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狭义相对论 · 洛伦兹变换与四矢量

对标：任意近代物理教材 / Taylor–Wheeler ｜前置：mech-01、em-02 两条公理（相对性原理 + 光速不变）把牛顿的绝对时空整体重装。本页从公理推出洛伦兹变换，配齐三大效应与四矢量语言，终点是物理学最著名的公式——它是四动量守恒的一个分量。

1. 两条公理与洛伦兹变换

Minkowski 时空图与光锥 — 图 1.1Minkowski 时空图：光锥（红）划分因果，运动参考系的 \(x'\)、\(ct'\) 轴向光锥对称地倾斜——同时性因此相对。

公理：① 物理定律在一切惯性系相同（相对性原理——伽利略的旧原理保留）；② 真空光速 \(c\) 对一切惯性系相同（Maxwell 方程的直接暗示：em-02 的 \(c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}\) 没给参考系留位置——相对论是电磁学的自洽性要求）。

洛伦兹变换【推导骨架】：线性性（惯性系间匀速直线互译）+ 光锥不变（\(x = ct \Rightarrow x' = ct'\)）+ 逆变换对称性，三条件唯一定出（沿 \(x\) 方向、\(\beta = v/c,\ \gamma = 1/\sqrt{1-\beta^2}\)）：

\[ x' = \gamma(x - vt), \qquad t' = \gamma\Big(t - \frac{vx}{c^2}\Big) \]

不变间隔（直接验证）：\(s^2 = c^2t^2 - x^2\) 不变——时空的"距离"是双曲型的（对比欧氏 \(t^2 + x^2\)；高代 VI 惯性指数 \((+,-,-,-)\) 的几何：洛伦兹变换 = 保持这个二次型的"双曲旋转"）。\(v \ll c\) 时退化为伽利略变换 ✓（新理论包含旧理论——对应原理第一次示范）。

2. 三大运动学效应（各配一行推导 + 一个实证）

同时的相对性：\(t' = \gamma(t - vx/c^2)\)——异地同时依赖参考系（一切"悖论"的解药：先问"哪两个事件、谁的同时"）；
时间膨胀 \(\Delta t = \gamma\,\Delta\tau\)（动钟慢；固有时 \(\tau\) = 随体时钟）。实证：μ 子寿命 2.2 μs、山顶产生却到达海平面——\(\gamma \sim 10\) 的续命（或在 μ 子系里看：大地在动、山变薄——下一条）；
长度收缩 \(L = L_0/\gamma\)（沿运动方向）。速度合成 \(u' = \frac{u - v}{1 - uv/c^2}\)（两次变换复合）：光速不可超越在公式里自洽（\(u = c \Rightarrow u' = c\)）。

双生子"佯谬"一句话终审：往返者经历加速转向——两条世界线不对称，固有时 \(\int d\tau\) 短者年轻：不是悖论是世界线长度的比较（时空几何里"两点间直线固有时最长"——双曲几何的反直觉）。GPS 卫星每天 −7 μs（狭相）+45 μs（广相引力蓝移，gr-01）——不修正则定位每天漂移公里级：相对论是工程日用品。

3. 四矢量：把力学翻译进时空

四矢量：按洛伦兹变换变换的四元组 \(x^\mu = (ct, \mathbf x)\)；内积 \(a\cdot b = a^0b^0 - \mathbf a\cdot\mathbf b\) 不变（Minkowski 度规）。

四速度 \(u^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau} = \gamma(c, \mathbf v)\)（对固有时求导——保持四矢量身份）；四动量：

\[ p^\mu = mu^\mu = \Big(\frac{E}{c},\ \mathbf p\Big), \qquad E = \gamma mc^2, \quad \mathbf p = \gamma m\mathbf v \]

质能关系【推导】：低速展开 \(E = mc^2 + \frac12mv^2 + O(v^4)\)——动能之外多出常数项 \(E_0 = mc^2\)（静能）；不变量 \(p\cdot p = m^2c^2\) 给色散关系

\[ E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2 \]

（\(m = 0\) ⇒ \(E = pc\)：光子——em-03 辐射压的 \(P = I/c\) 在此认祖；核反应放能 = 质量亏损 × \(c^2\)：太阳与核电站的账本。）守恒律的正确表述：孤立系统四动量守恒（能量与动量合并成一条——Noether 语言：时空平移对称的四个生成元，mech-02 的表升级为四维版）。粒子对撞运动学从此是"四矢量内积"的代数题（例 3）。

电磁的四维改写一嘴【引用】：\((V/c, \mathbf A)\) 成四矢量、\(\mathbf E, \mathbf B\) 打包成场强张量 \(F^{\mu\nu}\)、Maxwell 方程缩成两条——电与磁是同一张量在不同参考系的投影（磁场 = 电场的相对论效应）：em 三页的内容在四维语言里获得最紧凑形态（ced/qft 线的记号基础）。

4. 练习与要点

例 1（γ 的手感） \(v = 0.6c\)：\(\gamma = 1.25\)；\(v = 0.99c\)：\(\gamma \approx 7.1\)；日常 \(v = 30\) km/s（地球公转）：\(\gamma - 1 \sim 5\times10^{-9}\)——相对论效应的"启动阈值"体感。

例 2（速度合成） 飞船 \(0.8c\) 上发射 \(0.8c\) 导弹：\(u = \frac{1.6c}{1 + 0.64} = 0.976c\)——不是 \(1.6c\)；两束相向光的相对速度仍是 \(c\)（代公式验证）。

例 3（不变量法解对撞） 质子打静止质子造反质子（\(pp \to ppp\bar p\)）的阈能：不变质量 \(s = (\sum p^\mu)^2\) 在质心系算末态（\(4m\) 静止）、在实验室系算初态，令相等 ⇒ \(E_{\text{lab}} = 7mc^2 \approx 6.6\) GeV——四矢量内积一行解决的题，用三维动量守恒做是灾难：相对论运动学的标准姿势（Bevatron 设计能量的历史真题）。\(\blacksquare\)

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