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广相 II · Einstein 方程与 Schwarzschild 解

对标：Carroll §4–5 ｜前置：gr-01、流形几何 IV（Ricci/Bianchi）本页立起理论的心脏——Einstein 场方程（物质告诉时空怎么弯），并求出它最著名的精确解——Schwarzschild 时空（球对称真空），随即收割三大经典检验：水星进动、光线弯曲、雷达延迟。

1. Einstein 场方程

需求清单：张量方程（广义协变）；源 = 能动张量 \(T_{\mu\nu}\)（sr-01 四动量的场版——能量密度/动量流/应力打包）；守恒 \(\nabla^\mu T_{\mu\nu} = 0\) 须自动成立；牛顿极限回收 Poisson 方程 \(\nabla^2\Phi = 4\pi G\rho\)。

唯一答案【构造级论证】：几何侧要一个"二阶导、对称、自动无散"的张量——Bianchi 恒等式（流形 IV）说 Einstein 张量 \(G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac12 R\,g_{\mu\nu}\) 恰好 \(\nabla^\mu G_{\mu\nu} \equiv 0\)（几何恒等式 ⇒ 能量守恒不是附加假设而是结构自带）：

\[ G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}\,T_{\mu\nu} \]

系数由牛顿极限定标【骨架：弱场线性化 \(g = \eta + h\)，\(G_{00} \approx -\frac12\nabla^2h_{00}\) 对上 Poisson】。\(\Lambda\)：宇宙学常数——数学允许的唯一附加项（cosmo 线的主角，暗能量的席位）。10 条非线性耦合 PDE（非线性 = 引力场自己有能量、自己造引力——与电磁的线性叠加的本质区别；也是精确解稀缺的原因）。变分出身一嘴：Einstein–Hilbert 作用量 \(S = \frac{c^4}{16\pi G}\int R\sqrt{-g}\,d^4x\)——mech-02 的哲学统治到引力（"曲率标量是最简单的协变拉氏量"）。

2. Schwarzschild 解

图 2.1Schwarzschild 有效势比牛顿多一项 \(-L^2/r^3\)：近距离势垒被压低，允许粒子"坠入"——近日点进动与黑洞吸积的根。

定理（Schwarzschild 1916 / Birkhoff） 球对称真空解唯一且静态：

\[ ds^2 = -\Big(1 - \frac{r_s}{r}\Big)c^2dt^2 + \Big(1 - \frac{r_s}{r}\Big)^{-1}dr^2 + r^2d\Omega^2, \qquad r_s = \frac{2GM}{c^2} \]

【骨架】 球对称 ansatz \(ds^2 = -e^{2\alpha(r)}dt^2 + e^{2\beta(r)}dr^2 + r^2d\Omega^2\) 代入 \(R_{\mu\nu} = 0\)：两条独立 ODE 给 \(\alpha = -\beta\) 与 \((re^{2\alpha})' = 1\)——积分即得；常数由牛顿极限对号（\(g_{00} \to -(1 + \frac{2\Phi}{c^2})\)，gr-01 字典）。\(\blacksquare\)（Birkhoff：球对称自动静态——球对称脉动不辐射引力波：ced-02"无偶极辐射"的引力版预告。）

Schwarzschild 半径：太阳 3 km、地球 9 mm——普通天体的 \(r_s\) 深埋体内（外部解照用）；\(r \leq r_s\) 的完整故事（视界、黑洞）留给 gr-03。

3. 三大经典检验（测地线的收割）

Schwarzschild 测地线：对称性给两个守恒量（能量 \(E\)、角动量 \(L\)——Killing 矢量，Noether/流形语言），化为一维有效势问题（mech-01 的方法在弯曲时空重演）：

\[ \frac12\dot r^2 + V_{\text{eff}}(r) = \text{const}, \qquad V_{\text{eff}} = -\frac{GM}{r} + \frac{L^2}{2r^2} - \underbrace{\frac{GML^2}{c^2r^3}}_{\text{广相新项}} \]

水星近日点进动【推导骨架】：新 \(\frac{1}{r^3}\) 项微扰 Kepler 轨道（qm-04 式的微扰思路用在轨道方程上）：每圈进动

\[ \Delta\varphi = \frac{6\pi GM}{c^2a(1 - e^2)} \approx 43''/\text{世纪} \]

——牛顿力学解释不了的著名残差被一分不差吃下（Einstein 自述算出此数时"心悸数日"）。

光线弯曲：光测地线（\(d\tau = 0\)）同法：擦日偏转 \(\theta = \frac{4GM}{c^2R_\odot} = 1.75''\)——恰是"牛顿粒子说"值的两倍（空间弯曲贡献另一半——gr-01 §3"低速只看时间部分"的反面：光够快，空间部分平权）。1919 年 Eddington 日食观测 ✓——广相登上世界头条的时刻；现代版：引力透镜（星系团的光弧、微透镜找系外行星/暗物质——弯光从检验变成了望远镜）。

Shapiro 雷达延迟：掠日雷达信号往返多 ~200 μs【引用】——第四检验；卡西尼号验证至 \(10^{-5}\) 精度。

4. 练习与要点

例 1（进动量级迁移） 同公式用于近双星 PSR B1913+16：进动 4.2°/年（水星的 3.5 万倍）——强场系统把"世纪级效应"变成"年级"；该双星的轨道衰减是引力波的首个证据（gr-03 接力）。

例 2（有效势读图） \(V_{\text{eff}}\) 新项使小 \(r\) 处势垒有限：\(L\) 再大也存在最内稳定圆轨道 ISCO \(r = 6GM/c^2\)（对 \(V_{\text{eff}}\) 求二阶导归零）——吸积盘内缘、黑洞成像亮环尺寸的理论刻度（gr-03/EHT）。

例 3（透镜小算） 太阳质量恒星在 1 kpc 处：Einstein 环半径 \(\theta_E = \sqrt{\frac{4GM}{c^2}\frac{D_{LS}}{D_LD_S}} \sim\) mas 级——微透镜光变曲线的时标 ~ 周：OGLE 类巡天找暗天体的设计参数。\(\blacksquare\)

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