+\phi). \]

\(9\ \mathrm{kHz}\) 对应 \(\tilde f=-3\ \mathrm{kHz}\)；若坚持用正频率 \(3\ \mathrm{kHz}\)，必须相应改变相位。恰好 \(f=f_s/2\) 且 \(\phi=0\) 时，所有样本都是 \(\sin(\pi n)=0\)，任意振幅都给出同一零序列，所以一般信号重建不能把 Nyquist 等号当作有余量的工作点。

16 bit、\(\pm1\ \mathrm V\) 的理想量化步长为

\[ \mathrm{LSB}=\frac{2\times1}{2^{16}}\ \mathrm V=30.52\ \mu\mathrm V. \]

默认输入幅度 \(0.72\ \mathrm V\)，还有 \(0.28\ \mathrm V\) 的峰值余量；幅度超过满量程时发生削顶，后面的 Fourier 分析不能恢复被截去的波峰。

量化规则也要写出来。实验采用 \(N\) 位、\(M=2^N\) 个等宽区间的 mid-rise 教学量化器。先将电压截到 \(v_c\in[-V,V]\)，再计算

\[ \Delta=\frac{2V}{M},\qquad j=\min\!\left(M-1,\max\!\left(0,\left\lfloor\frac{v_c+V}{\Delta}\right\rfloor\right)\right),\qquad \hat v=-V+(j+\tfrac12)\Delta. \]

每个码用区间中点代表，所以端点 \(\pm V\) 对应 \(\pm(V-\Delta/2)\)，零电压在本约定下对应 \(+\Delta/2\)。这不是所有 ADC 的唯一编码约定；真实器件须按传输特性和码型解码。对未削顶的输入，\(|\hat v-v|\le\Delta/2\)；超量程时这个界只约束相对截断值的量化误差，不能掩盖原波峰的损失。数据表把原电压、截断值、数字码和代表值分开列出。把位数降到 8 后再看误差列，比在整幅波形上寻找几十微伏更容易。

若误差可近似看作均匀且与信号不相关，则积分 \(\Delta^{-1}\int_{-\Delta/2}^{\Delta/2}e^2\,de=\Delta^2/12\) 给出误差均方值；再取平方根，量化噪声 RMS 才是 \(\Delta/\sqrt{12}\)。确定性正弦与采样率成简单整数比时误差可周期重复，不能据此宣称噪声谱一定白。幅度为 \(A\) 的未削顶正弦在这些条件下才有 \(\mathrm{SNR}_q=20\log_{10}(A\sqrt6/\Delta)\)；这不是本实验对真实仪器 SNR 的测量。

以下数据率使用每通道采样率，并假设各通道同步采样且按有效位数紧密打包；复用 ADC 的总转换率需要分配给通道，24 位样本按 32 位存储时也要另外计数。

无 JavaScript 时的静态读法：实验把三个预算拆成页签，但使用同一组默认数值。真空侧取 \(Q=0.012\ \mathrm{Pa\,L/s}\)、\(S=100\ \mathrm{L/s}\)、\(C=25\ \mathrm{L/s}\)；低温侧取 \(Q_{\mathrm{rad}}=18\)、\(Q_{\mathrm{cond}}=22\)、\(Q_{\mathrm{wires}}=7\)、\(Q_{\mathrm{signal}}=3\ \mathrm{mW}\) 和 \(Q_{\mathrm{cool}}=80\ \mathrm{mW}\)；DAQ 侧取 \(f_s=12\)、\(f=2.4\ \mathrm{kHz}\)、4 通道、16 bit、\(\pm1\ \mathrm V\)、幅度 \(0.72\ \mathrm V\)。

预算 公式与默认数值 判读
真空 \(S_{\mathrm{eff}}=(1/100+1/25)^{-1}=20\ \mathrm{L/s}\)；\(P=0.012/20=6.0\times10^{-4}\ \mathrm{Pa}\) 相比 \(0.001\ \mathrm{Pa}\) 教学目标有 \(1.67\) 倍余量；不能直接用泵铭牌抽速
低温 \(Q_{\mathrm{in}}=18+22+7+3=50\ \mathrm{mW}\)；\(0.8Q_{\mathrm{cool}}=64\ \mathrm{mW}\) 额定余量 \(30\ \mathrm{mW}\)，安全线余量 \(14\ \mathrm{mW}\)
DAQ 频率 \(f_N=f_s/2=6\ \mathrm{kHz}\)；\(f_{\mathrm{alias}}=2.4\ \mathrm{kHz}\) 默认输入低于 Nyquist；换成 \(9\ \mathrm{kHz}\) 会折到 \(3\ \mathrm{kHz}\)
DAQ 量化 数据率 \(12,000\times4\times16=768\ \mathrm{kbit/s}\)；LSB \(=30.52\ \mu\mathrm V\) 位数、通道和采样率共同占用带宽；幅度 \(0.72\ \mathrm V\) 尚未削顶

图中的导管和泵是串联抽气链，热负载条形图以 80% 制冷能力画安全线，DAQ 图的绿线是未经削顶的模拟正弦，橙虚线是削顶后的模拟值，蓝点是量化码的代表电压，红虚线是保持采样相位的有符号 alias。连续绘图点按输入频率加密，它们不是 ADC 采样点；高频图过密时应看数据表，不能按屏幕像素数判定信号带宽。预设“导管瓶颈”“热负载过大”“混叠演示”“输入削顶”分别触碰不同边界。

6. 误区与安全边界：公式通过不等于装置可以直接操作

  • 真空边界。\(P=Q/S\) 是稳态 lumped 模型；泵的额定速度会随气体种类、入口压力和管路改变。开阀或拆卸前必须确认压差、法兰和视窗额定值，使用受控 vent 与联锁；不能把“目标压力达到了”当作可以承受外压的证明。放气、漏气和氧缺失风险还需要独立的设备与场所评估。
  • 低温边界。\(Q_{\mathrm{in}}\le Q_{\mathrm{cool}}\) 只检查目标温度下的能力预算；实际稳态还要求输入与移走热流相等。冷冻剂可能造成冻伤和窒息，封闭体积受热会升压，冷台和样品会因热冲击破裂；泄压、氧浓度监测、屏蔽、接地和材料兼容性必须按实际制冷剂和设备执行。不能用软件阈值替代机械泄压保护。
  • DAQ 边界。Nyquist 不是“采样率高一点就万事大吉”；抗混叠滤波必须位于 ADC 之前，滤波器本身有过渡带。满量程外的输入会削顶，地环路和共模电压可能先损坏前端。改变采样率后，必须重新检查模拟滤波、触发、时间戳和数据率。
  • 预算边界。三本账并不独立：加一只低温放大器可能降低电噪声，却增加发热；减小导管可能改善隔离，却降低流导；提高采样率可能减少时间混叠，却增大存储和传输压力。每次只改一个变量，并记录对其他账的副作用。

7. 迁移任务：从“能工作”升级为“有证明”

为一个假想的 4 K 表面谱实验写一页 commissioning 表：

  1. 先用已知漏率或已知气负载标定 \(Q\)，用导管几何和压力阶跃测 \(C\)，而不是只抄泵的 \(S\)；
  2. 对每条支撑和线缆估计温度积分，列出辐射屏、滤波器和放大器的静态与瞬态热负载，并把可用余量写成数值；
  3. 从目标信号最高频率反推模拟抗混叠滤波器和 \(f_s\)，再用一个高于 Nyquist 的已知正弦验证 alias 账本；
  4. 在“超压、热超载、削顶、通信中断”各处定义硬件或人工停止条件。
三项可手算的迁移题与答案
  1. 泵能否无限解决压力？仍取 \(Q=0.012\)、\(C=25\)，但 \(P_b=2\times10^{-4}\ \mathrm{Pa}\)。\(S=100\) 时 \(P=8\times10^{-4}\ \mathrm{Pa}\)；即使 \(S\to\infty\)，仍有 \(P\to P_b+Q/C=6.8\times10^{-4}\ \mathrm{Pa}\)。因此目标 \(5\times10^{-4}\ \mathrm{Pa}\) 不能仅靠加大泵解决。
  2. 有余量是否说明温度固定？取 \(Q_{\mathrm{in}}=50\ \mathrm{mW}\)、\(Q_{\mathrm{out}}(T)=20(T-2\ \mathrm K)\ \mathrm{mW/K}\)（只在所讨论温区使用）、\(C_{\mathrm{th}}=100\ \mathrm{mJ/K}\)。平衡温度为 \(4.5\ \mathrm K\)；在 4 K 时净热流为 10 mW，升温率为 \(0.1\ \mathrm{K/s}\)。平衡附近扰动以 \(e^{-t/(5\,\mathrm s)}\) 衰减。只报某个制冷机的额定功率，推不出这些数。
  3. 混叠与量化是否同一错误？取 \(f_s=12\ \mathrm{kHz}\)、\(f=9\ \mathrm{kHz}\)、\(A=0.72\ \mathrm V\)，第一个非零时刻 \(t=1/f_s\) 的原值为 \(-0.72\ \mathrm V\)，也等于 \(-3\ \mathrm{kHz}\) 正弦该时刻的值。若改用 \(N=8,V=1\)，则 \(\Delta=0.0078125\ \mathrm V\)、\(j=35\)、\(\hat v=-0.72265625\ \mathrm V\)，量化误差为 \(-0.00265625\ \mathrm V\)。提高位数缩小后一误差，却不能区分 9 kHz 与其 alias。

最后回答：如果压力、温度和波形都在软件显示的绿色区间，仍可能有哪些未被这三个教学预算覆盖的风险？答案应包含校准不确定度、瞬态、传感器失效和人身/机械防护，而不是再加一个绿色指示灯。

1. 真空的三种流动区域

真空工程先按平均自由程 \(\ell\) 与特征尺寸 \(D\) 的比值判断流动区域。Knudsen 数 \(\mathrm{Kn}=\ell/D\) 很小时是连续流，适合用流体近似；很大时是分子流，分子与壁碰撞比彼此碰撞更频繁；中间是过渡流。泵型、导管流导和压力计的物理含义会随区域改变，因此“抽速”没有脱离压力和气体种类的绝对含义。

在等温分子流区域，长直圆管（长度远大于直径）的流导近似随 \(D^3\sqrt{T/M}/L\) 缩放，其中 \(M\) 为分子质量；几何变窄通常会显著降低 \(C\)。串联公式与电路电阻相似，但只是守恒方程的结果，不意味着真空系统真的有一个欧姆定律。并联支路则近似满足流导相加；阀门、弯头、冷阱和污染表面会让这一 lumped 近似失效。

气负载的来源包括外漏、材料放气、表面解吸、渗透和样品挥发。烘烤可以减小部分放气，冷阱可以吸附特定蒸汽，但它们也会改变热预算与可维护性。压力随时间的抽空曲线能区分泄漏主导、放气主导和泵速限制：斜率不是一个可以脱离体积、温度和气体组分的通用常数。

2. 低温台的热阻网络

把各级冷台视为节点，稳态热流由热阻、辐射和主动制冷共同决定。对一条近似常导热系数的支撑，\(Q=K(T_h-T_c)\)；对金属线在宽温区，\(K(T)\) 可能变化很大，须积分。多级屏蔽的作用不是“把温度标签写低”，而是让高温到低温的辐射视角因子和导热路径分级下降。

冷台的制冷能力是 \(Q_{\mathrm{cool}}(T)\) 的曲线，而不是固定常数。实验点升温后，制冷能力和传感器响应可能同时变化，形成热失稳。控制器的目标温度、加热器范围和测温计自热还要另列预算。一个稳态点通过不证明启动、样品交换、磁场扫描或失电后的安全性。

噪声与热也相连。低温线上的串联电阻、滤波器和衰减器可能降低 Johnson 噪声带宽，却把耗散功率留在冷台；热电偶、二极管和电阻温度计的激励也会自热。正确做法是同时列 signal integrity、耗散和校准漂移，不能只追求一个更低的噪声谱。

3. 数据采集的完整链路

ADC 前至少要检查传感器输出阻抗、增益、共模范围、保护、抗混叠滤波、触发和参考时钟。ADC 后要检查量化、数字滤波、缓存、时间戳、丢包和单位。理想量化噪声常用 \(\mathrm{LSB}/\sqrt{12}\) 估计，但这需要近似均匀误差、无相关失真和未削顶；实际 ENOB、时钟抖动、前端噪声和非线性会更差。

若输入是带宽有限的随机过程，采样率应依据最高有意义频率和滤波器过渡带留出工程余量，而不是把最高频率恰好放在 \(f_s/2\)。时钟抖动对高频正弦的相位误差约为 \(2\pi f\sigma_t\)；信号频率越高，时间基准越容易成为噪声源。多通道系统还要说明同步采样、复用延迟和各通道增益。

模型来源与继续阅读

4. 数量级例子

例 1（管路瓶颈） 若 \(Q=0.02\ \mathrm{Pa\,L/s}\)、\(S=200\ \mathrm{L/s}\)、\(C=10\ \mathrm{L/s}\)，则 \(S_{\mathrm{eff}}=1/(0.005+0.1)=9.52\ \mathrm{L/s}\)，压力约 \(2.1\times10^{-3}\ \mathrm{Pa}\)。提高泵速到 \(400\ \mathrm{L/s}\) 只把有效速度变成 \(9.76\ \mathrm{L/s}\)，导管才是主要改进点。

例 2（热余量） 若四项热漏为 \(30+20+12+8=70\ \mathrm{mW}\)，制冷能力为 \(100\ \mathrm{mW}\)，额定余量仍有 \(30\ \mathrm{mW}\)，但 \(80\%\) 运行线只有 \(80\ \mathrm{mW}\)，安全余量仅 \(10\ \mathrm{mW}\)。一个额外的 12 mW 线缆热漏就足以跨过教学用安全线。

例 3（采样与数据率） 8 通道、24 bit、\(50\ \mathrm{kS/s}\) 的原始数据率是 \(8\times24\times50,000=9.6\ \mathrm{Mbit/s}\)，还没有计算封包、元数据和冗余。若目标频率最高为 15 kHz，\(f_s=50\) kHz 给出 25 kHz Nyquist，仍要根据模拟滤波器过渡带判断是否足够。\(\blacksquare\)

物理实验的共同结论：先定义边界、单位和余量，再让曲线告诉你哪个机制在主导。下一次遇到漂亮的“实时读数”，先问它背后的正演链是否仍然可逆。