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电磁 III · 场的能量、动量与辐射入门

对标：Griffiths §8、§11 入门｜前置：em-01/02 本页给"场是实在的"补齐力学证据：场携带能量（Poynting 定理）与动量（辐射压），并回答一个改变世界的问题——加速电荷为什么辐射（Larmor 公式）。这是本科电磁的收官，也是天线、同步辐射与"经典原子必塌缩"悖论（量子力学的引信）的出发点。

1. Poynting 定理：场的能量记账

定理【推导】 从 Lorentz 力对电荷做功率 \(\mathbf J\cdot\mathbf E\) 出发，用 Ampère–Maxwell 消 \(\mathbf J\)、矢量恒等式 \(\nabla\cdot(\mathbf E\times\mathbf B) = \mathbf B\cdot(\nabla\times\mathbf E) - \mathbf E\cdot(\nabla\times\mathbf B)\) 与 Faraday：

\[ \frac{\partial u}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf S = -\mathbf J\cdot\mathbf E, \qquad u = \frac{\varepsilon_0E^2}{2} + \frac{B^2}{2\mu_0}, \quad \mathbf S = \frac{\mathbf E\times\mathbf B}{\mu_0} \]

读法：连续性方程（与电荷守恒同型——"守恒律的标准长相"：密度 + 流 + 源汇）：\(u\) = 场的能量密度、\(\mathbf S\)（Poynting 矢量）= 能流密度、右端 = 场与物质的能量交换。能量在场中流动：给电阻供能的能量从导线侧面的场流入（算例经典【引用 Griffiths §8.1】）——颠覆"能量在电线里跑"的直觉。

2. 场的动量与辐射压

场还带动量：\(\mathbf g = \varepsilon_0\,\mathbf E\times\mathbf B = \frac{\mathbf S}{c^2}\)（动量密度）【骨架】（对 Lorentz 力密度做与 §1 平行的记账，应力张量 \(T_{ij}\) 携带动量流【引用 §8.2】）。

辐射压：电磁波打在吸收面上 \(P = \frac{I}{c}\)（反射加倍）——阳光 \(\sim 5\ \mu\mathrm{Pa}\)：微小但真实（彗尾方向、太阳帆、光镊的原理——光镊已是诺奖级实验室日常）。光子语言预告：\(E = pc\) 的经典对应（sr-01 四动量、atom-01 光电效应两处收线）。

3. 辐射：加速电荷发光

偶极辐射角分布 — 图 3.1偶极辐射的角分布 \(\propto\sin^2\theta\)：沿振荡轴方向不辐射、垂直方向最强——天线方向图的物理原型。

物理图像：匀速电荷的场"跟着走"（无辐射——洛伦兹变换到静止系即静电场，sr-01 呼应）；加速时场线来不及调整，"扭结"以光速向外传播——这圈扭结就是辐射（Thomson 的图像论证：扭结区场的横向分量 \(\propto \frac{1}{r}\) 而非静电的 \(\frac{1}{r^2}\)——只有 \(\frac1r\) 场能把能量带到无穷远：\(S \propto E^2 \propto \frac{1}{r^2}\) 乘以球面 \(r^2\) 不衰减）。

Larmor 公式【骨架】（非相对论）：

\[ P = \frac{q^2 a^2}{6\pi\varepsilon_0 c^3} \]

（量纲 + \(\frac1r\) 场论证定形，系数由偶极辐射的角分布积分——完整推导在 ced-02 推迟势之后。）辐射功率 \(\propto\) 加速度平方。

三个立即的物理：

天线：驱动电荷振荡 \(a \sim \omega^2 x_0\) ⇒ \(P \propto \omega^4\)——短波高效（天线尺寸 ~ 波长的工程根源）；
瑞利散射 \(\propto \omega^4\)：束缚电子被阳光驱动再辐射——蓝光散射强于红光 16 倍：天空为什么蓝、夕阳为什么红，一个幂律的功劳；
经典原子的死刑判决：绕核电子向心加速 ⇒ 持续辐射 ⇒ 能量流失 ⇒ 轨道塌缩（估算寿命 \(\sim 10^{-11}\) s【引用】）——经典物理自己证明了自己在原子尺度必须让位：量子力学（qm-01）的引信在此点燃。

4. 练习与要点

例 1（Poynting 流向亲算） 充电中的平板电容：\(\mathbf E\) 轴向增长、边缘 \(\mathbf B\) 环向（位移电流的 Ampère 环）⇒ \(\mathbf S = \frac{\mathbf E\times\mathbf B}{\mu_0}\) 指向内部——能量从侧面流入填充场能 \(\frac{\varepsilon_0E^2}{2}\)，记账严丝合缝（做一遍这道题，场的实在感落地）。

例 2（辐射压数量级） 100 kW 激光聚焦 1 g 反射帆：\(F = \frac{2P}{c} \approx 0.67\ \mathrm{mN}\)，\(a \approx 0.67\ \mathrm{m/s^2}\)——激光推进的可行性一算便知（突破摄星计划的物理底账）。

例 3（ω⁴ 的应用题） 为何微波炉（GHz）不"辐射逃逸"而手机信号穿墙：频率与结构尺度的匹配 + 网孔 ≪ 波长的屏蔽（波导截止）——em 三页知识的综合判断题。\(\blacksquare\)

电磁三页完卷。下一页：把"光速对谁都一样"当公理会发生什么——狭义相对论：时空的重新装配。