强关联与非平衡 IV · 驱动开放系统：稳态不是停止运动

激光一直输入能量，原子却能保持不变的平均状态吗？

1. 环境使问题从态向量变成密度矩阵

上一讲的孤立纯态只转动相位。现在一个两能级系统吸收相干驱动，同时向环境发射能量。我们保留系统密度矩阵 \(\rho\)，把环境影响压缩成主方程。这需要环境相关时间短、耦合和频率近似合适等物理条件，不能把任意有记忆的噪声直接塞进同一个常数衰减率。

在驱动旋转坐标中、旋波近似下，令

基底顺序为 \((|e\rangle,|g\rangle)\)，\(\sigma_z=|e\rangle\langle e|-|g\rangle\langle g|\)。\(\Omega\) 是 Rabi 角频率，\(\Delta\) 是按此 Hamiltonian 定义的失谐，\(\gamma>0\) 是自发衰减率，都用每秒表示。模型只含向下跃迁，没有额外纯退相位或热激发。

跳跃项把激发态人口送到基态，反对易项使总迹守恒并衰减相干。只保留前一项会让概率凭空增加。Lindblad 结构保证在其数学条件下产生完全正的动力学；“完全正”要求系统连着任意辅助系统时仍不产生负概率。具体证明与反例见Kraus 与 Choi：转置会通过单比特正性检验，却在 Bell 输入上产生负本征值。

2. 三条实方程怎样容纳振荡与衰减

写 \(\rho=(I+x\sigma_x+y\sigma_y+z\sigma_z)/2\)。由对易关系及矩阵相乘得到

\(x,y\) 是相干分量，\(z\) 是人口差。没有驱动时，\(z+1\) 以率 \(\gamma\) 衰减，而相干以率 \(\gamma/2\) 衰减，所以此模型的 \(T_2=2T_1\)。加入纯退相位后这个等式失效；不能把它当作所有量子比特的恒等式。

对纯相干演化，Bloch 向量绕有效场转动；耗散同时把它拉向基态。两种运动平衡后可以有非零相干与固定人口。“稳态”指密度矩阵不随旋转坐标时间变化，不表示微观发射事件停止。

3. 不用求全部时间演化也能找到固定点

令三条导数为零。第一式给 \(x=-2\Delta y/\gamma\)，第三式给 \(z=\Omega y/\gamma-1\)，代入第二式便得到

因此激发态人口为

弱驱动时激发概率与 \(\Omega^2\) 成正比；共振强驱动时趋于 \(1/2\)，不是 1。相干驱动既能吸收也能受激发射，单靠这种连续驱动与向下衰减不能产生稳态人口反转。

检查纯度也能阻止误解。\(\operatorname{Tr}\rho_*^2=(1+x_*^2+y_*^2+z_*^2)/2\)。强驱动极限趋向混合态，不是稳定制备了某个完全相干叠加。反过来，零驱动固定点是纯基态；“开放”并不必然意味着最终最大混合。

4. 用参数扫描区分共振与饱和

实验以 \(\gamma\) 为频率单位，控制 \(o=\Omega/\gamma\) 与 \(d=\Delta/\gamma\)。先预测：偏离共振是否总能靠增大驱动恢复接近一半的激发人口？相同人口是否决定相干的方向？

默认静态核对：\(o=1,d=0\) 时 \((x_*,y_*,z_*)=(0,2/3,-1/3)\)，\(p_e=1/3\)，纯度为 \(7/9\approx0.777778\)。将 \(d\) 改为 1，\(p_e=1/7\)。将失谐从 \(+1\) 改为 \(-1\)，人口不变而 \(x_*\) 反号，说明仅测人口不足以完整重构稳态。

模型漏掉的噪声可以通过改变具体项来检验。例如加入 \(L_\varphi=\sqrt{\gamma_\varphi/2}\,\sigma_z\)，矩阵相乘给 \(\dot x,\dot y\) 各增加 \(-\gamma_\varphi x,-\gamma_\varphi y\)，但不直接改变人口差。这时 \(T_2^{-1}=\gamma/2+\gamma_\varphi\)，第三节的稳态公式必须重新解。纯退相位虽然不直接搬运人口，仍会通过相干驱动间接改变稳态激发率。这个例子说明“加一个误差率”需要先指定噪声作用的算符。

加入纯退相位后，实际重新解一次稳态

令横向衰减率 \(\Gamma_2=\gamma/2+\gamma_\varphi\)。前两条Bloch方程中的 \(\gamma/2\) 改成 \(\Gamma_2\)，第三条不变。由固定点方程消去x、z，可得

例如以 \(\gamma=1\) 为单位，取 \(\Omega=1,\Delta=0\)。无额外退相位时 \(p_e=1/3\)；加入 \(\gamma_\varphi=1/2\) 后 \(\Gamma_2=1\)，得到 \(p_e=1/4\)，而稳态Bloch向量为 \((0,1/2,-1/2)\)。纯退相位不直接改变人口项，却通过削弱驱动所需的相干改变了最终人口。

但也不能据此说它在所有失谐下一定降低激发率。保持 \(\Omega=\gamma=1\)，改取 \(\Delta=1\)，同样的变化使 \(p_e\) 从 \(1/7\) 升到 \(1/6\)。把分母除以 \(\Gamma_2\) 后可看见竞争项 \(\Gamma_2+\Delta^2/\Gamma_2\)：在共振外，增加线宽也可能增强对驱动的响应。当前交互实验仍使用 \(\gamma_\varphi=0\)；这些数值是带新噪声通道的纸笔对照，不能当作旧滑块的输出。

5. 单个固定点如何推进到多体问题

把原子排成晶格并加入相互作用，主方程生成元成为作用在算符空间上的 Liouvillian。它的零本征值对应稳态；其余本征值实部决定衰减尺度。若最慢非零实部随系统尺寸趋近零，可能出现长寿命模式或耗散临界性，但需要进一步排除普通守恒量、有限尺寸交叉与多个稳态扇区。

一个两能级系统的饱和曲线是解析平滑的，不能被称为“耗散相变”。有限系统的数值解即使显示陡峭变化，也要比较尺寸、唯一性及谱隙。Keldysh 场论用前向与后向时间分支同时跟踪响应和涨落，为这种多体长波分析提供工具；本课三条 Bloch 方程没有完成该场论推导。

6. 周期驱动还会引出另一种长寿命

对于封闭周期系统，\(H(\tau+T_d)=H(\tau)\)，一个周期的算符为 \(U_F=\mathcal T e^{-i\int H d\tau/\hbar}\)。其本征相位给准能量，按 \(2\pi\hbar/T_d\) 取模。准能量没有通常意义上唯一最低值，因此不能照搬“持续驱动最终冷到 Floquet 基态”的说法。

局域有界系统在足够高频、满足相应条件时，可以在很长的预热化窗口内近似由有效 Hamiltonian 描述。Abanin 等的严格工作控制了这种窗口与近似守恒量；这不同于证明永远不吸热，也不直接覆盖无界玻色占据或任意驱动幅度。再加入环境后，驱动吸热与散热竞争可能形成稳态，不能把封闭预热化寿命直接当成开放系统弛豫时间。

当前值得追踪的问题是：可实验到达的频率、损耗和相互作用范围，是否真正进入受控窗口？应分别报告观察时长、有限尺寸、生成元近似以及测到的关联。漂亮的周期响应可以来自简单强迫振荡；鉴别自发时间结构还需要额外的稳定性和对称性检验。

7. 两道迁移题

题 1。 \(\Omega=0\)、\(\Delta\) 任意时，固定点和纯度是什么？为什么失谐不能把系统加热？

题 2。 只发现多体 Liouvillian 有两个零本征值，能否断言耗散临界点？