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广相 II · Einstein 方程与 Schwarzschild 解

前置：等效原理与测地线、曲率与收缩 Bianchi 恒等式，以及中心力运动的有效势方法。 这页解决的问题：度规由什么方程决定？同一球对称外部，为什么有的粒子被捕获，有的在外部往返，光子又需要另一套判据？

学习层：先读允许区，再读轨道

1. 把“势能图”读成速度平方

本页的轨道实验都使用 \(G=M=c=1\)：长度以 \(GM/c^2\) 为单位，时间以 \(GM/c^3\) 为单位。类时粒子的 \(E\) 是每单位静质量、再除以 \(c^2\) 的守恒能量；\(\ell\) 是比角动量以 \(GM/c\) 为单位的数值。实验直接调节 \(q=\ell^2\)，让 \(q=12\) 的临界条件可以准确输入。

对类时赤道面测地线，

\[ \frac12\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2+V(r)=K, \qquad K=\frac{E^2-1}{2},\qquad V(r)=-\frac1r+\frac{q}{2r^2}-\frac{q}{r^3}. \]

横线高于势曲线时，径向速度平方为正；普通交点是转向点。切触的重根却不能一概叫作“碰到就反弹”：稳定圆轨道可能是孤立允许点，不稳定圆轨道可以是无限趋近的端点。

为了把整个外部装进同一张图，取 \(u=1/r\)。横轴从 \(u=0\)（无穷远边界）走到 \(u=1/2\)（视界边界），真正的计算域是两者之间。图中的函数是

\[ F(u)=\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2 =2K+2u-qu^2+2qu^3. \]

注意左侧仍是 \(dr/d\tau\)，不是 \(du/d\tau\)。紧化只改变横轴的标记，不改变允许区判据。

2. 四个预测

  1. \(q\) 略小于 12、恰等于 12、略大于 12，能否都标成同一个 ISCO？
  2. 把粒子换成光子，只改变类时能量 \(E\) 就够了吗？
  3. 孤立稳定圆轨道与两端之间往返的有限允许区，是同一种初值运动吗？
  4. 圆轨道有可辨认的近日点吗？弱场的“每圈进动”怎样换成“每世纪进动”？

3. 三种模型与静态读法

不启用脚本也可核对：

情形 模型读数 如何解释
类时 q=6.25 无圆轨道极值 不表示所有运动都没有转向点
精确 ISCO：q=12 r=6，E=√(8/9) 根为三重；不是普通势阱底
q=16，加载稳定圆轨道能量 r=12 为孤立稳定圆轨道，另有 r=3 的普通根 不能把这两个根之间全部涂为允许区
q=16，K=−0.0246875 普通根约 r=3.12995、6.76410、30.61228 外部束缚区约为 [6.76410,30.61228]；近视界还有分离的允许区
光子 β=b/(3√3)=1 r=3 为不稳定光子圆轨道 从无穷远入射的临界光线渐近它
光子 β小于1 / 大于1 捕获 / 散射返回 对无穷远入射、初始向内的光线而言
束缚轨道 p=10、e=0.3 精确进动约 3.69384 rad/径向周期；一阶近似约 1.88496 rad 该例不是弱场，不能只信一阶值
e=0 的圆轨道极限 方位/径向微扰频率比为 1/√(1−6/p) 精确圆轨道自身没有唯一近日点

交互中的手动 K 与解析圆轨道能量是两种输入方式。手动输入保留原值；如果过于接近临界能量，双精度不能可靠分类，实验明确显示未解析，不能用小容差把它擅自认成圆轨道。光子和进动是独立模型，不能把它们的能量归一化混用。

4. 本页的证据边界

本页讨论四维、非旋转、球对称真空外部，取 \(\Lambda=0\)。轨道是无自力、无辐射反作用的测试粒子测地线。若使用普通恒星模型，必须额外确认轨道没有进入恒星物质内部；形式上的真空外推不是恒星内部解。二维坐标轨迹也不是相机成像，更不是 EHT 的亮度环。

类时三个根与分离允许区，稳定圆轨道孤立点，临界光子双重根，以及横纵等比例的两次径向周期。

1. 为什么几何侧需要 Einstein 张量？

能动张量 \(T_{\mu\nu}\) 统一描述局部能量密度、动量流与应力。若直接猜 \(R_{\mu\nu}=\kappa T_{\mu\nu}\)，收缩 Bianchi 恒等式却告诉我们

\[ \nabla^\mu R_{\mu\nu}=\frac12\nabla_\nu R. \]

右侧一般不为零。换成

\[ G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac12Rg_{\mu\nu}, \qquad \nabla^\mu G_{\mu\nu}\equiv0, \]

便与物质方程在壳上的 \(\nabla^\mu T_{\mu\nu}=0\) 相容。采用最低阶的纯度规引力作用量，会得到

\[ G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu} =\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}. \]

这不是由“写成张量”四个字唯一逼出的全部可能理论。若允许额外场、更高阶导数或不同耦合，仍可构造其他协变理论。这里选择的是 Einstein 引力，并用实验检验它。

协变散度为零也不等于任意时空都有一个统一的全局总能量。全局能量的定义还需要对称性、边界或渐近条件；局部引力能量不能随意当作另一个普通张量塞到右侧。十个对称分量方程受 Bianchi 恒等式与坐标自由度联系，不能把它们数成十个独立传播自由度。

1.1 用 Newton 极限确定那个 8π

先令 \(\Lambda=0\)。取迹并回代，

\[ R=-\kappa T,\qquad R_{\mu\nu}=\kappa\left(T_{\mu\nu}-\frac12Tg_{\mu\nu}\right). \]

在弱场、静态、慢速且压强远小于静质量能量密度的极限，采用 \(x^0=ct\)，有 \(T_{00}\simeq\rho c^2\)、\(T\simeq-\rho c^2\)，因此

\[ R_{00}\simeq\frac{\kappa}{2}\rho c^2. \]

另一方面，上一页的 \(g_{00}=-(1+2\Phi/c^2)\) 给出

\[ R_{00}\simeq\partial_i\Gamma^i_{00} =\frac{\nabla^2\Phi}{c^2}. \]

与 \(\nabla^2\Phi=4\pi G\rho\) 比较，得到 \(\kappa=8\pi G/c^4\)。这里用的是 Ricci 分量 \(R_{00}\)，不能把它直接改名为 \(G_{00}\)。 后者还含迹项；这会改变定标中的因子。

1.2 用作用量复核符号、系数与单位

明确取四个长度坐标 \(x^0=ct\)，令 \(d^4x=dx^0dx^1dx^2dx^3\)，则

\[ S_g=\frac{c^3}{16\pi G} \int (R-2\Lambda)\sqrt{-g}\,d^4x,\qquad \delta S_m=-\frac1{2c}\int T_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}\sqrt{-g}\,d^4x. \]

两项都具有作用量单位。若积分改用 \(dt\,d^3x\)，系数中的光速因子也要跟着改变，不能只抄一个 \(c^3\) 或 \(c^4\)。

对在内部紧支撑的逆度规变分，

\[ \delta\sqrt{-g}=-\frac12\sqrt{-g}\,g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}, \qquad g^{\mu\nu}\delta R_{\mu\nu} =\nabla_\rho W^\rho, \]

其中后一项为全散度。此处的变分支撑使边界项消失；若研究有实际边界且只固定诱导度规的变分问题，应加入相应边界作用量。于是

\[ \delta(S_g+S_m) =\int\sqrt{-g}\left[ \frac{c^3}{16\pi G}(G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}) -\frac1{2c}T_{\mu\nu}\right]\delta g^{\mu\nu}\,d^4x. \]

要求任意这类变分都使作用量驻定，就恢复同一个场方程。推导背景：Carroll 讲义第 4 章

2. 从球对称真空得到 Schwarzschild

Birkhoff 结论需要限定：在四维 Einstein 引力、\(\Lambda=0\)、足够光滑的球对称真空区域中，解局部为 Schwarzschild。在面积半径梯度为类空的外部片上，它是静态的。这个结论不负责物质内部、全局延拓或非球对称扰动；\(\Lambda\ne0\) 时对应 Schwarzschild–(A)dS。

下面在外部片给出计算。以 \(x^0=ct\) 为时间坐标，球对称度规可写为

\[ ds^2=-e^{2\alpha(x^0,r)}(dx^0)^2 +e^{2\beta(x^0,r)}dr^2+r^2d\Omega^2. \]

先不假设静态。真空方程中的两个分量为

\[ R_{0r}=\frac2r\,\partial_0\beta=0,\qquad R_{\theta\theta} =1+e^{-2\beta}[r(\partial_r\beta-\partial_r\alpha)-1]=0. \]

第一式给出 \(\beta=\beta(r)\)；再对第二式取时间导数，得到 \(\partial_0\partial_r\alpha=0\)，故 \(\alpha=A(r)+B(x^0)\)。把时间改成 \(d\widetilde x^0=e^{B(x^0)}dx^0\)，可吸收后一个函数，使度规静态。

静态之后，两个 Ricci 分量的组合为

\[ e^{2(\beta-\alpha)}R_{00}+R_{rr} =\frac2r(\alpha'+\beta')=0. \]

因此 \(\alpha+\beta\) 为常数；再用时间归一化吸收常数。取 \(\beta=-\alpha\)，令 \(f=e^{2\alpha}\)，角向方程化成

\[ rf'+f=1,\qquad (rf)'=1,\qquad f=1+\frac{C}{r}. \]

渐近平直弱场要求 \(g_{00}\simeq-(1+2\Phi/c^2)\)，其中 \(\Phi=-GM/r\)，所以 \(C=-2GM/c^2\)。最终

\[ ds^2=-\left(1-\frac{r_s}{r}\right)c^2dt^2 +\left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{-1}dr^2+r^2d\Omega^2, \qquad r_s=\frac{2GM}{c^2}. \]

由真空方程推出外部静态，才是这次推导中的关键。球对称脉动可以改变物质内部，却不产生真空外部的球对称引力辐射；这与非球对称系统的引力波不同。Ricci 组合与解的推导：Carroll 第 7 章

3. 类时轨道：普通根、重根与孤立允许点

以下恢复实验的无量纲单位 \(G=M=c=1\)，并取赤道面。时间平移与转动对称性给出

\[ E=\left(1-\frac2r\right)\frac{dt}{d\tau}, \qquad \ell=r^2\frac{d\varphi}{d\tau}. \]

把它们代入四速度归一化 \(u^\mu u_\mu=-1\)，得到

\[ -1=-\frac{E^2}{1-2/r} +\frac{\dot r^2}{1-2/r}+\frac{\ell^2}{r^2}, \qquad \dot r^2=E^2-\left(1-\frac2r\right)\left(1+\frac{q}{r^2}\right). \]

展开便是学习层中的 \(V\) 与 \(K\)。允许区必须满足 \(\dot r^2\ge0\)，但要成为实际轨道，还需给出初始半径和径向运动方向。

3.1 圆轨道为何分成两支？

圆轨道要求 \(V'(r)=0\)，因此

\[ r^2-qr+3q=0,\qquad r_\pm=\frac{q\pm\sqrt{q(q-12)}}2. \]

只有 \(q\ge12\) 才有实数圆轨道。用圆轨道关系 \(q=r^2/(r-3)\) 代回二阶导数，

\[ V''(r) =-\frac2{r^3}+\frac{3q}{r^4}-\frac{12q}{r^5} =\frac{r-6}{r^3(r-3)} \quad\text{（仅在圆轨道上）}. \]

所以 \(3<r<6\) 的内支不稳定，\(r>6\) 的外支稳定。\(q=12\) 时两支在 \(r=6\) 合并，二阶导数为零，这是稳定圆轨道族的内边界 ISCO。它不是任意固定角动量下都存在的一条 \(r=6\) 稳定轨道。

对稳定圆轨道作微小径向扰动，\(\delta\ddot r+V''(r)\delta r=0\)。在同一固有时参数下比较径向振荡与方位运动，

\[ \omega_r^2=V''(r),\qquad \omega_\varphi^2=\frac{q}{r^4},\qquad \frac{\omega_r^2}{\omega_\varphi^2}=1-\frac6r. \]

这也独立检查了二阶导数中的半径幂次。

3.2 q=16 的两个反例

外支圆轨道为 \(r=12\)。加载它的解析能量 \(K=-1/27\) 后，径向多项式可因式分解为

\[ F(u)=32\left(u-\frac1{12}\right)^2\left(u-\frac13\right). \]

在 \(u=1/12\) 邻域，除根本身外 \(F<0\)：这是一条孤立的稳定圆轨道。另一个允许区是 \(u>1/3\)，即 \(2<r<3\)。它们之间的禁区不会因为“有两个根”就变成往返轨道。

内支圆轨道为 \(r=4\)，能量 \(K=0\)，此时

\[ F(u)=32u\left(u-\frac14\right)^2. \]

两侧都允许，但接近双根时，径向速度与到圆轨道的距离成正比，抵达需要对数发散的固有时。因此从外部趋近它的轨道不是在有限时间“撞上势垒然后反弹”。

精确 ISCO 的 \(q=12\)、\(K=-1/18\) 则给出

\[ F(u)=24\left(u-\frac16\right)^3. \]

这三个分解说明：普通根、双根和三重根的动力学含义不同，单靠“残差很小”不能分类。

3.3 求根图的数值承诺

实验按 \(F\) 的单调区间括住根，求整个 \(0<u<1/2\) 中的根，不把大于某个图窗半径的根藏起来。解析圆轨道按钮明确选择上面的临界模型。手动能量若离极值能量低于双精度分类阈值，就只显示输入和曲线，停止报告未经确定的根与允许区。这个“未解析”是计算精度声明，不是新的物理相。

默认 \(q=16\)、\(K=-0.0246875\) 的三个普通根约为 \(3.12995\)、\(6.76410\) 和 \(30.61228\)。初值位于后两个根之间时可作束缚径向往返；近视界允许区属于另一个连通分支。没有相同能量下穿过禁区的经典测地线。

4. 光子需要另一条有效势

光子没有可用的固有时参数。取仿射参数，利用能量归一化把径向方程写为

\[ \left(\frac{dr}{d\sigma}\right)^2 =1-\frac{b^2}{r^2}\left(1-\frac2r\right), \qquad b=\frac{L}{\mathcal E}. \]

这里 \(b\) 是无穷远的冲量参数；无量纲化后以 \(GM/c^2\) 为单位。它依赖角动量与能量的比值，所以改变光子的整体频率而保持入射方向，不会改变这条几何轨迹。

光子势垒 \(b^2u^2(1-2u)\) 在 \(u=1/3\) 取最大值 \(b^2/27\)。因此

\[ b_c=3\sqrt3,\qquad \beta=\frac{b}{b_c}. \]

对于从无穷远向内入射的光线，\(\beta<1\) 无外部反弹点，最终被捕获；\(\beta>1\) 在外侧普通根反弹并散射回去；\(\beta=1\) 渐近 \(r=3\) 的不稳定光子圆轨道。临界时

\[ F_{\rm null}(u)=(1-3u)^2(1+6u). \]

因此 \(r=2\) 的视界、\(r=3\) 的光子球、\(r=6\) 的类时 ISCO 分别回答不同问题。相机中的亮环还需发射分布和辐射转移，不能把这三个数中的某一个直接贴成观测环半径。

5. 精确束缚轨道怎样产生进动？

用半通径参数 \(p\) 和偏心率 \(e\) 表示近日点与远日点：

\[ r_{\rm p}=\frac{p}{1+e},\qquad r_{\rm a}=\frac{p}{1-e},\qquad 0\le e<1. \]

让这两个半径都满足径向转向条件，可解出

\[ E^2=\frac{(p-2)^2-4e^2}{p(p-3-e^2)}, \qquad q=\frac{p^2}{p-3-e^2}. \]

再引入 Darwin 相位 \(\chi\)，规定一次径向周期为 \(0\le\chi\le2\pi\)：

\[ r(\chi)=\frac{p}{1+e\cos\chi},\qquad \frac{d\varphi}{d\chi} =\sqrt{\frac{p}{p-6-2e\cos\chi}}. \]

后式可直接从 \(dr/d\chi\)、\(\dot\varphi=\ell/r^2\) 和径向方程相除得到。中间的径向多项式分解为

\[ F=2q\left(u-\frac{1-e}{p}\right) \left(u-\frac{1+e}{p}\right) \left(u-\frac{p-4}{2p}\right). \]

要求整段径向振荡处于束缚分支，就得到 \(p>6+2e\)。实验保留至少 0.02 的间隔以控制数值解析度，不声称覆盖分界线本身或其内侧的坠落运动。

一个径向周期内，方位角通常超过 \(2\pi\)：

\[ \Delta\varphi =\int_0^{2\pi} \left[\sqrt{\frac{p}{p-6-2e\cos\chi}}-1\right]d\chi>0. \]

所以轨迹回到同一个近日点半径时，方向已经转过额外角度。图中的两次径向周期展示这一点；横纵坐标都除以 \(p\)，并使用相同绘图比例，避免把坐标缩放造成的形变冒充物理偏心率。Darwin 参数与精确积分：Hopper、Kavanagh、Ottewill，PRD 93, 044010，式 (2.4)–(2.9)

5.1 弱场公式是怎样展开出来的？

记 \(x=(6+2e\cos\chi)/p\)。当 \(p\) 远大于 6 时，

\[ (1-x)^{-1/2}=1+\frac{x}{2}+\frac{3x^2}{8}+\cdots. \]

余弦在整周期上积分为零，一阶就给出

\[ \Delta\varphi_{\rm 1PN}=\frac{6\pi}{p} =\frac{6\pi GM}{c^2a(1-e^2)}. \]

最后一个等号使用弱场椭圆的 \(p=a(1-e^2)c^2/(GM)\)。近分界线时不能截在这一阶：例如 \(p=10,e=0.3\) 的精确值约为 3.69384 rad，而一阶只有 1.88496 rad。

数值上不先计算接近 \(2\pi\) 的总角再相减。令 \(s=\sqrt{1-x}\)，直接使用

\[ \frac1{\sqrt{1-x}}-1=\frac{x}{s(1+s)},\qquad \frac1{\sqrt{1-x}}-1-\frac{x}{2} =\frac{x^2(s+2)}{2s(1+s)^2}. \]

这同时稳定计算微小进动和一阶近似的误差。图形相位用逐段高阶求积，全部内部节点保留在账本；整周期另列多档 Simpson 结果用于收敛对照。不同档位显示相同值只是当前数值分辨率下未分出差异，不是严格误差上界。验收还用高精度椭圆积分独立核对。

5.2 e=0 为什么要换一种说法？

精确圆轨道没有唯一的近日点方向。取 \(e\to0\) 的连续极限，积分给出

\[ \frac{\Omega_\varphi}{\Omega_r} =\frac1{\sqrt{1-6/p}}, \qquad \Delta\varphi_{\rm limiting} =2\pi\left(\frac1{\sqrt{1-6/p}}-1\right). \]

它描述在圆轨道附近加一个无穷小径向扰动后的两种频率之比。不要给一个完全圆形的轨道凭空指定可观测近日点。

6. 三项经典检验：先说明量、单位和观测协议

6.1 水星：每圈的角度怎样变成每世纪？

取教学用的太阳引力参数 \(GM_\odot=1.3271244\times10^{20}\ {\rm m^3s^{-2}}\)，水星半长轴 \(a=5.7909\times10^{10}\ {\rm m}\)、偏心率 \(e=0.2056\)。这些取整轨道参数与 JPL 的 J2000 近似轨道表相符；这里不在做高精度星历拟合。

先算一个径向周期的附加角：

\[ \Delta\varphi_{\rm orbit} =\frac{6\pi GM_\odot}{c^2a(1-e^2)} \simeq5.019\times10^{-7}\ {\rm rad} \simeq0.1035\ {\rm arcsec}. \]

用 \(T\simeq87.969\) 天和一个儒略世纪 36525 天，才得到

\[ \Delta\varphi_{\rm century} =\Delta\varphi_{\rm orbit}\frac{36525}{87.969} \simeq42.98\ {\rm arcsec/century}. \]

不能把“每圈约 0.1035 角秒”直接写成“每世纪约 43 角秒”。这个值是太阳球对称相对论项；真实行星数据还包括其他行星摄动、太阳非球形与坐标参考系等，需要在同一拟合中处理。

6.2 光偏折：给定的是冲量参数

弱场、从远处入射再到远处接收的光线，其总偏折角为

\[ \alpha\simeq\frac{4GM}{bc^2},\qquad b\gg GM/c^2. \]

\(b\) 是远处定义的冲量参数，不是任意坐标下的最近距离。由本页光子根方程，在最近距离 \(r_{\min}\) 有

\[ b^2=\frac{r_{\min}^2}{1-2GM/(c^2r_{\min})}. \]

仅在弱场时才可在最低阶里用 \(b\simeq r_{\min}\)。教学上取太阳半径 \(6.957\times10^8\) m，擦过太阳的弱场偏折约为 1.75 角秒；这与 \(\beta\) 接近 1 时的强场临界散射属于不同参数范围。实验的光子模式核对允许区与临界捕获，不把弱场偏折公式外推到光子球。

6.3 Shapiro 延迟：单程、往返不能混用

设信号从半径 \(r_1\) 的地面站出发，经靠近太阳的路径到半径 \(r_2\) 的目标，目标立即回传。忽略端点在传播期间的运动，在 \(b\ll r_1,r_2\) 的弱场近合日几何下，往返传播时间相对于平直几何路径增加约

\[ \Delta t_{\rm round} \simeq2(1+\gamma)\frac{GM}{c^3} \ln\frac{4r_1r_2}{b^2}. \]

\(\gamma\) 是参数化后牛顿框架中控制空间曲率的参数，GR 给出 \(\gamma=1\)。同一静态几何的单程结果是此式的一半，且对数的自变量必须无量纲。

例如仅作为量级练习，令 \(r_1=r_2=1\) AU、\(b\) 取太阳半径，GR 往返延迟约为 239 微秒。它不是 Cassini 的实际端点和实测延迟。Cassini 的 2002 年合日数据通过多频无线电抑制太阳等离子体影响，再拟合传播时延的变化；2003 年原论文的九参数主拟合给出

\[ \gamma-1=(2.1\pm2.3)\times10^{-5}. \]

这是一项历史性的、指定模型与误差下的 \(\gamma\) 测量，不能改写成“所有广义相对论效应都验证到这个相对精度”，也不代表目前最新的限制。Bertotti、Iess、Tortora，Nature 425, 374–376 (2003)，作者论文存档

7. 迁移练习与完整解答

练习 1：q=16 时，稳定圆轨道为什么不是一整个允许区？

由 \(r^2-qr+3q=0\) 得 \(r=4,12\)。二阶导数在 \(r=12\) 为正、在 \(r=4\) 为负，故外支稳定、内支不稳定。稳定支有

\[ K=-\frac1{27},\quad E=\sqrt{\frac{25}{27}},\qquad F(u)=32\left(u-\frac1{12}\right)^2\left(u-\frac13\right). \]

在 \(0<u<1/3\)，除 \(u=1/12\) 的零点外，\(F<0\)。因此 \(r=12\) 是孤立允许的精确圆轨道初值；\(r=3\) 才是近视界允许区 \(2<r\le3\) 的普通转向点。把两个根之间涂满会把负的速度平方误当成真实运动。

若把能量稍微抬高但仍低于势垒顶，孤立点附近会展开为一个小束缚区。此时两端是普通根，才有往返的径向振荡。不要让输入的小数舍入替你决定“稍微抬高”还是“恰好相等”。

练习 2：q=12 的 r=6，以及光子的 r=3，为什么都不能当成普通反弹点？

类时 ISCO 的精确能量是 \(K=-1/18\)，径向方程为

\[ F(u)=24\left(u-\frac16\right)^3. \]

它在 \(u=1/6\) 为三重根，\(V''(6)=0\)，不是带非零恢复频率的稳定势阱底。对邻近允许侧，\(d\tau\propto du/\sqrt{F(u)}\) 的积分在该根附近发散；从外部径向运动不能在有限固有时内到达后像普通根那样反弹。精确圆轨道本身是另一组初值。

光子在 \(\beta=1\) 时归一化径向式为

\[ 1-27u^2(1-2u)=(1-3u)^2(1+6u). \]

\(u=1/3\) 是双重根，入射临界光线以无限仿射参数渐近光子圆轨道。\(\beta<1\) 则没有势垒转向根，入射光被捕获；\(\beta>1\) 有两个普通根，但从无穷远先遇到的是较小 \(u\)、较大 \(r\) 的外根。内根附近另有分离的允许区，不能让入射光跳过禁区。

练习 3：p=10、e=0.3 的两圈图在检验什么？e=0 又怎样解释？

两端半径是

\[ r_{\rm peri}=\frac{10}{1.3}\simeq7.69231,\qquad r_{\rm apo}=\frac{10}{0.7}\simeq14.28571. \]

这里 \(p-(6+2e)=3.4>0\)，属于实验允许的束缚分支。精确积分给 \(\Delta\varphi\simeq3.69384\) rad/径向周期，而一阶近似 \(6\pi/p\simeq1.88496\) rad 少估约 49.0%。两次径向周期之间，半径变化会重复，近日点方向却额外转过同一个 \(\Delta\varphi\)；这是图中非闭合轨迹的来源。

逐项核对可先看半径是否始终在两个端点内，再看 \(\varphi-\chi\) 是否从 0 累积到完整进动量，最后看坐标是否满足 \(x^2+y^2=(r/p)^2\)。图中的横纵等比例很关键。

若改为 \(e=0\)，两端半径相同、轨迹是一条圆。此时 \(1/\sqrt{1-6/p}\) 仍可解释为附近微小径向振荡与方位运动的频率比，但不能声称在圆上测得了一个唯一的近日点进动。

练习 4：把 0.1035 角秒和 239 微秒放进观测报告，分别还缺什么？

0.1035 角秒缺少“每径向周期”的分母。水星一世纪约有 \(36525/87.969\simeq415.20\) 圈，相乘才得到约 42.98 角秒/世纪的太阳球对称相对论项；它不等于水星实测总进动，也不包含其他行星摄动。

239 微秒缺少信号协议与几何。此处是 \(r_1=r_2=1\) AU、近太阳擦边、立即回传、端点近似静止的 GR 往返教学值。同样几何的单程约为 119.5 微秒。实际实验还要处理端点运动、钟与时间尺度、等离子体等模型，不能把这一量级计算标成实测数据。

把一个单程公式与一份往返观测直接比较，会人为产生约两倍差异。这是协议错误，不是新物理信号。

8. 带着哪些问题进入下一页？

现在我们能从度规建立守恒量、从速度平方判断可达区域，并分清类时圆轨道、光子球和弱场检验。下一页的黑洞与引力波将继续区分坐标奇性与真实曲率、传播扰动与静态外部解。旋转、双体可比质量、自力和辐射反作用需要新的模型，不能靠替换本页的一个质量参数就全部纳入。

基础推导可对照 Carroll《广义相对论讲义》第四章：场方程与第七章：Schwarzschild 解及轨道；精确束缚轨道参数见第五节所链原论文。学习时可分别复算一个张量收缩、一个根的分支判定和一次单位换算，这三类检查各自防止不同的错误。